(WORD)-徐州工程学院大一第二学期高等数学
及
_图文
徐州工程院大一第学学数学二期高等鲁卷及答案
_鲁文
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
徐州工程院高等;下,学数学鲁年期末考鲁鲁鲁
【整理自信来学鲁院14鲁嵌 鲁鲁 更多内部鲁考鲁料鲁鲁注微博,站牌等待Kay】
高等数学鲁卷1
;2009-2010第二学期A,
一、空填鲁;每小鲁3分~共15分,
f(x,y)鲁的定鲁域鲁 。 1
、函数
y2、已知z鲁x(x鲁0)~鲁dz鲁。
xz鲁z鲁ln鲁zy鲁x3、鲁鲁。 d鲁鲁鲁鲁4、~其中D鲁{(x,y)xD
鲁2y2,鲁4}。 xn鲁n5. 鲁鲁数n鲁1n鲁2的收鲁鲁鲁区 。
二、鲁鲁鲁鲁鲁;每小鲁3分~本鲁共15分,
x3y4z,,,,鲁鲁273与平面鲁,4x2y2z,,鲁3的位置鲁系鲁( ). 1、直鲁L,
A L平行于平面鲁 B L在平面鲁上
C L垂直于平面鲁 D L平面与鲁相交~但不垂直
2、鲁于二元函数f(x,y)的性鲁~下列叙确述正的是( ).
A 若函数f(x,y)在点(x0,y0)鲁可微分鲁fx(x,y)、fy(x,y)在点(x0,y0)鲁鲁鲁。
B 若fx(x,y)、fy(x,y)在点(x0,y0)鲁鲁鲁鲁函数f(x,y)在点(x0,y0)鲁可微分。
C 若函数f(x,y)在点(x0,y0)鲁鲁鲁鲁函数f(x,y)在点(x0,y0)鲁可微分。
D 若fx(x0,y0)、fy(x0,y0)存在鲁函数f(x,y)在点(x0,y0)鲁可微分。
3、鲁于鲁数确的鲁散性下列各式正的是( ). 鲁1n1(1),鲁鲁n鲁鲁收鲁 A n鲁1n收鲁 B n鲁1
鲁鲁1n1(1),鲁n鲁n2鲁鲁收鲁 C n鲁02鲁散 D n鲁1
鲁鲁鲁鲁鲁鲁a鲁4~b鲁
2~且a鲁b鲁a鲁b鲁; ,4、已知向量a~b的模分鲁鲁,
鲁
A
B
C D 2
-1-
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
b
x
5.将A.C.
鲁dx鲁
a
xax
a
f(x,y)dy(b鲁a)
交鲁鲁分次序鲁; ,,
鲁鲁
b
ab
dy鲁f(x,y)dxdy鲁f(x,y)dx
B. D.
鲁鲁
b
ab
dy鲁f(x,y)dx
y
b
a
a
dy鲁f(x,y)dx
y
a
x4y3z,,
鲁鲁
(3,1,2)21,的平面方程。三、求鲁点A且通鲁直鲁5;本鲁8分,
鲁z鲁z
2u
u鲁xy~v鲁x2y,~求鲁x~鲁y。z鲁e鲁cosv四、鲁~而;本鲁8分,
五、求微分方程y鲁鲁,,10y鲁9y鲁e的通解。;本鲁9分,
六、求函数f(x,y)鲁xy3x3y9x8,,,,,的极鲁。;本鲁9分,
3
3
2
2
2x
n2
鲁n
七、判定鲁数n鲁13的鲁散性。;本鲁6分,【微博,站牌等待Kay】
鲁
八、鲁算下列各鲁;共2小鲁~第一鲁6分~第二鲁10分~共鲁16分,
xyd鲁鲁鲁1、求二重鲁分,其中,D
是由抛两条物鲁y鲁
D
y鲁x2所鲁成的区域. ;本鲁6
分,
22
z鲁z鲁6x,,
y2、求由和鲁成的立鲁体体。;本鲁10分,
1
f(x)鲁
2x ,九、将
? 展鲁鲁x的鲁鲁数~ ? 展鲁鲁x1,的鲁鲁数。;本鲁8分,
鲁2z鲁2z2x
鲁,ezx22uu,
鲁y十、鲁函数z鲁ee,~而u鲁esiny~鲁明 鲁x。;本鲁6分,
高等数学鲁卷2
;2011-2012第二学期,
一、鲁鲁鲁;共 5 小鲁~每鲁 3 分~共鲁 15 分,
r
rrr
rra鲁2b鲁a鲁b鲁
1. 鲁~a鲁b鲁2~鲁; ,
;A,1 ;B,4 ;C,2 ;D,6
22
2
,曲面z鲁被柱面xy,鲁1所割下部分的面鲁鲁; ,
;A
, ;B,鲁 ;C,2鲁 ;D
3,交鲁二次鲁分鲁1;A,鲁0
1
2
dx2x,
f,
x,ydy,
的鲁分次序鲁; ,
1
dy鲁
2y,
1f,
x,ydx,
;B,鲁0
-2-
dy鲁
12y,
f,
x,ydx,
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
;C,鲁2
1dy鲁2y1f,,
x,ydx ,;D,鲁2
1dy鲁12yf,,
x,ydx,
4,要使得曲鲁鲁分鲁LFx,yydxFx,yxdy,,,,,与径数路无鲁~可微函Fx,y,,鲁鲁足; ,
鲁F鲁F鲁F鲁Fy鲁xy鲁x鲁x ;B,鲁x鲁y ;A,鲁y
鲁2F鲁2F鲁F鲁F鲁鲁22鲁y鲁x鲁y鲁x ;C, ;D,
5,鲁鲁数
n鲁鲁x5n,收鲁鲁区是; ,
;A,,,,;B,1,1 ,4,1 ,;C,,,,;D,1,6 ,4,6,
二、空填鲁;共 5 小鲁~每鲁 3 分~共鲁 15 分,
221,xoy面上的曲双鲁4x9y,鲁36鲁x鲁旋鲁一周~所生成的旋鲁曲面方程
鲁 .
1limxysin2,,,,,,鲁2x,y鲁,,0,0x鲁y2,限极.
3,鲁z鲁arctany
x~鲁dz鲁
.
2
x4
,把二次鲁分鲁0化鲁极坐鲁系下的二次鲁分鲁鲁
.
1fx,,鲁x展成,x2,,的数鲁鲁鲁. 5,把
三、;本鲁9分,求鲁点,,3,2,5与两,且平面x4z3,,鲁0和2xy5z1,,,鲁0的交dxfdy鲁平
行的直鲁方程.
四、;共 3小鲁~每鲁5分~共鲁15分,鲁算下列偏鲁数.
u鲁z鲁zx鲁2v~y鲁3u2v,~求鲁u和鲁v. 1,若z鲁xlny~
2,鲁fu,,是可微函~数Fx,t,,,,,,,,,鲁fx2tf3x2t~求Fx0,0,,~Ft0,0.,,
鲁z鲁z
,xyz3,鲁,,e2ze鲁~求0鲁x和鲁y.
五、;本鲁
10分,求D~其中D鲁鲁,,,x,yx2y2鲁x鲁.
33z鲁3axyxy,,六、;本鲁10分,鲁,a鲁0,~求zx,y,,的极并极鲁~指明是大
鲁鲁是小极鲁.
-3-
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
xdydz2ydzdx3z1dxdy,,,,,鲁鲁七、;本鲁12分,鲁算曲面鲁分~其中鲁
是鲁面
鲁
z鲁,,0鲁z鲁1下鲁.
2n鲁n!
nn.
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八、;共 2小鲁~每鲁7分~共鲁14分,判下列断数条鲁是否收鲁~若收鲁是
件收鲁鲁是鲁鲁收鲁. 1. 2.
鲁,,1,
n鲁1鲁n鲁1
鲁
n1,
鲁,
,1,
n1,
高等数学鲁卷3
;2009-2010第二学期B,
一、鲁鲁鲁;共 5 小鲁~每鲁 3 分~共鲁 15 分,
x2y2z3,,,
鲁鲁,73平面与4x2y2z,,鲁3的位置鲁系是; , 1. 直鲁,2
;A,垂直 ;B,平行 ;C,直鲁在平面上 ;D,不定确
2,下列鲁法正的是; ,确
;A,若fxx0,y0,,、fyx0,y0,,存在~鲁函数fx,y,,在点,x0,y0,可微分. ;B,若
fxx0,y0,,、fyx0,y0,,存在~鲁函数fx,y,,在点,x0,y0,鲁鲁. ;C,若函数,,fx,y在点,x0,y0,
可微~鲁函数fx,y,,在点,x0,y0,鲁鲁. ;D,若fxx0,y0,,鲁、fyx0,y00,,鲁0~鲁点,x0,y0,是
函数fx,y,,的极鲁点. 3,交鲁二次鲁分鲁0
1
2y0
3
3y0,
dy鲁
fx,ydx,,,鲁dy鲁
1
fx,ydx,,
的鲁分次序鲁; ,
202
鲁;A,鲁;C,
202
dx鲁1dx鲁1
鲁
3xx,
fx,ydyfx,ydy,,,,
n
2
鲁 ;B,鲁 ;D,
dx鲁1dx鲁1
3xx,
fx,ydyfx,ydy,,,,
2
3xx,
3xx,
1
2
1
2
4,鲁鲁数
n鲁x5,的收鲁鲁区是; ,【微博,站牌等待Kay】
;A,,,,;B,1,1 ,4,6 ,;C,,,,;D,1,4 ,1,6,
鲁
1n1,
,,,,1鲁2n1; , 5,鲁数n鲁1
;A,鲁鲁收鲁 ;B,鲁散 ;C,件收条鲁 ;D,不定确
二、空填鲁;共 5 小鲁~每鲁 3 分~共鲁 15 分,
rrrrrrra鲁2ij2k1,,,向量x向量共与鲁~且a鲁x鲁,18~鲁
r
x鲁.
-4-
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
2
,y鲁0x鲁0鲁y
x3,函数z鲁e~鲁dz鲁fx,y,zdxdydz,,鲁鲁鲁4,三重鲁分;其中鲁由曲面z鲁x鲁2y2,及
平面z鲁1所鲁鲁区
鲁下,鲁域,化鲁三次鲁分;直角坐
鲁 .
5,鲁数n鲁1鲁,,,,,,1鲁nn12n102n ;收填鲁或鲁散,.
三、;本鲁8分,求平面与两x4z,鲁3和2xy5z,,鲁1的交鲁平行且鲁点,,3,2,5,的直鲁
的方程.
四、;共 2小鲁~每鲁7分~共鲁 14分,鲁算下列偏鲁数.
1,求函的一数数鲁偏鲁;其中f具有一鲁鲁鲁偏鲁数,.
xz鲁z鲁z鲁lny~求鲁x及鲁y. 2,鲁z
五、;共 2小鲁~每鲁7分~共鲁 14 分,鲁算下列重鲁分. u鲁fx2y2,exy,,,
xyd鲁鲁鲁1,鲁算~其中D是由抛物鲁yD2鲁x及直鲁y鲁x2,所鲁成的鲁域区.
2,D
限的内区鲁域. 22ln1xyd,,,,鲁鲁鲁22~其中D是由鲁周xy,鲁1及坐鲁鲁所鲁成的在第一象
六、;本鲁12分,求函数
大极鲁. fx,y,,,,,,鲁e2xxy22y的极并断极鲁~判是小鲁鲁是
,2xy七、;本鲁12分,鲁算曲鲁鲁分鲁L3y2cosxdx12ysinx3x2y2dy,,,,,,,~其
鲁鲁鲁鲁,1鲁20,02x,,鲁鲁y中L鲁在抛物鲁上由点到鲁2鲁的一段弧.
八、;本鲁10分,函将数
fx,,,,鲁1x24x3展鲁成,x1,,的鲁鲁数. -5-
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
高等数学鲁卷4
;2010-2011第二学期,
一、鲁鲁鲁;共 5 小鲁~每鲁 3 分~共鲁 15 分,
22xoy4x9y,鲁36鲁x鲁旋鲁一周~1. 面上的曲将双鲁所生成的旋鲁曲面方程鲁
; ,
222222;A,4x9y4z,,鲁36 ;B,4x9y9z,,鲁36
222222;C,4x9y9z,,鲁36 ;D,4x9y4z,,鲁36
鲁xyz1,,,鲁0鲁2,直鲁鲁2xyz4,,,鲁0的一方向向量个鲁; ,
;A,,,2,1,3 ,;B,,,,2,1,3 ;C,,,,,2,1,3 ;D,,2,1,3,,
3,交鲁二次鲁分鲁0
;A,鲁0
;B,鲁
;C,鲁01
111dx1f,
x,ydy2y20,的鲁分次序鲁; , dy0f,
x,ydx,,,,,鲁dy鲁1fx,ydx1dydy鲁y2y20f
x,ydx 20fx,ydx,,,,,鲁dy鲁1f
x,ydx,
;D,鲁0dyy2f,
x,ydx,
4,下列鲁法正的是; ,确
;A,若fx,y,,在点,x0,y0,鲁鲁~鲁,,fx,y在点,x0,y0,可微.
;B,若fxx0,y0,,~fyx0,y0,,都存在~鲁fx,y,,在点,x0,y0,鲁鲁.
;C,若n鲁鲁limun鲁0~鲁鲁数n鲁1鲁u鲁n收鲁.
鲁
un鲁s鲁鲁s鲁uuLun,,,收鲁~鲁鲁数n鲁112n~若列;数D,鲁n收鲁.
1fx,,鲁x展鲁成,x3,,的数区鲁鲁~其收鲁鲁是; , 5,把函数
;A,,,,;B,1,1 ,0,1 ,;C,,,,;D,1,6 ,0,6,
二、空填鲁;共 5 小鲁~每鲁 3 分~共鲁 15 分,
-6-
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
0且,1平面与3x4y2z,,鲁1平行的平面方程1,鲁点,0,,
鲁 .
lim鲁,,,x,y鲁鲁
0,02,限极
xfx,y,,鲁enis3,鲁yxdz,
y~鲁鲁鲁鲁鲁1,鲁鲁2鲁鲁2zdxdydz鲁鲁鲁4,三重鲁分;其中鲁由曲面z鲁x鲁,y2及平面z鲁4
所鲁鲁域区,化
鲁柱面坐鲁下的三次鲁分鲁鲁 .
5,若鲁鲁平面x鲁0~y鲁0~z鲁0~x鲁a~y鲁a~z鲁a所鲁成的立体的表面
xdydzydzdxzdxdy,,鲁鲁鲁Ò的外鲁~鲁 . 鲁
三、;共 3小鲁~每鲁7分~共鲁 21分,求下列偏鲁数.
鲁z鲁z
v1. 鲁z鲁u~u鲁xy,~v鲁xy~求鲁x和鲁y.
鲁z1鲁z22z鲁fx,xyx2. ,,鲁~其中f有鲁鲁偏鲁数~求鲁x和鲁y.
鲁z鲁z32x3zz,,,,,鲁zx,yz鲁e2y鲁x鲁y. 3. 鲁函数确由方程定~求
四、;共 2小鲁~每鲁7分~共鲁 14分,鲁算下列重鲁分.
x2
dxdy3鲁鲁1,Dy~其中D由x
鲁2~y鲁xy鲁1鲁成.
2
,鲁鲁sinD2222~其中D鲁鲁鲁,鲁鲁xy,鲁4鲁.
44fx,y鲁4xyxy,,,,五、;本鲁 10分,求函数极并断极极鲁~判是大鲁鲁是小
鲁.
[cos(xy,六、;本鲁11分,鲁算鲁L2)2y]dx[2ycos(xy2)3x]dy,,,,~其中L鲁曲
鲁y鲁sinx上自点(鲁,0)至点(0,0)的弧段.
七、;共 2小鲁~每鲁7分~共鲁 14分,判下列断数条鲁是否收鲁~若收鲁是
件收鲁鲁是鲁鲁收鲁.
鲁n1n1n1,,,,,鲁3. n鲁11.
2.
-7-
鲁,
,,,1n鲁1鲁n1
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
高等数学鲁卷1考答参案
一、空填鲁;共 5小鲁~每鲁 3分~共鲁 15分,
(x,y)0鲁x1、鲁2y2,鲁1,y2鲁2x鲁
y1y2,、dz鲁yxdxx,鲁lnxdy
z
3、xz,
4、4π
5、(2,2),
二、鲁鲁鲁;共 5小鲁~每鲁 3分~共鲁15分,
1、A 2、B 3、D 4、C 5、B 鲁
三、解,已知直鲁的方向向量l鲁鲁5,2,1鲁且鲁点B(4,3,0) ,,鲁鲁鲁鲁AB鲁鲁1,4,2鲁
鲁鲁鲁鲁鲁鲁取平面的法向量n鲁l鲁AB 鲁鲁鲁ijk
鲁521
142 ,,,鲁鲁鲁鲁8i9j22k 鲁鲁鲁鲁鲁4分
鲁平面鲁点A(3,1,2),
而平面方程从鲁8(x3)9(y1)22(z2),,,,,鲁0
整理得8x9y22z,,鲁59 鲁鲁鲁鲁鲁4分
鲁z鲁z鲁u鲁z鲁v鲁鲁鲁鲁,x鲁u鲁x鲁v鲁x 四、解,四、解,
uv鲁xy2eu,鲁svi n 鲁e鲁cos
2鲁exy[2xycos(x2y)sin(x2y)] ,,,鲁鲁鲁鲁鲁4分 鲁z鲁z鲁u鲁z鲁v鲁 鲁y鲁u鲁y鲁v鲁 y
uuv鲁x2e2,鲁csvi 鲁e鲁cos n
鲁exy[x2cos(x2y)2sin(x2y)] ,,,鲁鲁鲁鲁鲁4分
五、解,所鲁方程所鲁鲁的鲁次方程鲁y鲁鲁,,10y鲁9y鲁0
2 特征方程鲁r10r9,,鲁0
特征根,r1鲁1~r2鲁9
x9x 而从鲁次方程的通解鲁,Y鲁c1ec2e ,鲁鲁鲁鲁鲁4分 2
-8-
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
因鲁鲁鲁2不是特征方程的根~故鲁非鲁次方程的特解鲁
,2x
0e y鲁a
鲁,2x,鲁2x求鲁 鲁得y鲁2a0e~y鲁4a0e
代入非鲁次微分方程整理并得,a0鲁1,
7
1y鲁Yy,,,,鲁c1exc2e9xe2x
7 而所求的非从鲁次微分方程的通解鲁,
鲁鲁鲁鲁鲁5分
鲁fx鲁(x,y)鲁3x26x9,,,,鲁0鲁鲁2鲁f(x,y)鲁3y6y鲁0鲁六、解,由方程鲁鲁y得鲁点
(1,0)~(1,2)~(3,0),~(3,2),
鲁鲁(x,y)鲁鲁(x,y)鲁,,6y64分 鲁0fyy鲁鲁(x,y)鲁6x,
6fxyfxx
而函的小从数极极鲁鲁~大鲁鲁。 鲁鲁鲁鲁鲁5分
n2(n1)2,
un鲁nun1,,鲁n13~3七、解,鲁鲁鲁数数正鲁鲁~ 鲁鲁鲁鲁鲁2分
(n12),
n1un11li,,鲁l2鲁鲁1n鲁鲁un鲁鲁n3n
3n 因
n2鲁n 所以鲁数n鲁13收鲁。 鲁鲁鲁鲁鲁4分
鲁鲁0鲁x鲁1D:鲁2鲁鲁x鲁y鲁 鲁鲁鲁鲁鲁2分 八、解,1、方法1,如鲁所示鲁分区域鲁
-9-
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
鲁鲁xyd鲁鲁鲁1
D
dxx
2xydy
1
x2x5
鲁鲁0(22)dx 1 ,鲁
12 D:鲁鲁鲁0鲁y鲁1方法2,如鲁所示鲁分区域
鲁鲁y2
鲁x鲁 鲁鲁xy鲁d
鲁1xydx
D
鲁
dy
2
1
y2 鲁鲁0(2y512)dy ,鲁
12。鲁鲁z鲁6x2y2,,
鲁2、由鲁鲁z鲁消去z得x2y2,鲁4
D:鲁鲁
0鲁鲁鲁2鲁0鲁鲁鲁2鲁
V鲁鲁鲁(6x2y2)d,,,鲁鲁
D
D
鲁鲁2,鲁鲁)d鲁d鲁
鲁鲁(6D,
鲁鲁2鲁0d鲁鲁2
0(6鲁鲁,,3鲁2)d鲁 鲁323。 1
鲁
九、解,;1,因鲁1x,鲁鲁xn
n鲁0(x鲁1)
f(x)鲁
12x,鲁12鲁1
所以
1x,
2 鲁鲁
xn
鲁n1,
n鲁02 (x鲁2) ;2,
f(x)鲁12x,鲁
1
1(x1) -10-,,
鲁鲁鲁鲁鲁4分
鲁鲁鲁鲁鲁2分
鲁鲁鲁鲁鲁4分 鲁鲁鲁鲁鲁3分
鲁鲁鲁鲁鲁4分
鲁鲁鲁鲁鲁3分
4分
鲁鲁鲁鲁鲁
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
鲁
鲁鲁(x1)nn,鲁0 (0鲁x鲁2 ) 鲁鲁鲁鲁鲁4分 鲁zdz鲁u鲁鲁鲁xdu鲁x 十、解,
uux ,,鲁(ee)鲁esin y
鲁2zuu2x2uux,,,,,鲁(ee)鲁e鲁siny(ee)鲁e鲁siny2鲁鲁鲁鲁鲁3分 鲁x
鲁zdz鲁u鲁鲁y 鲁ydu鲁
uux ,,鲁(ee)鲁ecos y
鲁2zuu2x2uux,,,,,鲁(ee)鲁e鲁cosy(ee)鲁e鲁siny2 鲁y
鲁2z鲁2z2,鲁e2xz2 从而鲁x鲁y 鲁鲁鲁鲁鲁3分
高等数学鲁卷2考答参案
一、鲁鲁鲁;共 5小鲁~每鲁 3分~共鲁15分,
1、C 2、 D 3、 B 4、 A 5、D
二、空填鲁;共 5小鲁~每鲁 3分~共鲁 15分,
2221、 4x9y9z,,鲁36
2、 0
yx2dxdy222xy3,,,、 xy,
鲁
鲁d鲁鲁鲁4、3
42sec鲁0f,,鲁鲁鲁d鲁
n 鲁n1,
5、n鲁0鲁,,,,,,,,,,,1鲁nx22n10鲁x鲁4鲁,1鲁或n鲁1x22nn10,,,,,,鲁x鲁4
三、;本鲁9分, 鲁鲁鲁ijk鲁s鲁04,
解法1 鲁鲁鲁215,,,,,鲁4i3jk ……5分 x3y2z5,,,鲁鲁431 ……4分 所求直鲁方程鲁
解法2 鲁点,
鲁点,,3,2,5与,且平面x4z3,,鲁0平行的平面方程鲁x4z23,,鲁0~……4分
……4分
-11- 3,2,5,,且平面与2xy5z1,,,鲁0平行的平面方程鲁2xy5z33,,,鲁0~
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
鲁x4z23,,鲁0鲁
因此所求直鲁方程鲁鲁2xy5z33,,,鲁0 ……1分
四、;共 3小鲁~每鲁5分~共鲁15分,
鲁z鲁z鲁x鲁z鲁y鲁,
1.解 鲁u鲁x鲁u鲁y鲁u ……1分
1vx2y,鲁3鲁2u3u2
鲁2xlny鲁v2ln3u2vv2,,,,
3u2v ,,鲁z鲁z鲁鲁v鲁x鲁x鲁v
鲁z鲁y
鲁y鲁v 鲁2xlny鲁鲁鲁鲁,u鲁x
2
2u22u2v2鲁鲁y,
鲁,,,,,,,,2鲁v3ln3u2vv2
3u2v 2.,解 Fx鲁fxx2t3fx3x2t Fx0,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,鲁fx03fx0鲁4fx0 Fx鲁2ftx2t2ft3x2t
Ft0,0,,,,,,,,鲁2ft02ft0鲁0 xy3. 解 令Fx,y,z,,,,鲁e2zez
Fyexyxexy,,,
x鲁,~Fy鲁~Fz,,,,,,,,鲁2ez 鲁zFxyexyyexy鲁x鲁F鲁z鲁z2e2ez 鲁zFyxexyxexy,,,,,,,鲁y鲁F鲁鲁z2ez2ez 五、;本鲁 10分,
鲁解法一
D
鲁1
dx 分
鲁2鲁
1
鲁2鲁0
鲁t~鲁dx鲁,2tdt
1
原式
鲁4鲁0
,,,1t2t2dt
分
鲁t31
鲁4鲁鲁3t5,鲁5鲁鲁鲁4鲁鲁11鲁80
鲁35,鲁鲁鲁
15 -12-
……2分
……1分
……1分 ……1分
分 分
……1分
……1分
……2分
……1分
……1分 ……2
……2分
……4
……2分 ……2 ……1
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
鲁
解法二
D
xd鲁y
鲁
2
,
鲁
2
2
鲁d鲁
0cos鲁0
co鲁鲁d鲁
……4分
鲁鲁鲁鲁鲁
,2
2鲁2鲁2
鲁d鲁鲁鲁鲁鲁鲁鲁2鲁cos3鲁d鲁
5252,,
……4分
32
4鲁428鲁鲁21sin2,,,鲁dsin鲁鲁鲁鲁505315 ……2分
六、;本鲁10分,
鲁鲁鲁
z鲁3ay3x2,
x鲁0 解方程鲁zy鲁3ax3y2,解鲁鲁鲁0 分 得鲁点,
0~0,~,,a,a 鲁2z鲁2z鲁x2
鲁,6x~鲁x鲁y鲁3a鲁2z~鲁y2,鲁6y 鲁于点,0~
0 ,鲁2A鲁z
鲁2
鲁0B鲁
鲁2z
x
,0,0,
鲁3aC鲁鲁20
~
x鲁y0,0,,
鲁z
~
鲁y2
,0,0,
鲁 ACB2,,鲁9a2鲁0
故zx,y,,在点,0~
0,取不到极鲁~ 鲁于点,鲁
a,a,
鲁鲁2Az
,a,,鲁6aB鲁
鲁2z
鲁x
2
a,
~
鲁x鲁ya,a,,
鲁3aC鲁鲁2z
,6a
~
鲁y2
,a,a,
鲁 ACB2,鲁27a2鲁0~A鲁,6a鲁0
故zx,y,,在点,a,a,极取到大za,a,,鲁鲁a3
. 七、;本鲁12分,
解 鲁
鲁1:z鲁1x2y2,,,鲁1
~取上鲁. 令P鲁x~Q鲁2y~R鲁3z1,,,
鲁P鲁鲁x,鲁Q鲁R
鲁y,,,,,,,,鲁z鲁123鲁6 鲁鲁xdydz2ydzdx3z1dxdy鲁
鲁
xdydz2ydzdx3z1dxdy,,,,,,,鲁鲁鲁鲁鲁鲁,,,,,xdydz2ydzdx3z1鲁dxdy
1
鲁1
鲁6鲁鲁鲁dv0,
鲁
-13-
……1
……1分
……2分
……1分
……1分 ……2分
……2分
……2分
……2分
……2分
分
……2
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
11鲁6鲁dz鲁鲁dxdy鲁6鲁鲁z2dz鲁2鲁0Dz0 ……4分 或鲁6鲁鲁鲁dv0,鲁
2鲁1
00 ……2分 1鲁6鲁d鲁鲁鲁d鲁鲁dz鲁
1
0 ……2分 ……2分 鲁6鲁2鲁鲁鲁鲁,,,1鲁鲁d鲁鲁2鲁
八、;共 2小鲁~每鲁7分~共鲁14分,
1.解 令un鲁,,,,1n12n鲁n!
nn
n1un12,,,,,鲁n1!nn
鲁鲁nn1un2,,,,鲁n!n1 ……3分
22鲁n鲁鲁2鲁鲁鲁鲁1n,,,,鲁鲁鲁ne鲁n1鲁鲁1鲁1鲁鲁鲁n鲁 ……3分
由比鲁鲁鲁法知原鲁鲁鲁数收鲁 ……1分 n
2. 解
令
鲁鲁鲁1un鲁p鲁鲁是3的p,
鲁数~因此n鲁1 ……3分
n鲁1鲁n鲁1un鲁
鲁n1,鲁
0鲁1,,
鲁,n ……3分 n鲁1而~故
鲁n11,,,
鲁,. ……1分 因此鲁数n鲁1
高等数学鲁卷3考答参案
一、鲁鲁鲁
1.B 2.C 3.A 4.B 5.C
二、空填鲁
y1x鲁y鲁,,,,,,e鲁dxdy鲁4,2,4 2. 8 3. x鲁x鲁 4. 1. 鲁1
,1dx鲁鲁1x2y2f,,
x,y,zdz,
5. 收鲁
三、解 鲁鲁鲁鲁鲁鲁鲁鲁鲁s鲁n1鲁n2鲁104,,,,,,,,鲁4i3jk215鲁i鲁j鲁k............................6分
x3y2z5,,,鲁鲁31................................2分 因此所求直鲁方程鲁 4
-14-
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
鲁u鲁f1鲁鲁2xf2,,鲁鲁yexy鲁2xf1鲁yexyf2鲁四、1.解 鲁x............................4分
鲁u鲁f1鲁鲁,,,,,,2yf2鲁鲁xexy鲁2yf1鲁xexyf2鲁鲁y...............................3分
xzlnzy 2. ,解 令
1F鲁,,,,,,y鲁z鲁鲁1F鲁xy鲁1鲁xzFx鲁y鲁2鲁zzyyz2zyz2................3分 z鲁鲁鲁~~
Fy鲁zz2Fx鲁zz鲁鲁鲁鲁鲁,,,yFyx鲁z............................4分 鲁xFxzzz,所以~Fx,y,z,,鲁
五、1. 解 鲁鲁xyd鲁鲁鲁dy鲁D12y2y2xydx.....................................3,,分
鲁12鲁25鲁yy2ydy,,,,鲁............................................3分 2鲁,1鲁
45鲁8.............................................................1分
2
Dln1x,,鲁鲁2. 解
鲁1y2d,,,,,鲁鲁鲁鲁ln1鲁2鲁d鲁D2.............................1分
鲁11鲁鲁2d鲁鲁ln1,,,鲁鲁,,,,,,d鲁鲁鲁2d鲁鲁ln1鲁2d1鲁2鲁00020...................4分
1鲁鲁鲁鲁22ln21d,,,,,,鲁鲁2ln21204.....................................2分
2x2鲁fx,y鲁e2x2y4y1,,,,,,,,,,,,鲁0x鲁鲁fyx,y鲁e2x2y2鲁0鲁鲁六、解 由............................2分
鲁1鲁鲁,1,鲁鲁....................................................2分 解得鲁点鲁2
2x2xfx,y鲁e4y4fx,y,,,,,,,鲁2exyyy~~....3分
鲁1鲁鲁1鲁鲁1鲁B鲁fxy鲁,1,,,鲁鲁0C鲁fyy鲁,1鲁鲁2eA鲁fxx鲁,1鲁鲁2e鲁0鲁2鲁鲁2鲁鲁2鲁因此~
~......3分
鲁1鲁,12x2,,,,,,,鲁鲁22fx,y鲁exy2y2鲁鲁鲁取得极小鲁ACB,鲁4e鲁0由于~因此函在点数
e鲁1鲁f鲁,1,,鲁鲁2...................................................2分 鲁鲁鲁2fxxx,y,,,,,,,鲁e2x4x4y28y4
鲁鲁鲁鲁鲁鲁A鲁,1鲁B鲁,0鲁O0,0 ,七、解 鲁点鲁2鲁~点鲁2鲁~点,
3222Px,y鲁2xyycosxQx,y,,,鲁12ysinx3xy...................1分 令~,,,,
-15-
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
鲁P鲁Q鲁P鲁6xy22ycosx,,,鲁Q鲁6xy22ycosx鲁0
鲁鲁y~鲁x~所以鲁x鲁y.............3分 在由点O鲁B鲁A鲁起的来区鲁域上鲁用格林公式~得
鲁鲁Q鲁P鲁PdxQdyPdxQdyPdxQdy,,,,,,,鲁鲁鲁dxdy鲁0鲁L鲁OB鲁BA鲁鲁鲁x鲁y鲁D鲁.........5分
,2xyycosxdx12ysinx3xydy ,,,,,,,因此鲁
鲁鲁,2xyycosxdx12ysinx3xydy,,,,,,,
,,鲁鲁2xyycosxdx12ysinx3xydy..........................2,,,,,,,分 3222L3222OB3222
BA
鲁鲁鲁2
3鲁鲁23鲁2
2鲁2鲁鲁鲁12yy,,,,,,鲁dy鲁1y鲁y鲁鲁0044鲁鲁鲁鲁04......................1分
11fx,,,,,,鲁2鲁x4x3x1x3................................1分 八、解 1
鲁1111,,鲁,,,,,,2x12x3鲁x1鲁鲁x1鲁4鲁18鲁鲁1鲁鲁24鲁..........................4分 鲁鲁鲁
鲁n111,,,,,鲁鲁n鲁x1鲁4n鲁024鲁1鲁2鲁而鲁
11鲁,,,,1鲁鲁鲁x1鲁8n鲁04n
8鲁1,,,,鲁4鲁鲁nx1n~,1鲁x鲁3...........................2分 nx1,,,~,3鲁x鲁5.............................2分
鲁11鲁n鲁1nfx,,,,,,,,,,,,鲁2鲁鲁1鲁n+22n3鲁x1x4x3n鲁02鲁2鲁所以~,1鲁x鲁3...........1分
高等数学鲁卷4考答参案
一、鲁鲁鲁
1.B 2.A 3.C 4.D 5.D
二、空填鲁
2鲁4鲁2鲁24edxdy,,,,,鲁鲁鲁鲁2 4. 鲁0d鲁鲁0鲁d鲁鲁鲁2zdz 鲁1. 3x4y2z鲁2 2. 2 3. 鲁
35. 3a
鲁z鲁z鲁u鲁z鲁v鲁鲁,,,vuv1uvlnu鲁y三、1.解 鲁x鲁u鲁x鲁v鲁x ...............................2分
鲁xyxyxy1yxylnxy xy,,,,,,,,,,,
鲁xxy鲁鲁yxy,,,,鲁,,,,lnxy鲁鲁x鲁y鲁..............................................2分
-16-
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
鲁z鲁z鲁u鲁z鲁v鲁鲁,,,vuv1uvlnu鲁x鲁y鲁u鲁y鲁v鲁y .......................................2分
鲁xyxyxy1xxylnxy xy,,,,,,,,,,,
鲁yxy鲁鲁xxy,,,,鲁,,,,lnxy鲁鲁x鲁y鲁..............................................1分
鲁z11鲁,,,,,2fx2,xy22xf1鲁y2f2鲁xx2. 解 鲁x.................................2分 ,,
21y22鲁,,,,,2fx,xy2f1鲁f2鲁xx..............................................2分
鲁z1鲁鲁2xy鲁f2鲁鲁2yf2鲁鲁yx.....................................................3分
2x3zFx,y,z,,,鲁e2yz...........................................1分 ,,3. 解 令
鲁Fx鲁2e2x3z2x3z1.....................................3,,,分 ~Fy鲁2~Fz鲁,3e
FyFx鲁z2e2x3z,,,,,鲁z2鲁鲁鲁鲁,,,,,,2x3z2x3z鲁xF3e鲁1鲁yF鲁3e鲁1......................2分 zz所以~
鲁z鲁z6e2x3z23,,,,,鲁2x3z鲁2鲁x鲁y3e1...................................................1分
22xx2
d鲁鲁鲁dx13dy3鲁鲁1yxy四、1. 解
D .........................................4分
鲁鲁2
11242鲁12x,,,,,鲁y鲁dx鲁鲁xxdx21鲁2鲁1
x
2.......................................2分
1鲁x5x2鲁47鲁鲁鲁鲁,2鲁52鲁120........................................................1分
2. 解
鲁鲁D鲁鲁2鲁0d鲁鲁sin鲁鲁鲁d鲁鲁
2鲁2鲁2鲁 ............................4分 鲁鲁2鲁
0鲁,,,2鲁鲁dcos鲁鲁d鲁鲁2鲁鲁鲁cos鲁鲁0鲁鲁鲁鲁鲁鲁鲁鲁鲁鲁cos鲁d鲁鲁d鲁鲁鲁鲁..................2分 鲁鲁2鲁
02,,,,鲁鲁,,sin鲁d鲁鲁鲁6鲁2鲁2鲁.........................................1分
3鲁鲁fxx,y,,,,,,鲁4y4x鲁0鲁3fx,y鲁4x4y鲁0鲁y五、解 由鲁............................................2
分
解得鲁点,0,0,~,1,1,,,~,,1,1..............................................2分
fxxx,y,,,鲁鲁12x2
~fxyx,y,,鲁4~fyyx,y,,,鲁鲁12y2
..........................3分
在点,0,0,鲁,ACB2,,鲁16鲁~因此在点0,0,0,鲁不取到极.................1分鲁
1,1,鲁,ACB2,鲁128鲁0~而且A鲁,12鲁0~因此在点,1,1,鲁取到大极鲁
-17- 在点,
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
f1,1,,鲁2.................................................................1分
2在点,,1,1,,鲁,ACB,鲁128~而且A鲁0鲁,12鲁0~因此在点,,1,1,,鲁极取到大鲁
f1,1,,,,鲁2..............................................................1分
六、解 鲁点A,,鲁,0~点O0,0,,
令Px,y,,,,,,鲁cosxy22y~Qx,y,,,,,,鲁2ycosxy23x...................1分
鲁P鲁,,,,,,,,,,2ysinxy22鲁Q鲁2ysinxy23鲁鲁y~鲁x~ 鲁Q鲁P,鲁1鲁x鲁y所
以............................................................2分
鲁D鲁曲鲁L和直鲁段OA鲁起的来区区鲁域~在此鲁域上鲁用格林公式~得
鲁L[cos(xy2)2y]dx[2ycos(xy2)3x]dy,,,,,
LOA ,,,,鲁鲁PdxQdy鲁PdxQdyOA............................................2分
鲁鲁鲁dxdy,,鲁PdxQdy
DOA....................................................2分
.................................................4分 鲁鲁sinxdx鲁,cosxdx鲁200鲁鲁
七、1. 解 考察n鲁1鲁,,,,,,1鲁n1鲁nn鲁鲁3n1n鲁13n1.......................................3分
un1n13n1n11lim,,,,鲁limn鲁鲁lim鲁鲁1n鲁鲁un鲁鲁3n鲁鲁3nn3....................................3分 n
因此原鲁鲁鲁数收鲁. ........................................................1分
2. 解
令
鲁un鲁nlimu,鲁0~鲁n鲁鲁n~且un1,鲁un~由莱数布尼鲁定理原鲁收鲁. .....3分 鲁1鲁p鲁n鲁1是2的p鲁数~故鲁散. .........................3分 而n鲁1
鲁上原鲁数条件收鲁. ........................................................1分
-18-
鲁,
,1,
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
徐州工程院学鲁卷
2013 2014 —学学称数学年第 二 期 鲁程名 高等A2 鲁卷鲁型 期末A卷 考鲁形式 鲁卷 考鲁鲁鲁 100 分鲁
命 鲁 人 鲁鲁 2014 年 5 月 23 日 使用班鲁 13信息鲁 鲁鲁本科
-19-
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
-20-
20142015—第二学数学期期末鲁鲁高等鲁卷
-21-
徐州工程院学鲁卷答案
2013 2014 —学学称数学年第 二 期 鲁程名 高等A2 鲁卷鲁型 期末A卷 考鲁形式 鲁卷 考鲁鲁鲁 100 分鲁
命 鲁 人 鲁鲁 2014 年 5 月 23 日 使用班鲁 13信息鲁 鲁鲁本科
一、鲁鲁鲁;共 5小鲁~每鲁 3分~共鲁15分,
1、B 2、 A 3、 D 4、 B 5、C
二、空填鲁;共 5小鲁~每鲁 3分~共鲁 15分,
1、 16x14y11z65,,,鲁0 2、 x2y2,鲁1 3、 (1,0) 4、xy(lnx)2 5、(4,6)
三、;共 2小鲁~每鲁7分~共鲁14分,
1. 解 令Fx,y,z,,,,,鲁exyz
z
Fx鲁1,~Fy鲁1,~Fz鲁ez1,
FyFx鲁z1鲁z1
~ 鲁鲁,z鲁鲁,z
鲁xFze1,,,,鲁yFze1ez鲁2z鲁鲁鲁z鲁1z鲁z 鲁鲁鲁鲁z鲁e鲁鲁z
32
(e1),,鲁x鲁y鲁y鲁鲁x鲁(e1)鲁y
2. 解法1
鲁z
鲁eyf1鲁,f2鲁 鲁x
鲁z
鲁xeyf1鲁f3,鲁 鲁y
yy
鲁dz鲁(ef1鲁,,,f2鲁)dx(xef1鲁f3鲁)dy
解法2 dz鲁f1鲁duf2,,鲁dxf3鲁dy
鲁f1鲁(eydxxeydy)f2,,,,,,鲁dxf3鲁dy 鲁(eyf1鲁f2鲁)dx(xeyf1鲁f3鲁)dy
四、;共 2小鲁~每鲁7分~共鲁14分,
ax1x22
1.解 鲁鲁2dxdy鲁鲁xdx鲁12dy
1yxyD
a1
鲁鲁x2(x)dx 1x,
x4x2aa42a21,,
鲁(),鲁
424
2.解法1 鲁空鲁鲁域区在xoy面的投影鲁D鲁(x,y)xy,鲁1
鲁
22
鲁
V鲁鲁鲁鲁dv
鲁
鲁鲁
2鲁0
d鲁鲁鲁d鲁0
1
鲁
11
鲁鲁2鲁鲁鲁,d鲁鲁
鲁2鲁鲁鲁
鲁)d鲁鲁鲁鲁0鲁00鲁鲁
1
鲁
2鲁
2) 3
解法2
V鲁
D
鲁鲁,
D
鲁鲁
鲁
2鲁0
d鲁鲁
d鲁鲁,
2鲁0
d鲁鲁鲁2d鲁
1
2鲁
2) 3
五、;共 2小鲁~每鲁7分~共鲁14分,
1.解 鲁A(0,a)、B(0,a),~鲁接AB~得有向鲁段BA.BA和曲鲁L鲁成鲁域区D.
令P(x,y)鲁
2
Q(x,y)鲁ax2yln(x,
鲁
鲁P鲁Q鲁鲁a~
鲁y鲁x
鲁
鲁
2
L(ax2yln(xdy,,,鲁鲁鲁(
D
鲁Q鲁P
,)dxdy 鲁x鲁y
鲁鲁鲁adxdy鲁
D
鲁
2
a3
因此原式鲁
鲁
2
a鲁,
3
2
a
,(ax2yln(xdy,,
鲁
鲁
2
a3,鲁2ylnady鲁
,a
鲁
2
a3
2
2. 解 鲁鲁方所体区鲁空鲁鲁域鲁鲁~且P(x,y,z)鲁x
鲁
~Q(x,y,z)鲁y2~R(x,y,z)鲁z2
鲁P鲁R鲁Q
鲁2x~鲁2z. 鲁2y~鲁x鲁z鲁y
由高斯公式~原式鲁
鲁鲁鲁(2x2y2z)dxdydz,,
鲁
鲁2鲁dx鲁dy鲁(xyz)dz,,
abc
鲁abc(abc),,
六、;本鲁8分,解法1 鲁鲁方体鲁、鲁、高分鲁鲁x,y,z(x鲁0,y鲁0,z鲁0)~鲁鲁体
V鲁xyz~且xyz,,鲁18.
令f(x,y,z)鲁xyz,,,,鲁(xyz18)
鲁fx鲁yz,,鲁鲁0鲁f鲁xz鲁鲁0鲁y
鲁有鲁
鲁fz鲁xy,,,鲁鲁0鲁xyz鲁18鲁
解此方程鲁得x鲁y鲁z鲁6 鲁是唯一可能的极鲁点.因鲁由鲁鲁本身可知最大鲁一定存在~所以最大鲁就在鲁个可能的
极鲁点鲁取得.因此当体鲁方鲁鲁高均鲁6鲁~此鲁方体体鲁最大. 解法2 V鲁xyz鲁xy(18xy),,,,鲁18xyxyxy(x鲁0,y鲁0)
2
鲁鲁Vx鲁18y2xyy,,鲁0
~得鲁点(6,6) 鲁2
鲁鲁Vy鲁18xx2xy,,鲁0
22
由鲁意知鲁方体体鲁的最大鲁一定存在~且在D鲁(x,y)x鲁0,y鲁0取内数得~又函
鲁鲁
V鲁xyz在D
内只有唯一的鲁点(6,6)~因此当x鲁6~y鲁6~z鲁6鲁鲁体取得最大鲁.
七、;共 2小鲁~每鲁6分~共鲁12分,
1.解法1 (1)n1,,
sin
鲁
鲁1 n1n1,,
鲁鲁
而
鲁鲁
n鲁1
鲁
1
n1,
是公比鲁
1
鲁
的等比鲁数~因此
鲁鲁
n鲁1
鲁
1
n1,
收鲁~由比鲁鲁鲁法
鲁(1),
n鲁1
鲁
n1,
sin
鲁
鲁n1,
收鲁~而从
鲁(1),
n鲁1
鲁
n1,
sin
鲁
鲁鲁收鲁.
鲁n1,
n1,
sin
鲁
~鲁
n1,
解法2 令un鲁(1),
鲁鲁
un1,,,,鲁鲁n11lim鲁lim鲁鲁limn2鲁鲁鲁1 n2n鲁鲁un鲁鲁n鲁鲁鲁鲁鲁nsin
n1n1,,
因此~由比鲁鲁鲁法~原鲁鲁鲁数收鲁.
2. 解
由
sin
n1,
鲁
鲁(1)n,
n鲁1
鲁
鲁鲁
n鲁1
鲁
而sn...鲁1 因此limsn鲁鲁
~所以
n鲁鲁
n(1),鲁散.
鲁n鲁1
鲁
又原鲁鲁数数交鲁鲁~令un鲁~
鲁limun鲁鲁n鲁鲁
n鲁鲁
n鲁0
且un1,鲁
鲁
鲁鲁un
由莱数数布尼鲁定理原鲁收鲁~因此鲁
鲁(1)n,
n鲁1
鲁
件收条鲁.
八、;本鲁8分,
解法1
1x111,
鲁(x1),,,鲁鲁鲁(x1)鲁
x14x(x1)3313,,,,,
鲁鲁鲁
1(x1)n(x1)n1(x1)n,,,,
~ 鲁,,,,(x1)鲁鲁鲁鲁鲁,nn鲁1n
3333n鲁0n鲁0n鲁1
其中~由
x1,
鲁1~得,2鲁x鲁4. 3
解法2
1x331,
鲁1鲁1鲁1x14xx4(x1)313,,,,,,
鲁
(x1)n(x1)n,,
~ 鲁1,,鲁鲁鲁鲁nn
33n鲁0n鲁1
鲁
其中由
x1,
鲁1~得,2鲁x鲁4. 3