三角函数反函数相关知识总结(共10篇)

三角函数反函数相关知识(共10篇) :反函数 相关知识 函数 三角函数公式 三角函数反函数怎么求 三角函数反函数是什么 篇一:反三角函数与最简三角方程专题精选(知识总结与试题) 反三角函数与最简三角方程专题 1、反三角函数: 概念:把正弦函数 ???? y?sinx，x???,?时的反函数，成为反正弦函数，记作y?arcsinx. ?22? y?sinx(x?R)，不存在反函数. 含义:arcsinx表示一个角?;角? ???? ???,?;sin??x. ?22? 反余弦、反正切函数同理，性质如下表. 其中:(1)( 符号arcsinx可以理解为[, ???? ，]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[,，]上的一个实数;同2222?? ，], y,arccosx等价于cosy,x, x?[0, π], 这两个等价关系是解22 样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理 解为区间[0，π]上的一个实数;(2)( y,arcsinx等价于siny,x, y?[,反三角函数问题的主要依据; (3)(恒等式sin(arcsinx),x, x?[,1, 1] , cos(arccosx),x, x?[,1, 1], ?? ，], arccos(cosx),x, x?[0, π]的运用的条件; 22 ?? (4)( 恒等式arcsinx，arccosx,, arctanx，arccotx,的应用。 22 arcsin(sinx),x, x?[,2、最简单的三角方程 - 1 - 其中:(1)(含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集; (2)(解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解; (3)(要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用;如:若sin? 若tan? ?sin? ，则sin??k??(?1)k? ;若cot? ;若cos??cos?，则??2k???; ; ?tan?，则a?k????cot?，则a?k??? (4)(会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。 【例题】 例1. 函数y?sinx，x???，3??的反函数为( ?2??2? 例2. 函数y?arccos(cosx)，x????，??的图象为( ?2??2? ) ) (A) (B) (C) (D) 例3. 求值:(1)sin?2arcsin?? ??1??1?3?? (2)tanarccos?? ??235????? 例4.画出下列函数的图像(1) y?arcsin(sinx) 函数是以2?为周期的周期函数 当x?[? ,]时，arcsin(sinx)?x 22?3? ]时，arcsin(sinx)???x 其图像是折线，如图所示: 当x?[,22 (2) ?? y?sin(arccosx),x?[?1,1]? arccosx?[0,?] - 2 - ? y??cos2(arccosx)??x2(x?1) 其图像为单位圆的上半圆(包括端点)如图所示: 例5.已知cos例6.已知函数 2?? 7?53? ,??(0,),sin???,??(?,)求???252132 (用反三角函数表示) f(x)?arccos(x2?x) f(x)?f(2x?1) (1)求函数的定义域、值域和单调区间;(2)解不等式: 简单的三角方程 例1.写出下列三角方程的解集 (1)sin(x? ? 8 )? ;(2)2cos3x?1? 0; (3)?3 例2. 求方程tan(3x?例3. 解方程2sin 2 ? 4 )??0,2??上的解集. xx?1?0 ?0 例4. 解方程?3sinx?2cosx?2sin 2 x?3sinxcosx?2cos2x?0 例5.解方程: 例6.解方程2sin 2 2x?cos2x?1(2)5sin3x?12cos3x?6.5 x?3cosx?0( 例7.解方程:tan(x?例8. 已知方程sinx ? )?tan(x?)?2cotx 44 ? x?a?0在区间?0,2??上有且只有两个不同的解，求实数a的取值范围。 例9.若方程cos2x?2sinx?m?1?0存在实数解，求m的取值范围( 例10.求方程sin2x?cos(?【巩固练习】 反三角函数 ?x)的解集( 3? )的值是 ( C) 5 3?2?2?A.? B. C.? 555 1.arctan(tan 2.下列关系式中正确的是 ( C) A. arccos?cos?? D. 3? 5 ??5??5??????? 4?4?? B. sin?arcsin ? ? ??? ??3?3 - 3 - C. arccos?cos ?? ?? 1??? arctan(?2)?arccot(?) D.?cosarccos???24?4?? 3.函数 f(x)?arcsin(tanx)的定义域是 ( B ) A. ???????? B.k??,k???,?k?Z? ????4444???????????? D.2k??,2k??k??,(k?1)??k?Z???k?Z? ????C. ?44?? 44?4.在 ????1,3? 2?? 上和函数y?x相同的函数是 ( B) A. y?arccos(cosx) B.y?arcsin(sinx) C.y?sin(arcsinx) D.5.函数 y???arctan x 2 的反函数是 . 6.求 y?sinx在???3?? ?2,2?? 上的反函数. 7. 比较arccos??? 1?? 4与arccot(?)的大小? 2. arccos?? 1???arccot(?) ? 28.研究函数 y?arccos?x?x2?的定义域、值域及单调性. 9.计算:cos??arccos 45?arccos?????5??13??? ? 10.求下列函数的定义域和值域:(1) y,arccos 12x ; (2) y,arcsin(,x，x); (3) y,arccot(2x ,1), 11.求函数y,(arccosx)2 ,3arccosx的最值及相应的x的值。 - 4 - y?cos(arccosx) 简单的三角方程 1.解下列方程. (1)tan 2.方程sin2x,sinx在区间(0, 2π)内的解的个数是 . 3.(1) 方程tan3x,tgx的解集是(2) 方程sinx，cosx, 2 x?1 (2)sin5x?sin3x 2 在区间[0, 4π]上的所有的解的和是 . 2 4. 解方程sin 2 xxcosx?cos2x?0( - 5 - 篇二:三角函数反三角函数有关知识 三角函数及反三角函数有关知识 1、二倍角公式: cos2x=cos2x?sin2x=2cos2x?1=1?2sin2x，cos2x=sin2x=2sinx?cosx 2、和差化积公式 sinα+sinβ=2sin sinα?sinβ=2cosα+βα?βcosα+βα?βsinα+βα?βcos 1+cos2x2，sin2x=1?cos2x2cosα+cosβ=2cos α+βα?βcosα?cosβ=?2sinsin 3、平方公式 sin2x+cos2x=1，1+tan2x=sec2x，1+cot2x=csc2x 4、倒数公式 正割函数:secx= 余割函数:cscx= tanx=11 sinx111，sinx=，cosx= 或者按sinx，cosx，tanx，cotx，secx，从外到内三对相乘等于1: sinx?cscx=cosx?secx=tanx?cotx=1 注:三角函数指的是sinx，cosx，tanx，cotx，secx这六个。 1、 诱导公式 sin 2?x =cosx，cos 2?x =sinx ππtan ?x =cotx，cot ?x =tanx ππsin +x =cosx，cos +x =?sinx ππtan +x =?cotx，cot +x =?tanx sin π?x =sinx，cos π?x =?cosx tan π?x =?tanx，cot π?x =?cotx sin π+x =?sinx，cos π+x =?cosx tan π+x =tanx，cot π+x =cotx sin 2π?x =?sinx，cos 2π?x =cosx tan 2π?x =?tanx，cot 2π?x =?cotx 2、 正割函数y=secx=cosx 1ππ 3、 余割函数y=cscx=sinx1 4、 反正弦函数 原函数:y=sinx，x? ?, 反正弦函数:y=arcsinx，x? ?1,1 22ππ 5、 反余弦函数 原函数:y=cosx，x? 0,π 反正弦函数:y=arccosx，x? ?1,1 6 、 反正切函数 ππ 原函数:y=tanx，x? ?2,2 反正弦函数:y=arctanx，x? ??,? 7、 反余切函数 原函数:y=cotx，x? 0,π 反正弦函数:y=arccotx，x? ??,? 篇三:三角函数知识点总结 高中数学第四章-三角函数 考试内容: 角的概念的推广(弧度制( 任意角的三角函数(单位圆中的三角函数线(同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式( 两角和与差的正弦、余弦、正切(二倍角的正弦、余弦、正切( 正弦函数、余弦函数的图像和性质(周期函数(函数y=Asin(ωx+φ)的图像(正切函数的图像和性质(已知三角函数值求角( 正弦定理(余弦定理(斜三角形解法( 考试要求: (1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算( (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义( (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式( (4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明( (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义( (6)会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx表示( (7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形( (8)“同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1”( 04. 三角函数 知识要点 1. ?与?(0???,360?)终边相同的角的集合(角?与角?的终边重合):?|??k?360???,k?Z ?? ?终边在x轴上的角的集合: ?|??k?180,k?Z ?终边在y轴上的角的集合:?|??k?180?90,k?Z ?终边在坐标轴上的角的集合:?|??k?90?,k?Z ?终边在y=x轴上的角的集合:?|??k?180??45?,k?Z ?终边在y??x轴上的角的集合:?|??k?180??45?,k?Z ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? SIN\COS1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 ?若角?与角?的终边关于x轴对称，则角?与角?的关系:??360?k?? ?若角?与角?的终边关于y轴对称，则角?与角?的关系:??360?k?180??? ?若角?与角?的终边在一条直线上，则角?与角?的关系:??180?k?? ?角?与角?的终边互相垂直，则角?与角?的关系:??360?k???90? 2. 角度与弧度的互换关系:360?=2? 180?=? 1?=0.01745 1=57.30?=57?18′ 注意:正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad,180??57.30?=57?18ˊ( 1?,??0.01745(rad) ? 180 3、弧长公式:l?|?|?r. 扇形面积公式:s扇形? 11 lr?|?|?r2 22 4、三角函数:设?是一个任意角，在?的终边上任取(异于(x,y) P与原点的距离为r，则 sin??y; cos??rrrx cot??; sec??;. csc??. xyy 原点的)一点P tan?? y x ; 5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦，三切四余弦) 正弦、余割 余弦、正割 正切、余切 6、三角函数线 正弦线:MP;余弦线:OM; 正切线: AT. 7. 三角函数的定义域: 16. 几个重要结论:(3) 若 ox,则sinxxtanx 2 cos? cos? ?cot?sin? 8、同角三角函数的基本关系式:sin??tan? ??cos??1 tan??cot??1 csc??sin??1 sec sin2??cos2??1 sec2??tan2??1 csc2??cot2??1 9、诱导公式: 把 k? ??的三角函数化为?的三角函数，概括为: 2 “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式:(一)基本关 系 公式组一公式组二公式组三 sinxsin(2k??x)?sinxsin?(x)??sinxsinx?cscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosx cos(2k??x)?cosxcos?(x)?cosx cosx 22 x=cosx?secx=11+tanx=secxtan(2k??x)?tanxtan?(x)??tanxsinx cot(2k??x)?cotxcot?(x)??coxt tanx?cotx=1 1+cot2x=csc2x公式组四公式组五公式组六 sin(??x)??sinxsin2?(?x)??sinxsin?(?x)?sinxcos(??x)??cosxcos2?(?x)?c osxcos?(?x)??cosx tan(??x)?tanxtan2?(?x)??tanxtan?(?x)??tanxcot(??x)?cotxcot2?(?x)? ?coxtco?t(?x)??coxt(二)角与角之间的互换 公式组一 公式组二 ?co?s cos(???)?cos?cos??sin?sin?sin2??2sin s??co2s??si2n??2co2s??1?1?2si2n? cos(???)?cos?cos??sin?sin?co2sin(???)?sin?cos??cos?sin?tan2?? 2tan?1?tan? 2 sin(???)?sin?cos??cos?sin?si?? 2 ? ?co?s 2 tan(???)? tan??tan??1?cos? cos?? 1?tan?tan?22 tan??tan???cos?sin?1?cos? tan ???? 1?tan?tan?21?cos?1?cos?sin? tan(???)? 公式组三 公式组四公式组五 1 sin?cos???sin??????sin??????1?2cos(???)?sin?2tan 212sin??cos?sin???sin??????sin?????? 2?211?tansin(???)?cos?212cos?cos???cos??????cos?????? 2 12?tan(???)?cot?11?tan 22 sin?sin???2?cos??????cos??????cos?? ??????11?tan2sin??sin??2sincoscos(???)??sin?2222 ?????? sin??sin??2cossin1?22tan(???)??cot?2tan 2cos??cos??2cos???cos???tan?? 22?11?tan2??????sin(???)?cos?cos??cos???2sinsin2222 ?2,tan15??cot75??2?,tan75??cot15??2?3. 6?2,sin75??cos15??sin15??cos75?? 4 4 y?f(x)在[a,b]上递增(减)，则y??f(x)在[a,b]上递减(增). ?y?sinx与y?cosx的周期是?. ?x??)或y?cos(?x??)(??0)的周期T??y?sin( y?tan 2? . x的周期为2?(? T??T?2?，如图，翻折无效). 2?x??)的对称轴方程是x?k???y?sin( ?2 (cs(k?Z)，对称中心(k?,0);y?o?x??)的对称轴方程是 x?k?(k?Z)，对称中心(k??1?,0); 2 y?ant(?x??)的对称中心( ? 2 k? ,0). 2 (k?Z). y?cos2x?原点对称????y??cos(?2x)??cos2x tan??1,????k???当tan?? ? 2 tan???1,????k??(k?Z);tan?? ???y?cosx与y?sin??x??2k??是同一函数,而y?(?x??)是偶函数，则 2?? 1 y?(?x??)?sin(?x?k???)??cos(?x). 2 ?函数y?tanx在R上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y?tanx为增函数，同样也是错误的]. ?定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点 对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数:f(?x)?f(x)，奇函数:f(?x)??f(x)) 1 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:y?tanx是奇函数，y?tan(x??)是非奇非偶.(定义域不关于原点 3对称) 奇函数特有性质:若0?x的定义域，则f(x)一定有f(0)?0.(0?x的定义域，则无此性质) ?y?sinx不是周期函数;y?sinx为周期函数(T??) ;y?cosx为周期函数(T?y?x是周期函数(如图) 1，并非所有周期函数都有最小正周期，例如: y?cos2x?的周期为?(如图) 2 y=|cos2x+1/2|图象 y?f(x)?5?f(x?k),k?R. ?y?acos??bsin??a2?b2sin(???)?cos?? 11、三角函数图象的作法: ,)、几何法: b 有a2?b2?y. a ,)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线)，三点二线作图法(正、余切曲线). ,)、利用图象变换作三角函数图象( 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等( 函数y,Asin(ωx，φ)的振幅|A|，周期T?2?，频率f?1?|?|，相位?x??;初相?(即当x,0 |?| T 2? 时的相位)((当A,0，ω,0 时以上公式可去绝对值符号)， 由y,sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长(当|A|,1)或缩短(当0,|A|,1)到原来的|A|倍，得到y,Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换((用y/A替换y) 由y,sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长(0,|ω|,1)或缩短(|ω|,1)到原来的|1| ? 倍，得到y,sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换((用ωx替换x) 由y,sinx的图象上所有的点向左(当φ,0)或向右(当φ,0)平行移动,φ,个单位，得到y,sin(x，φ)的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移((用x，φ替换x) 由y,sinx的图象上所有的点向上(当b,0)或向下(当b,0) 平行移动,b,个单位，得到y,sinx，b的图象叫做沿y轴方向的平移((用y+(-b)替换y) 由y,sinx的图象利用图象变换作函数y,Asin(ωx，φ)(A,0，ω,0)(x?R)的图象，要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数: 函数y,sinx，记作y,arcsinx，它的定义域是,,1，1,，值域是?,? ??(??????的反函数叫做反正弦函数，?x??? ? ? ?22????? ?? 22?? 函数y,cosx，(x?,0，π,)的反应函数叫做反余弦函数，记作y,arccosx，它的定义域是,,1，1,，值域是,0，π,( 函数y,tanx，? ?????的反函数叫做反正切函数，记作????x???22????? y,arctanx，它的定义域是(,?，，?)， 篇四:三角函数知识点总结 高中数学第四章-三角函数 考试内容: 角的概念的推广(弧度制( 任意角的三角函数(单位圆中的三角函数线(同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式( 两角和与差的正弦、余弦、正切(二倍角的正弦、余弦、正切( 正弦函数、余弦函数的图像和性质(周期函数(函数y=Asin(ωx+φ)的图像(正切函数的图像和性质(已知三角函数值求角( 正弦定理(余弦定理(斜三角形解法( 考试要求: (1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算( (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义( (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式( (4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明( (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义( (6)会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx表示( (7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形( (8)“同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1”( 04. 三角函数 知识要点 1. ?与?(0???,360?)终边相同的角的集合(角?与角?的终边重合):??|??k?360???,k?Z? ?终边在x轴上的角的集合: ??|??k?180,k?Z? ? ?终边在y轴上的角的集合:??|??k?180??90?,k?Z? ?终边在坐标轴上的角的集合:??|??k?90?,k?Z? ?终边在y=x轴上的角的集合:??|??k?180??45?,k?Z? ?终边在y ??x SIN\COS三角函数值大小关系图 轴上的角的集合:??|??k?180??45?,k?Z? 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 ?若角?与角?的终边关于x轴对称，则角?与角?的关系:??360?k?? ?若角?与角?的终边关于y轴对称，则角?与角?的关系:??360?k?180??? ?若角?与角?的终边在一条直线上，则角?与角?的关系:??180?k?? ?角?与角?的终边互相垂直，则角?与角?的关系:??360?k???90? 2. 角度与弧度的互换关系:360?=2? 180?=? 1?=0.01745 1=57.30?=57?18′ 注意:正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad,180??57.30?=57?18 ˊ( 1?, ? ?180 ?0.01745(rad) 3、弧长公式:l?|?|?r. 扇形面积公式:s扇形? 12 lr? 12 |?|?r 2 4、三角函数:设?是一个任意角，在?的终边上任取(异于(x,y) P与原点的距离为r，则 sin? cot?? xy 原点的)一点P ? yr ; cos? ? tan?? yx ; ; sec? ? rx ;. csc? ? ry . 5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦，三切四余弦) 正弦、余割 余弦、正割 正切、余切 6、三角函数线 正弦线:MP;余弦线:OM; 正切线: AT. 7. 三角函数的定义域: 16. 几个重要结论:(3) 若 ox,则sinxxtanx 2 cos? ?tan? 8、同角三角函数的基本关系式:sin? tan??cot??1 csc??sin??1 2 2 2 cos?sin? ?cot? 2 sec??cos??1 2 2 sin??cos??1 sec??tan??1 csc??cot??1 9、诱导公式: 把k?2 ??的三角函数化为?的三角函数，概括为: “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式:(一)基本关 系 公式组二公式组三 公式组一 sinx?cscx=1tanx= sinxcosx sinx+cosx=122 sin2(k??x)?sinxcos2(k??x)?cosxsin?(x)??sinx cosx 2 2 cos?(x)?cosx cosx?secx=1x= sinx 1+tanx=secx tan2(k??x)?tanxtan?(x)??tanxtanx?cotx=1 1+cot2 x=csc2 x cot2(k??x)?cotx cot?(x)??cotx 公式组四公式组五公式组六 sin(??x)??sinxsin2(??x)??sinx sin?(?x)?sinx cos(??x)??cosx cos2(??x)?cosx cos?(?x)??cosxtan(??x)?tanxtan2(??x)??tanxtan?(?x)??tanx cot(??x)?cotx cot2(??x)??cotx cot?(?x)??cotx (二)角与角之间的互换 公式组一 公式组二 cos(???)?cos?cos??sin?sin?sin2??2sin ?cos? cos(???)?cos?cos??sin?sin?cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2 ? sin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2?? 2tan?1?tan 2 ? sin(???)?sin?cos??cos?sin? si? 2 ?? ?cos? 2 tan(???)? tan??tan?1?tan?tan? co? 2 ?? 1?cos? 2 tan(???)? tan??tan? tan ?cos?sin?1?cos?1?tan?tan? 2 ?? 1?1?cos? ?1?cos? ? sin? 公式组三 公式组四1公式组五 sin??????sin?????? 2tan ? sin?cos?? 2 ?cos( 1sin?? 2 ? cos ?sin? ? 12?sin??????sin???? ??2???)?sin?1?tan 2 12 cos?cos?? 12 ?cos?? ????cos???? ??sin(2???)?cos?1?tan 2 ? 1cos?? 2 sin?sin??? 12 ?cos??????cos???? ?? tan( 2 ???)?cot? 1?tan 2 ? 2 sin??sin??2sin??? cos??? cos(1??)??sin? sin??sin??2cos ?2??sin?2??2?2tan ? 1?2?? ???)??cot?tan?? 2 cos ?2?? tan(21?tan 2 ? cos? ?cos??2cos 2 cos??cos???2?22 sin ??sin( 12 ???)?cos? 2 sin ??? 2 sin15 ? ?cos75 ? ? 6?,? ? ? ? sin 75 ? ?cos15 ? ? 6?2,tan15 ?cot75?2? 3,tan75?cot15?2? 3 . 4 4 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质: y??sinxy?sinxy??cosxy?cos ，则y??f(x)在[a,b]上递减(增). y?f(x)在[a,b]上递增(减)?y? x x 与y ?cosx 的周期是?. ?cos(?x??) ??y?sin(?x??)或y y?tan x2 (??0)的周期T? 2? ? . 的周期为2?(T ??T?2? ，如图，翻折无效). ? 2 ?y?sin(?x??)的对称轴方程是x x?k? ?k?? 12 (k?Z)，对称中心(k?,0); y?(soc?x??) 的对称轴方程是 (k?Z)，对称中心(k? 原点对称 ? ;y?(nat?,0) ?x??)的对称中心( k?2 ,0). y?cos2x?????y??cos(?2x)??cos2x tan??当tan?? ?1,????k?? ? 2 (k?Z) tan?;tan?? ??1,????k?? ? 2 (k?Z) . ?y ?cosx ??与y?sin??2k??是同一函数,而y?(?x??)是偶函数，则 ?x? ? 2 ? 12 y?(?x??)?sin(?x?k?? ?)??cos(?x). ?函数y?tanx在R上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y?tanx为增 函数，同样也是错误的]. ?定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数:f(?x)? f(x)，奇函数:f(?x)??f(x)) 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:y?tanx是奇函数，y?tan(x?1?) 是非奇非偶.(定义域不关于原点 3 对称) 奇函数特有性质:若0?x的定义域，则f(x)一定有?y ?sinx f(0)?0.(0 ?x的定义域，则无此性质) 不是周期函数;y?x为周期函数(T??); y?cosx 是周期函数(如图);y?cosx为周期函数(T?y=cos|x|图象 y?cos2x? 12 的周期为?(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如: y=|co2sx+21/|图象 y?f(x)?5?f(x?k),k?R. ?y ?acos??bsin??a?b 22 sin(???)?cos?? ba 有a2?b2?y. 11、三角函数图象的作法: ,)、几何法: ,)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线)，三点二线作图法(正、余切曲线). ,)、利用图象变换作三角函数图象( 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等( 函数y,Asin(ωx，φ)的振幅|A|，周期T ?2?|?| ，频率f ? 1T ? |?|2? ，相位?x??;初相?(即当x,0 时的相位)((当A,0，ω,0 时以上公式可去绝对值符号)， 由y,sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长(当|A|,1)或缩短(当0,|A|,1)到原来的|A|倍，得到y,Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换((用y/A替换y) 由y,sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长(0,|ω|,1)或缩短(|ω|,1)到原来的| 1 ? | 倍，得到y,sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸 缩变换((用ωx替换x) 由y,sinx的图象上所有的点向左(当φ,0)或向右(当φ,0)平行移动,φ,个单位，得到y,sin(x，φ)的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移((用x，φ替换x) 由y,sinx的图象上所有的点向上(当b,0)或向下(当b,0)平行移动,b,个单位，得到y,sinx，b的图象叫做沿y轴方向的平移((用y+(-b)替换y) 由y,sinx的图象利用图象变换作函数y,Asin(ωx，φ)(A,0，ω,0)(x?R)的图象，要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数: ?函数y,sinx，记作y,arcsinx，它的定义域是,,1，1,，值域是?,? ??(?????的反函数叫做反正弦函数，?x??? ?? ?? 2 ?2??? ? ? 2 2?? 函数y,cosx，(x?,0，π,)的反应函数叫做反余弦函数，记作y,arccosx，它的定义域是,,1，1,， 篇五:三角函数基础知识总结 自主招生讲座1—基础知识 1.定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 2.定义2 角度制，把一周角360等分，每一等份为一度，弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360?=2π rad。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|= Lr ,其中r是圆的半径(相应的扇形面积为S? ? 6 ?2k?,k?Z 12 Lr )。 3.定义3 象限角:角的终边落在象限内的角，如为第一象限角。 轴线角:角的终边落在坐标轴上的角，如终边落在x轴上的角的集合为: ????k?,k?Z? 4.定义4 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于 原点的点P，设它的坐标为(x,y)，到原点的距离为r,则正弦函数sin?=余切函数cot?= xy yrrx ,余弦函数cos?= xr ,正切函数tan?= yx ， ，正割函数sec?=,余割函数csc?=.(在单位圆中定义更 y r 加简单) (1)三角函数的正否:“一全二正弦，三切四余弦” (2)sin?与cos?大小关系如图: cos? ?1? ?1 ?0 1cot? 1csc? 5.定义5 三角函数线:略 6.定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系:tan?=cos?= 1sec? ,sin?=， ;商数关系:tan?= sin?cos? ,cot?? cos?sin? ;乘积关系:tan?× cos?=sin?,cot?×sin?=cos?;平方关系:sin2?+cos2?=1, tan2?+1=sec2?, cot2?+1=csc2?;若sinn??cosn??1(n?N*,n?2)，则?为轴线角。 7.定理2 诱导公式(?)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα(?);sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; (?)sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; (?)sin? ?? ? ???=cosα?2? , cos? ?? ? ???=sinα?2? , tan? ?? ? ???=cotα?2? (奇变偶不变， 符号看象限)。 8.三角函数的图像:略(留意cotx,secx,cscx的图像) 9.正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx(x?R)的性质如下。 单调区间:在区间? ?2k?? ? ? 2 ,2k?? ?? 2? ? 上为增函数，在区间?2k??? ? ? 2 ,2k?? 32 ??上为减函数，最 ? ? 小正周期为2?. 奇函数. 有界性:当且仅当x=2kx+当x=3k?-? 2 ? 2 时，y取最大值1，当且仅均为其对称轴，点(k?, 0) 时, y取最小值-1。对称性:直线x=k?+ ? 2 均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k?Z. 10.余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x?R)的性质。单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性:偶函数。对称性:直线x=kπ均为其对称轴，点?k?? ?? ? ? ,0?均为其对称中心。有2? 界性:当且仅当x=2kπ时，y取最大值1;当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k?Z. 11.正切函数的性质: 由图象知奇函数y=tanx(x?kπ+ ? 2 )在开区间(kπ-k?2 ? 2 , kπ+ ? 2 ) 上为增函数, 最小正周期为π，值域为(-?，+?)，点(心。 这里k?Z. 12.y?cscx的性质:单调区间:增区间(2k??减区间(2k??为x? ? 2?k? ，0)均为其对称中 3?2 ? 2 ,2k??? )，(2k???,2k??)， ? 2 ,2k? 2,)，(2k? k?? ? 2 );最小正周期为2π，奇函数，对称轴 ，对称中心为(k?,0)，值域为(??,?1]?[1,??)。这里k?Z. ? 2 )，(2k??2 13. y?secx的性质:单调区间:增区间(2k?,2k??减区间(2k???,2k?? ? 2 )，(2k??2 ? k??? )， ? k? );最小正周期为2π，偶函数，对称 k?Z. 轴为x?k?，对称中心为( k?2 ? 2 ?k?,0)，值域为(??,?1]?[1,??)。这里 14.y?cotx的性质:减区间为(k?,(k?1)?);最小正周期为π，奇函数，对称中心为( ,0)，值域为 R。这里k?Z. 15.平移与伸缩变换:(1)先平移后伸缩;(2)先伸缩后平移。图象之间的关系:y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;经左右平移得y=sin(x+?)的图象(相位变换);纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ? ，得到y=sin?x(??0)的图象(周 期变换);横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(?x+?)(?0)的图象(周期变换);横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(?x+?)(?, ?0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移 ?? 个单位得到y=Asin?x的图象。 16.两角和与差的基本关系式:cos(α?β)=cosαcosβ?sinαsin β,sin(α?β)=sinαcosβ?cosαsinβ; tan(α?β)=17.和差化积与积 化和差公式:(重要) sinα+sinβ=2sin? ?????????? ?cos?? ?2??2? (tan??tan?)(1?tan?tan?) (注意其的变形形式) ,sinα-sinβ=2sin? ????? ? ?2? cos? ????? ? ?2? , , cosα+cosβ=2cos?sinαcosβ=cosαcosβ= 2tan?(1?tan?) 2 ?????????? ?cos?? ?2??2? , cosα-cosβ=-2sin? 12 ????? ? ?2? sin? ????? ? ?2? 1212 [sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)], 12 [cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 18.倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α= . 19.三倍角公式:sin3??3sin??4sin3?=4sin?sin( cos3??4cos??3cos??4cos?cos( 3 ? 3 ??)sin( ? 3 ??) ? 3 ??)cos( ? 3 ??) tan3?? 3tan??tan?1?3tan? ??? ?=??2? 2 3 ?tan?tan( ?3 ??)tan( ?3 ??) (1?cos?) 2 20.半角公式:sin?tan? ??? ?=?2?? (1?cos?) 2 ,cos? ? ??? ?=??2? , (1?cos?)(1?cos?) = sin?(1?cos?) (1?cos?)sin? . 21.万能公式: sin?? ???2tan?? ?2?1?tan 2??? , cos?? 2??? 1?tan?? ?2? ???2? 1?tan?? ?2? 2??? , tan?? ???2tan?? ?2? 2??? 1?tan?? ?2? . 22.辅助角公式:如果a, b是实数且a2+b2?0，则取始边在x轴正 半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ= ba?b 2 2 ,cosβ= aa?b 2 2 ，对任意的角α. asinα+bcosα=(a2?b2)sin(α+β). 23.正弦定理:在任意?ABC中有 asinA ? bsinB ? csinC ?2R ，其中a, b, c分别是 角A，B，C的对边，R为?ABC外接圆半径。 24.余弦定理:在任意?ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C 的对边。 25.在?ABC中，下列公式成立: (1)sinA?sinB?sinC?4cos A2cosAB2cosBC2sin C2 (2)cosA?cosB?cosC?1?4sin 22 (3)tanA?tanB?tanC?tanA?tanB?tanC sin (4)sin2A?sin2B?sin2C?2(1?cosAcosBcosC) (4) cotAcotB?cotBcotC?cotCcotA?1 (5)cot(6)tan A2A2?cottan B2B2?cot B2C2?cotC2 A2?cotC2B2?cotA2C2 ?tantan?tantan ?1 26.函数y=sinx??x??? ? ? ?? ?? ? ? ???? 2,?? 2??? 的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x?[-1, 1])， 函数y=cosx(x?[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x?[-1, 1]). 函数y=tanx??x??? ???? 2,???2?? 的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x?[-?, +?]). y=cosx(x?[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x?[-?, +?]). 定理15 三角方程的解集，如果a?(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n?Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kx?arccosa, k?Z}. 如果a?R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k?Z}。恒等式:arcsina+arccosa=arctana+arccota=27. 若x??0, ?? ? 2 ; ? 2 . sinxxtanx. ?? ?，则 2? 28.三角与复数 (1)复数的4种形式:a?bi?(a,b)?r(cos??isin?)?re(r是复数的模) (2)(cos?1?isin?1)(cos?2?isin?2)?cos(?1??2)?isin(?1??2) (3) (cos?1?isin?1)?(cos?2?isin?2)?cos(?1??2)?isin(?1??2) (4)隶莫弗公式:复数Z?r(cos??isin?)的n次方Z?r(cosn??isinn?) (5)复数Z?r(cos??isin?)的n n 1 2 n n i? 2k??? n n?1 ?isin 2k??? n ) (6)方程x?r(cos??isin?)的解为?,?,?,?,? ?? ，其中 2k??? n ?isin 2k??? n ) 篇六:三角函数知识点总结 三角函数知识点总结 1.任意角的相关概念及其度量: (1)角的定义: 平面内一条射线绕着其端点从初始位置(始边)旋转到终止位置(终 边)所形成的图形。 (2)角的分类: 1)正角:平面内一条射线绕其端点从初始位置，按逆时针方向旋转到终止位置所 形成的角。 2)负角:平面内一条射线绕其端点从初始位置，按顺时针方向旋转到终止位置所 形成的角。 3)零角:始边没有转动的角。 (3)象限角: 1)定义:在直角坐标系内，角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，则终边在第几象限，就叫第几象限角。(也叫这个角属于第几象限) 2)集合表示象限角:第一象限角{?|k?360??k?360?+90?，(k?Z)}; 第二象限角{?|k?360?+90??k?360?+180?，(k?Z)};第三象限角{?|k?360?+180??k?360?+270?，(k?Z)}; 第四象限角 {?|k?360?+270??k?360?+360?，(k?Z)}; 3)注意:当终边落在坐标轴上时，角不属于任何象限。 (4)终边相同的角的表示方法: ,x|x=360?k+α，k?Z , 。绝对值360?时 直接观察终边 绝对值360?时，正角除以360?看余数。负角处以—360?，看余数。 (5)角的度量: 1)角的度量方法:角度值与弧度制。 2)角度制:1?:把圆周平均分为360份，一份的圆心角即为1?。 公式: l?n?rn?R2 180 S扇?360 3)弧度制:在圆内的弧长等于半径的弧所对的圆心角定义为1弧度的角。 单位:rad(弧度) (可省略) 公式:l ?r? 4)弧度制与角度制的换算:(360?=2πrad 180?=πrad) 1?=? 180rad?0.01745rad 1rad???180? ???? ?5718' 2.任意角的三角比: (1)任意角的三角比的定义 设?是一个任意角，在?的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y) 则P与原点的距离r?x2?y2 ?x2?y2?0比值 y r 叫做?的正弦记作: sin??yr (α?R) 比值x r叫做?的余弦记作: cos??xr (α?R) 比值y yx 叫做?的正切记作: tan??x(α?kπ+π/2，k?Z) 比值x y叫做?的余切记作: cot??xy (α?kπ,k?Z) 比值r x叫做?的正割记作: sec??rx (α?kπ+π/2 ,k?Z) 比值r y叫做?的余割记作: csc??ry (α?kπ,k?Z) 注:终边在x轴上时，余切 余割无意义 ;终边在y轴上时， 正切正割无意义。 (2)三角比在各象限内的符号规律:一全正 二正弦 三两切 四余弦。 (3)特殊角的三角比 1)定义:角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线，统称三角函数线。 2)单位圆中的三角函数线:设角α的终边与单位圆交与P点,与过点A(1,0)的单位圆切线交于T点 (当终边与切线AT不相交时,取终边反向延长线与切线AT的交点), 过P作PM垂直x轴于M,则有向线段MP,OM,AT,分别叫做角α的正弦线 余弦线,正切线, 如图:正弦线为MP、余弦线为OM、正切线为AT。3)注:正弦线,正切线的正向与y轴的正向相同,向上为正,向下为负,余弦线的正向与x轴的正向相同,当角α的终边与y轴重合时,角α的正切线无意义 3.三角恒等式与三角比公式: (5)倍角公式:sin2??2sin?cos? cos2??2cos??1?1?2sin2? ?1?cos??1?cos (6)半角公式:sin?? co?? 2222 2 tan2?? 2tan? 1?tan2? tan ? 2 ?? ?cos?sin?1?cos? ?? 1?cos?1?cos?sin? 2tan ? sin?? (7)万能置换公式:tan?? 2 1?tan 2tan ? (1)同角三角比的关系 1)倒数关系:tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα =1 sinαcosα 2)商数关系:tanα= cotα= sinαcosα 3)平方关系:sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2 α (2)诱导公式:(奇变偶不变 符号看象限) ??2k?)?tan? cot公式一:sin(??2k?)?sin? cos(??2k?)?cos? tan((α+2k π)=cotα ?-sin?cos(??)?cos?tan(??)??tan?cot(-α)=-cot公式二:sin(??) α ?-sin? cos(???)?-cos? tan(???)?tan? cot公式三:sin(???)(π+α)=cot α 1?tan2 2 1+tan2 2 ? cos?? (8)积化和差公式: sin?cos?? co?ssi?n? 1+ta22 1 ?sin(???)?sin(???)? 2 ?sin? cos(???)?-cos? tan(???)??tan? cot(π-α)公式四:sin(???) =-cotα 公式五:sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα 公式六:sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+ α)=-tanα (3)两角和与差的正弦公式 余弦公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (4)辅助角公式:asin??bcos??a2?b2sin(???) tan?? ????) b aa ta?n? b (ab?0) 1 ?sin?(??)?sin?(??)? 2 1 cos?cos???cos(???)?cos(???)? 2 1 si?nsi?n???cos?(??)?co??s???? 2 (9)和差化积公式: ?????? sin??sin??2sincos 22 ?????? sin??sin??2cosi 22 ?????? cos??cos??2coscos 22 ?????? cos??cos???2sinsin 22 4.解斜三角形:(1)求三角形面积公式: S?=1a?ha=1absinC=1bcsinA=1acsinB= abc(R为三角形外接圆半 径) 22224R 1 =p(p?a)(p?b)(p?c)= r ?p(p?(a?b?c)，r为内切圆半径) 2 (2)正弦定理: bca=== 2R(R为三角形外接圆半径) sinAsinBsinC (3)余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA c 2 b2=a2+c2-2accosB 2 =a2+b2-2abcosC cosA?b ?c?a2bc 22 基本方法:大角对大角，大边对大边;已知三边，用余弦定理;已知两边一角，用余弦定理; 已知一边两角，相当于一边三角，用正弦定理。 二、 三角函数 1、(1)正弦 余弦 正切函数的图像与性质 (2)图像的作图方法:1)代数描点法:查表或计算器 2)几何作法:把圆等分——在x轴上标点——利用正弦线平移——连线 3)用五点法画正弦，余弦函数及y=Asin(??x??)的简图。通常取三个平衡点，一个最高点，一个最低点。 (3)周期函数:如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值都有f(x+T)=f(x)成立，则称T为f(x)的一个周期，函数f(x)为周期函数。 所有周期中若存在最小正数，则称其为最小正周期。 注:对于一个函数，若T为其周期，则T的任意整数倍都是f(x)的周期。 (4)函数y=Asin(??x??)的图象及性质:(??0,A?0) 2?1 , 频率为f=, ?为初相 ?T 1)A决定在y轴方向的伸缩，即横坐标不变，纵坐标变，改变值域。 A1时 伸长到原来的A倍 0A1时，缩短到原来的A倍. 2)?决定在x轴方向的伸缩，即纵坐标不变，横坐标变，改变周期。 11 ?1时 缩短到原来的倍 。0?1时，伸长到原来的倍 A为振幅，周期为T= ?? 3)?决定x轴方向上的平移。 原则:左加右减。 3.最简单的三角方程 (1)定义:含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。 (2)三角方程的解集:所有适合三角方程的未知数的值所组成的集合。 (3)最简三角方程及其解集 (1)可用换元的一元二次方程，如2sin2x?3cosx?0。(2)形如asinx?bcosx?c的三角方程。 (3)函数名称相同，系数相等的三角方程，如sin2x?sin3x (4)关于sinx、cosx的齐次方程如 asin2x?bsinxcosx?ccos2x?0 篇七:必修4 三角函数知识点归纳总结 《三角函数》 【知识网络】 应用 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为??????k?360???k?Z? ? x轴上角:????k?180??k?Z? y轴上角:???90?k?180 ? ?? ??k?Z? 3、第一象限角:??0?k?360????90??k?360???k?Z? 第二象限角:??90??k?360????180??k?360???k?Z? 第三象限角:??180??k?360????270??k?360???k?Z? 第四象限角:??270??k?360????360??k?360???k?Z? 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角:??0?k?360????90??k?360???k?Z? 锐角:??0???90?? 小于90的角:????90?? ? ? 5、若?为第二象限角，那么? 2 ?2 为第几象限角, ? 4?k?? 5?4 ?2k??????2k? ? 2 ? ? k?0, ? 4 ??? ? 2 , k?1,??? 23?2 ?k? , 所以 在第一、三象限 2 6、弧度制:弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角， 记作1rad. 7、角度与弧度的转化:1??8、角度与弧度对应表: ? ? 180 ?0.01745 1? 180? ? ?57.30??57?18? 9、弧长与面积计算公式 弧长:l???R;面积:S? 二、任意角的三角函数 1、正弦:sin?? yr xr yx 12 l?R? 12 2 ??R，注意:这里的?均为弧度制. ;余弦cos??;正切tan?? 其中?x,y?为角?终边上任意点坐标，r? 2、三角函数值对应表: 3、三角函数在各象限中的符号 口诀:一全正，二正弦，三正切，四余弦.(简记为“全s t c”) sin? tan?cos? 第一象限:.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0, 第二象限:.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0, 第三象限:.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0, 第四象限:.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0, 4、三角函数线 设任意角?的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P(x,y)， 过P作x轴的垂线，垂足为M;过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角?的终边或其反向 延长线交于点T. 由四个图看出: 当角?的终边不在坐标轴上时，有向线段OM?x,MP?y，于是有 sin??tan?? yryx??y1 ?y?MP， cos???AT xr?x1 ?x?OM ， ?AT( OA 我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。 OM MP 5、同角三角函数基本关系式 sin??cos??1 2 2 tan?? sin?cos? ?tan??cot??1 2 (sin??cos?)?1?2sin?cos? 2 (sin??cos?)?1?2sin?cos? (sin??cos?，sin??cos?，sin??cos?，三式之间可以互相表示) 6、诱导公式 n? 口诀:奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是2 ?? 中整数n的奇偶性，把?看作锐角) nn ??22 n?n??(?1)sin?,n为偶数?(?1)cos?,n为偶数sin(??)????)??;cos(. n?1n?1 22??22 ?(?1)cos?,n为奇数?(?1)sin?,n为奇数 ?.公式(一):?与??2k?,?k?Z? sin(??2k?)?sin?;cos(??2k?)?cos?;tan(??2k?)?tan? ?.公式(二):?与?? sin??????sin?;cos?????cos?;tan??????tan? ?.公式(三):?与??? sin???????sin?;cos???????cos?;tan??????tan? ?.公式(四):?与??? sin??????sin?;cos???????cos?;tan???????tan? ?.公式(五):?与 ?2 ?? ?????? sin?????cos?;cos??????sin?; ?2??2? ?.公式(六):?与 ?2 ?? ?????? sin?????cos?;cos?????sin?; ?2??2? ?.公式(七):?与 3?2 ?? ?3???3??sin??????cos?;cos?????sin?; ?2??2? ?.公式(八):?与 3?2 ?? ?3???3??sin??????cos?;cos??????sin?; ?2??2? 三、三角函数的图像与性质 1、将函数y?sinx的图象上所有的点，向左(右)平移?个单位长度，得到函数y?sin?x???的图象;再将函数y?sin?x???的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到 原来的 1 ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A倍(横坐标不变)，得到函数y?Asin??x???的图象。 倍(纵坐标不变)，得到函数y?sin??x???的图象;再将函数y?sin??x??? 2、函数y?Asin??x????A?0,??0?的性质: ?振幅:A;?周期: T? 2? ? ;?频率:f? 1T ? ?2? ;?相位:?x??;?初相:?。 3、周期函数:一般地，对于函数f?x?，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个x值，都满足f?x?T??f?x?，那么函数f?x? 就叫做周期函数，T叫做该函数的周期. k?? ?4、?y?Asin(?x??) 对称轴:令?x???k??对称中心:?x???k?，得 x? k??? ?2 ?? ，得x? ,0)(k?Z); ? ? ，( k??? ? ?y?Acos(?x??)对称轴:令?x???k?，得x? ? 2 k??? k?? ???k?? ??; ?? ,0)(k?Z); 对称中心:?x???k???周期公式: ，得x? ? ，( ?2? ?函数y?Asin(?x??)及y?Acos(?x??)的周期T??0). ?函数y? Atan??x???的周期T ? (A、ω、?为常数，且A ? (A、ω、?为常数，且A?0). 5、三角函数的图像与性质 篇八:三角比三角函数知识点总结 一 、三角比 1.任意角的相关概念及其度量: (1)角的定义: 平面内一条射线绕着其端点从初始位置(始边)旋转到终止位置(终边)所形 成的图形。 (2)角的分类: 1)正角:平面内一条射线绕其端点从初始位置，按逆时针方向旋转到终止位置所形成的角。 2)负角:平面内一条射线绕其端点从初始位置，按顺时针方向旋转到终止位置所形成的角。 3)零角:始边没有转动的角。 (3)象限角: 1)定义:在直角坐标系内，角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，则终边在第几象限，就叫第几象限角。(也叫这个角属于第几象限) 2)集合表示象限角:第一象限角{?|k?360??k?360?+90?，(k?Z)}; 第二象限角{?|k?360?+90??k?360?+180?，(k?Z)};第三象限角{?|k?360?+180??k?360?+270?，(k?Z)}; 第四象限角{?|k?360?+270??k?360?+360?，(k?Z)}; 3)注意:当终边落在坐标轴上时，角不属于任何象限。 (4)终边相同的角的表示方法: ,α|α=360?k+β，k?Z , 。绝对值360?时 直接观察终边 绝对值360?时，正角除以360?看余数。负角处以—360?，看余数。 (5)角的度量: 1)角的度量方法:角度值与弧度制。 2)角度制:1?:把圆周平均分为360份，一份的圆心角即为1?。 2 n?rn?R 公式: l? S扇? 180360 3)弧度制:在圆内的弧长等于半径的弧所对的圆心角定义为1弧度的角。 单位:rad(弧度) (可省略) 公式:l ?r? ? ? 4)弧度制与角度制的换算:(360?=2πrad 180?=πrad) ?180?? rad?0.01745rad 1rad??1?=??5718' 180??? 5) 2.任意角的三角比: (1)任意角的三角比的定义 设?是一个任意角，在?的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)则P与原点的距离 r? x yr 2 ?y 2 ?x?y 22 ?0比值叫做?的正弦记作: sin?? yr (α?R) 比值比值比值比值 比值 xry 叫做?的余弦记作: cos??叫做?的正切记作: tan??叫做?的 余切记作: cot??叫做?的正割记作: sec??叫做?的余割记作: csc?? xryxx (α?R) (α?kπ+π/2，k?Z) (α?kπ,k?Z) (α?kπ+π/2 ,k?Z)(α?k π,k?Z) xx y rx y rx ry ry 注:终边在x轴上时，余切 余割无意义 ;终边在y轴上时，正切正割无意义。 (2)三角比在各象限内的符号规律:一全正 二正弦 三两切 四余弦。 (3)特殊角的三角比 (4)三角函数线: 1)定义:角α 的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线， 统称三角函数线。 2)单位圆中的三角函数线:设角α的终边与单位圆交与P点,与过点A(1,0)的单位圆切线交于T点 (当终边与切线AT不相交时,取终边反向延长线与切线AT的交点), 过P作PM垂直x轴于M,则有向线段MP,OM,AT,分别叫做角α的正弦线 余弦线,正切线, 如图:正弦线为MP、余弦线为OM、正切线为AT。3)注:正弦线,正切线的正向与y轴的正向相同,向上为正,向下为负,余弦线的正向与x轴的正向相同,当角α的终边与y轴重合时,角α的正切线无意义 3.三角恒等式与三角比公式: (1)同角三角比的关系 1)倒数关系:tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 2)商数关系:tanα= sinαcosα cotα= cosαsinα 3)平方关系:sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (2)诱导公式:(奇变偶不变 符号看象限) 公式一:sin(??2k?)?sin? cos(??2k?)?cos? tan(??2k?)?tan? cot(α+2kπ)=cotα 公式二:sin(??)?-sin?cos(??)?cos?tan(??)??tan?cot(-α)=-cotα公式三:sin(???)?-sin? cos(???)?-cos? tan(???)?tan? cot(π+α)=cotα 公式四:sin(???)?sin? cos(???)?-cos? tan(???)??tan? cot(π-α)=-cotα 公式五:sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα 公式六:sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα (3)两角和与差的正弦公式 余弦公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (4)辅助角公式:asin??bcos??a2?b2sin(???) tan?? baab (ab?0) ????) tan2?? 2 tan?? (5)倍角公式:sin2??2sin?cos? 2 2tan?1?tan? 2 cos2??2cos??1?1?2sin? 2 (6)半角公式:sin tan ?2 ???? 1?cos? 21?cos?1?cos? ? co?? 2sin?1?cos? ? ?1?co?s1?cos?sin? ?2 1?tan 2 (7)万能置换公式:tan? (8)积化和差公式: sin?cos?? 12 1 2tan?1?tan ?2 2tan ?2 ?? ?2 sin?? 1+tan ?2 cos?? 1+tan 2 2 ?sin(???)?sin(???)? co?ssin?? 12 ?s 12 in?(??)?sin?(??)? cos?cos?? (9)和差化积公式: 2 ?cos(???)?cos(???)? si?nsin??? ?cos?(??)?co??s?? ?? sin??sin??2sin ??? 2 cos ??? 2cos 2 sin??sin??2co??? 2 si??? 2sin 2 cos??cos??2cos ??? 212 ??? cos??cos???2sin ??? 2 ??? 4.解斜三角形:(1)求三角形面积公式: S?=1a?h 2 a= 12 absinC= 12 bcsinA=acsinB= 12 abc4R (R为三角形外接圆半径) = p(p?a)(p?b)(p?c)= r ?p(p? asinA (a?b?c) ，r为内切圆半径) (2)正弦定理: = bsinB = csinC = 2R(R为三角形外接圆半径) A (3)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos 2 2 2 b=a+c-2accosB 2 2 2 c=a+b-2abcosC cosA? b?c?a 2bc 222 基本方法:大角对大角，大边对大边;已知三边，用余弦定理; 已知两边一角，用余弦定理; 已知一边两角，相当于一边三角，用正弦定理。 二、 三角函数 1、(1)正弦 余弦 正切函数的图像与性质 2)几何作法:把圆等分——在x轴上标点——利用正弦线平移——连线 3)用五点法画正弦，余弦函数及y=Asin(??x??)的简图。通常取三个平衡点，一个最高点，一个最低点。 (3)周期函数:如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值都有f(x+T)=f(x)成立，则称T为f(x)的一个周期，函数f(x)为周期函数。所有周期中若存在最小正数，则称其为最小正周期。 注:对于一个函数，若T为其周期，则T的任意整数倍都是f(x)的周期。 (4)函数y=Asin(??x??)的图象及性质:(??0,A?0) A为振幅，周期为T= 2? ? , 频率为f= 1T , ?为初相 1)A决定在y轴方向的伸缩，即横坐标不变，纵坐标变，改变值域。 A1时 伸长到原来的A倍 0A1时，缩短到原来的A倍. 2)?决定在x轴方向的伸缩，即纵坐标不变，横坐标变，改变周期。 ?1时 缩短到原来的 1 ? 倍 。0?1时，伸长到原来的 1 ? 倍 3)?决定x轴方向上的平移。 原则:左加右减。 2.反三角函数: 篇九:三角函数知识点整理 1. 角的有关概念 (1)角的概念:角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。射线的端点叫做角的顶点;旋转开始时的射线叫做角的始边;旋转终止时的射线叫做角的终边。 (2)正角、负角和零角 按逆时针方向旋转而成的角叫做正角; 按顺时针方向旋转而成的角叫做负角; 当一条射线没有作任何旋转时而成的角叫做零角. (3)象限角 在平面直角坐标系下,使角的顶点与坐标原点重合,角 的始边与x轴的正半轴重合,角的终边落在第几象限,就把这个角称做第几象限角,若角的终边落在坐标轴上,称为轴线角,这个角不属于任何象限. (4)各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的?、?、?、 ? 分别指第一、二、三、四象限角的半角范围; (5)终边相同的角 与?角终边相同的角所组成的集合:S={?????2k?,k?z} 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l a ，圆心角为(rad),半径为R，面积为S 3. 任意角的三角函数 r? 三角函数(6个)表示:a为任意角，角a的终边上任意点P的坐标为(x,y)，它与原点的距离为,0,当点P在单位圆上时，r=1) 那么角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是: sina ?4. (r xry xyr ，cosa?，tana? ，cota?，seca?，csca?. yyrrxx 同角三角函数关系式 ? 倒数关系: tanacota?1 ?商数关系:tana??平方关系:sina?cosa?1 2 2 sinacosa ， cota? cosasina 5. 三角函数符号规律 6. 7. l特殊锐角(0?，30?，45?，60?，90?)的三角比的值 诱导公式:(奇变偶不变，符号看象限)k2?/2+a所谓奇偶指的是整数k的奇偶性 注: 8. 两角和与差的三角函数: (1) 两角和与差公式: sin(???)?sin?cos??cos?sin?, sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?, cos(???)?cos?cos??sin?sin? tan(???)? tan??tan?tan??tan? , tan(???)? 1?tan?tan? 1?tan?tan? (2) 二倍角公式: sin2??2sin?cos? cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2??升幂公式?tan2?? 2tan?1?tan2? sin2?? 1?cos2?? 2 ????1?cos2??2sin?2 (降幂公式)???2 1?cos2????1?cos2??2cos?cos2?? ?2? (3)半角公式(可由降幂公式推导出): sin a1?cosasina1?cosaa?cosaa?cosa ，cos?? ，tan?? ???? 2221?cosa1?cosasina22 (4)辅助角公式 (5)三角函数的积化和差 ，可得: (6)三角函数的和差化积公式 10.函数y?Asin(?x??)的图像与性质: (本节知识考察一般能化成形如y?Asin(?x??)图像及性质) (1) 函数y?Asin(?x??)和y?Acos(?x??)的周期都是T? 2? (2) 函数y?Atan(?x??)和y?Acot(?x??)的周期都是T?? (3) 五点法作y?Asin(?x??)的简图，设t??x??，取0、 y值再描点作图。 3?? 、?、、2?来求相应x的值以及对应的 22 (4) y?sinx经过变换变为y?Asin的步骤: (?x??) 方法1:先平移后伸缩 ? y?sinx????????y?sin?x纵坐标不变 向左或向右?y?sin(?x??)平移 1 横坐标变为原来的倍 ? 个单位 纵坐标变为原来的A倍????????y?Asin(?x??) 横坐标不变 方法2:先伸缩后平移 向左或向右 y?sinx?y?sin(x??)平移个单位 ????????y?sin(?x??)纵坐标不变 ? 横坐标变为原来的 1 倍 纵坐标变为原来的A倍????????y?Asin(?x??)横坐标不变 (5) 函数的平移变换: ?y?f(x)?y?f(x?a)(a?0) 将y?f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位 (左加右减) ?y?f(x)?y?f(x)?b(b?0) 将y?f(x)图像沿y轴向上(下)平移b个单位 (上加下减) 函数的伸缩变换: ?y?f(x)?y?f(wx)(w?0) 将y?f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的 1 倍(w?1缩短， w 0?w?1伸长) ?y?f(x)?y?Af(x)(A?0) 将y?f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A?1伸长， 0?A?1缩短) 函数的对称变换: ? y?f(x)?y?f(?x)) 将y?f(x)图像绕y轴翻折180?(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于x轴对称) ? y?f(x)?y??f(x)将y?f(x)图像绕x轴翻折180?(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于y轴对称) ? y?f(x)?y?f(x) 将y?f(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧(偶函数局 部翻折) ? y?f(x)?y?f(x)保留y?f(x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去(局部翻动) 篇十:必修四三角函数知识点经典总结 高一必修四:三角函数 一 任意角的概念与弧度制 (一)角的概念的推广 1、角概念的推广: 在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角;当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。 2、特殊命名的角的定义: (1)正角，负角，零角 :见上文。 (2)象限角:角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为:第一象限角、第二象限角等 (3)轴线角:角的终边落在坐标轴上的角 终边在x轴上的角的集合: ?|??k?180?,k?Z 终边在y轴上的角的集合: ?|??k?180??90?,k?Z 终边在坐标轴上的角的集合:?|??k?90?,k?Z (4)终边相同的角:与?终边相同的角x???2k? (5) 与?终边反向的角: x???(2k?1)? 终边在y=x轴上的角的集合:?|??k?180??45?,k?Z 终边在y??x轴上的角的集合:?|??k?180??45?,k?Z (6)若角?与角?的终边在一条直线上，则角?与角?的关系:??180?k?? (7)成特殊关系的两角 若角?与角?的终边关于x轴对称，则角?与角?的关系:??360?k?? 若角?与角?的终边关于y轴对称，则角?与角?的关系:??360?k?180??? 若角?与角?的终边互相垂直，则角?与角?的关系:??360?k???90? 注:(1)角的集合表示形式不唯一. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. 3、本节主要题型: 1.表示终边位于指定区间的角. 例1:写出在?720?到720?之间与?1050?的终边相同的角. 例2:若?是第二象限的角,则2?, ?? ? ? ?? ?? ?? ? 2 是第几象限的角?写出它们的一般表达形式. 例3:?写出终边在y轴上的集合. ?写出终边和函数y??x的图像重合,试写出角? 的集合. ??在第 二象限角,试确定2?, ?? 23, 所在的象限. ??角终边与168?角终边相同,求在[0?,360?)内与 (二)弧度制 1、弧度制的定义:?? ? 终边相同的角. 3 l R 2、角度与弧度的换算公式: 360?=2? 180?=? 1?=0.01745 1=57.30?=57?18′ 注意:正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 一个式子中不能角度,弧度混用. 3、题型 (1)角度与弧度的互化 例:315?,330?,?,? (2)? 7643 L112 ，l?r?,s?lr?r?的应用问题 R22 2 例1:已知扇形周长10cm,面积4cm,求中心角. 例2:已知扇形弧度数为72?,半径等于20cm,求扇形的面积. 例3:已知扇形周长40cm,半径和圆心角取多大时,面积最大. 例 4:?1??570?,?2?750?,?1?a.求出?1,?2弧度,象限. b.?1,?2用角度表示出,并在?720?~0?之间找出，他们有相同终边的所有角. 二 任意角三角函数 (一)三角函数的定义 1、任意角的三角函数定义 正弦sin?? yyx ，余弦cos??，正切tan?? rrx 37 ?,?2??? 53 2 (二)单位圆与三角函数线 1、单位圆的三角函数线定义 如图(1)PM表示?角的正弦值，叫做正弦线。OM表示?角的余弦值，叫做余弦线。 如图(2)AT表示?角的正切值，叫做正切线。 注:线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负 (三)同角三角函数的基本关系式 同角三角函数关系式 (1) 商数关系: sin? ?tan? cos? 2 2 (2) 平方关系:sin??cos??1 (四)诱导公式 sin?(x)??sinxsin(2??x)??sinxsin(2k??x)?sinx ?(x)?cosx coscos(2k??x)?cosxcos2?(?x)?cosx tan?(x)??tanxtantan(2k??x)?tanx2?(?x)??tanx sin(??x)??sinx cos(??x)??cosxtan(??x)?tanx 三 三角函数的图像与性质 (一)基本图像: 1(正弦函数 1 cos(???)??sin? 21 sin(???)?cos? 21 tan(???)??cot? 2 sin?(?x)?sinx ?(?x)??cosx costan?(?x)??tanx 1 sin(???)?cos? 21 cos(???)?sin? 21 tan(???)?cot? 2 2(余弦函数 3(正切函数 (二)、函数图像的性质 (三)、常见结论: 1.y?sinx与y?cosx的周期是?. ?x??)或y?cos(?x??)(??0)的周期T?2.y?sin( 2? ? . 3.y?tan x 的周期为2?. 2 ?x??)的对称轴方程是x?k??4.y?sin( ? 2 (k?Z)，对称中心(k?,0); )，对称中心(k?? y?cos(?x??)的对称轴方程是x?k?(k?Z 1 ?,0); 2 y?tan(?x??)的对称中心( tan??1,????k??5.当tan?? k? ,0). 2 2 (k?Z);(WHY?) ? tan???1,????k???? tan 6.函数 ? 2 (k?Z)(WHY?) y?tanx在R上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y?tanx为增 函数，同样也是错误的.] 7.奇函数特有性质:若0?x的定义域，则 f(x)一定有f(0)?0.(0?x的定义域，则无此性质) 8. y?sinx不是周期函数;y?sinx为周期函数(T??); y?x是周期函数(如图);y?cosx为周期函数(T??); y?cos2x? 1 的周期为?(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如: 2 y=cos|x|图象 y=|cos2x+1/2|图象