课时9 向量的数乘
高一数学必修4教学案讲义
课时4 向量的数乘
【学习目标】
要求学生掌握和理解实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线的条件
并会判断两向量共线的条件。
【知识梳理】
1(实数与向量的积:
,,定义:实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,并规定: aa
1:
2:
3:(运算定律:结合律:
第一分配律:
第二分配律: 2(向量共线定理:
【例题选讲】
,,,,,bb1(已知向量、求作向量-2.5和2-3。 aaa
,,b a
例2(计算:
,,,,bb(1)3(-)-2(+2) aa
,,,,bbcc(2)2(2+6-)-3(-3+4-2) aa
,,,,bb(3)(m+ n)(+)-(m+ n)(-) aa
,,,,bb例3(已知向量=2-2,=-3(-),求证:,是共线向量。 aeeeea1221
1
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PQMP=4+2,=+2,求证:M、P、Q三点共线。 例4(已知eeee1221
【归纳反思】
1(在代数里,几个相等的实数相加,便得到几倍实数的概念,将它推广到几个相等的向量
相加,就是正整数n与向量的积,关于数乘向量的这种运算,若将n推广到实数,就得a,
与向量的积的概念。 到实数a,
2(数乘向量可以像实数多项式那样去运算。 3(实数与向量的积是向量。 a,a,
ab,4(向量共线的等价条件是:(a,0)共线ba,,(a,0) ,【课内练习】
,,,,bb1(已知向量、是非零向量,在下列条件中,能使、共线的是 aa
,,,,,,(1)2-3b=4且+2b=-3 (2)存在相异实数,,,,使+b= ee0,,aaa
,,b(3)x+y=0(其中实数x,y满足x+y=0) a
ABaCDb,,,(4)已知梯形ABCD中,其中 2(下列命题中,为真命题的是
,,,,bb(1)//存在唯一的实数,使=λ; a,a,
,,,,,b(2)//存在不全为零的实数,使; a,,ab,,0,1212
,,,,,,0b(3)与不共线若,则 a,,ab,,0,1212
,,,,,b(4)与不共线不存在实数使。 a,,ab,,0,1212
1AE中,,则为 3(如图,BDDCAEEDABaACb,,,,,3,,,ABC2
A ,,,,21bbA (2+) B (2+) aa34
,,,11,bbC (2+) D (2+) aaE 36
B D C 2
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114(如图,OADB是以向量,为边的平行四边形,又BM=BC,CN=CD,OAa,OBb,33
B D ab,OMONMN,,试用
示。 M
N C
O A
BCaDAb,,,5(如图,点E、F分别是四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设,
ab,EF试用表示 D C
F
E B
A
【巩固提高】
ABaADb,,,BE1(已知点E是正方形ABCD的CD边的中点,若,则为
1111A ab, B ba, C ab, D ab, 22222(已知PAPBPCAB,,,三个顶点A、B、C及平面内一点P,若则 ,ABC
A 点P在内部 B 点P在外部 ,ABC,ABCA C 点P在AB边所在直线上 D 点P在AC线段上
MAMBMC,,3(如图,点M是的重心,则为 ,ABCE F M
MEMDMFA 0 B 4 C 4 D 4
B C D ADBCBD,34(ABC中, ,则为
1111ABABABABA (AC+2) B (2AC+) C (AC+3) D (AC+2) 3342
,,,,,,bbbc5(已知=-2, =2+,其中与不共线,则+与=6-2的关aeeeeaaee121212系为
AB6(若M是的重心,则下列各向量中与共线的是 ,ABC
ABBCAC,,AMBCBM,,AMCMBM,,3AMAC,A B C D
3
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ab,7(已知向量不共线,判断下列向量是否共线, ee,12
11(1), (2) aee,,bee,,32aeebee,,,,2,21212121223
,,,,,,,8(证明:起点相同的三个向量,b,3-2b的终点在一条直线上(b) aaa
9(若,,,且B、C、D三个点共线,求实数ABee,,2ACee,,3ADee,,5,121212
的值。 ,
1110(如图,在中,,AD与BC交于M点,设OAa,,OBb,, OCOAODOB,,,OAB42
B
ab,OM试用表示
D M
A
O C
题源:
问题
统计
与分
析
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