数学分析试
一、 叙述题:(第1小题3分,第2小题4分,共7分)
1、叙述函数fx()在区间一致连续的定义. I
2、叙述函数极限的海涅定理(归结原则). limf(x),Ax,x0
二、 填空题:(每小题3分,共15分)
2s,{y|y,x,1,x}1、数集为(0,1)内的无理数的上确界等于 ,下确界等于 .
nn2,3lim2、求= . n,1n,1n,,2,3••
3y,2x-x(-1,-1)3、曲线在点的切线方程是_________ _____.
xe4、带Lagrange型余项的Maclaurinr公式是__________________.
1
fx(),5、,且,则=___ _______. f(0)lim,Af(0),0x,0x
三、 单项选择题:(每小题3分,共15分)
1、 是 f(x)在 x点连续的 ( ) limf(x),limf(x)0x,x,x,x,00
(A)充要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)无关
xy,f(x)0,x,0,y,f(x,,x),f(x),2、函数在处可微,当时 00
( )
,x,x(A)dy是的等价无穷小 (B)dy是的高价无穷小
,x,x(C) ,y-dy是的高价无穷小 (D) ,y-dy是的同价无穷小.
x,0x3、当时,是的 ( ) 1-cosx
(A) 高阶无穷小 (B)同阶无穷小,但不是等阶无穷小 (C) 低阶无穷小 (D)等阶无穷小.
fxfxh(),(,)'00f(x)4、设存在,则等于 ( ) lim0h,0h
''''f(x)f(x)f(x)f(x)(A) , (B)-, (C)2 ,(D)-2 . 0000
43f(x),x,2x,15、函数的严格凹区间是 ( )
(0,1)(-,,0)(1,,,)(-,,,,)(A) (B) (C) (D) .
四、 计算题:(每小题6分,共42分)
sinx-xcosxlim1、求( 3x,0sinx
2
xyxx2、=+ (x 求 ( ,0)y'
2dyxlnt,,23、 求( ,3dxyt,,
x,x,,01,'f(x)4、设求. fx(),x,e1,,x0,,0,
3
5、(
2,x6、求的最大值与最小值( f(x),xe,x,(,,,,,)
2',xef(x)xf(x)dx7、已知的一个原函数是,求. ,
4
五、 证明题:(每小题7分,共21分)
a,0, (1,i,k).1、 求证 i
nnnn lima,a,?,a,max{ a,a,?,a}.12k12k,,n
1,21、证明当时,. x,[,1]arctanx,ln(1,x),,ln224
f(x)f(x)(0,1)(0,1)2、设在内二阶可导且lim,0,f(1),0.证明在内x,0x
''f(,),0,至少有一点,使得.
11n,,求极限 lim(1)2,,nnn
2x12,lim,6. 用定义证明 2x,132xx1,,
xlimf(x)f(x)7. 设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 0x,x0
则有
f(x).limf(x) =0x,x0
5
111nx,,n8.当时,与是同阶无穷小,求 ()sin xxx
1limsin证明极限 不存在9. x,0x
、若在区间I(有穷或无穷)中导函数有界,则在I中一3f(x)f(x)
致连续.
数学分析试题
一、 叙述题:(第1小题3分,第2小题4分,共7分)
1、叙述函数极限limf(x),A的海涅定理(归结原则). x,x0
f2、叙述函数列在区间上一致连续的定义. I
6
二、 填空题:(每小题3分,共15分)
2s,{y|y,x,1,x1、数集为(0,1)内的无理数}的上确界等于 ,下确界等于 .
nn2,3lim2、求= . n,1n,1n,,2,3••
3y,2x-x3、曲线在点的切线方程是_________ _____. (-1,-1)
x4、带Lagrange型余项的Maclaurinr公式是__________________. e
fx(),f(0)5、lim,A,且f(0),0,则=___ _______. x,0x
三、 单项选择题:(每小题3分,共15分)
1、limf(x),limf(x) 是 f(x)在 x点连续的 ( ) 0x,x,x,x,00
(A)充要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)无关
xy,f(x)0,x,0,y,f(x,,x),f(x),2、函数在处可微,当时 00
( )
,x,xdydy(A)是的等价无穷小 (B)是的高价无穷小
,x,x ,y-dy ,y-dy(C)是的高价无穷小 (D)是的同价无穷小.
x,0x3、当时,是的 ( ) 1-cosx
7
(A) 高阶无穷小 (B)同阶无穷小,但不是等阶无穷小 (C) 低阶无穷小 (D)等阶无穷小.
fxfxh(),(,)'00f(x)4、设存在,则等于 ( ) lim0h,0h
''''f(x)f(x)f(x)f(x)(A) , (B)-, (C)2 ,(D)-2 . 0000
43f(x),x,2x,15、函数的严格凹区间是 ( )(A) (B)(0,1) (C) (D) . (-,,0)(1,,,)(-,,,,)
四、 计算题:(每小题6分,共42分)
sinx-xcosxlim1、求( 3x,0sinx
xyxx,0)y'2、=+ (x 求 (
2dyxlnt,,23、 求( ,3dxyt,,
8
x,x,,01,'f(x)、设求. 4fx(),x,e1,,x0,,0,
11xedx5、求( 2,x
2,x6、求的最大值与最小值( f(x),xe,x,(,,,,,)
9
2',xe7、已知f(x)的一个原函数是,求. xf(x)dx,
五、 证明题:(每小题7分,共21分)
1,21、证明当x,[,1]时,. arctanx,ln(1,x),,ln224
f(x)f(x)(0,1)(0,1)lim,0,f(1),02、设在内二阶可导且.证明在内x,0x
''f(,),0,至少有一点,使得.
10
3、若在区间I(有穷或无穷)中导函数有界,则在I中一f(x)f(x)致连续.
数学分析试题
一、单项选择题(每小题4分,共16分)
x,y22z,e(x,2y)1、函数有 ( )
,2,2eeA:极小值4; B:极大值4;
,2,2eeC:极小值8; D:极大值8.
3xyz,a(a,0)2、曲面的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为 ( )
393333 A:a; B:3a;; C:a ; D:6a. 22
f(x,y)3、设函数在区域内的一切方向的方向导数存在,则 D
( )
f(x,y)A:在区域内可导; D
f(x,y)B:在区域内不一定可导; D
f(x,y)C:在区域D内可微;
11
D:各方向的方向导数相等.
yx,,、设L为一条无重点、分段光滑的有向连4P,,Q,2222x,yx,y
续的曲线,下列关于积分 ( ) Pdx,Qdy,L
A、积分值与的路径无关; L
B、若L为绕原点的闭曲线,则积分值与L的形状无关; C、若L为不绕原点的闭曲线,则积分值为0; D、左半平面(x<0)内,积分值与L的形状无关(
二、填空题(每小题4分,共24分)
xysin()1、__________( ,limx,0xy,0
2、设z,f(x,y)可微,x,,(s,t),y,,(s,t)可微,则
,z,z,,_______________( ,s,t21x3、交换积分次序后是___________________( dxf(x,y)dy,,,0x
x,acost,y,asint,z,kt,0,t,2,4、螺旋线,的参数方程是:,
则 ,________________( xyzds,L
(2,3)、=_________________ 5(x,y)dx,(x,y)dy,(0,1)
2z,x,y,1,x,1,0,y,16、设曲面S为 ,,求,yds,,S_________________________(
三、计算题:(每小题7分,共42分)
,(u,v)g(u)z,,[y,g(x,y),x]1、已知 ,其中具有连续的二阶偏导数,
2,z为二阶可微函数,求.
,x,y
12
2222z,x,y2、求在,,的最大值和最小值. D,(x,y)x,y,4
,,,,,1xyzuv,uv3、从方程组 求,. ,xx22222x,y,z,u,v,2,
2yxysin,4、含参积分=f(y),求f(y). ,yx
2x11yedxf(x)5、设 =,求. f(x)dx,,x0
2222333x,y,z,a6、设:外侧,则. ,xdydz,ydxdz,zdxdy,,,
四、证明题:(每小题9分,共18分)
1f(u)1、 证明 ,其中为连续函数,D为平面区域f(x,y)d,,f(u)du,,,,1D
( x,y,1
222x,y,t2、 设l是圆周 顺时针方向,证明
21,x22( lim(e,xy}dx,xydy,,,4lt,02t
数学分析试题
一、 单项选择题(每题4分,共20分) 1、下列说法错误的是: [ ]
a,a,a,aa,a,a,aA:. B: . LimLimLimLimnnnn,,,,,,,,nnnn
13
C:. a,0,a,0LimLimnn,,nn,,
且. D:a,aa,aa,a,LimLimLim2nk2k,1,,,,nkk,,
2、下列说法错误的是: [ ] A:. f(x),A,f(x),f(x),ALimLimLimx,xx,x,x,x,000
1111xB:. C:. D:. xsin,1sinx,1x,,e(1)sinLimLimLimxxxxx,,x,,,,x
3、下列说法错误的是: [ ]
0U(x,,)A: 设f(x)在有定义, Limf(x),A,0x,x0
0U(x,,),{x},x,,且,极限. Limx,xLimf(x),A0nnnn,,,,nn
00U(x,,)U(x,,)x,f(x)B:设在有定义,时f(x),0,00
. Limf(x),AA,0,x,x0
a,aC:,,,0,存在自然数,对n,m,N时,有,N,Limn,,n
a,a,,nm
{a}a,aD: 数列是单调有界数列. ,Limnn,,n
4、下列说法错误的是: [ ]
f(x,h),f(x,h)00,,f(x)limf(x),,A:存在. 00h,02h
B:可导的偶函数的导数为奇函数,而可导的奇函数的导数为偶函数.
x,xx,xy,f(x),y,f(x)C:在处可导在处左、右导数存在且相等. 00
x,xx,xy,f(x),y,f(x)D:在处不可导在处左或右导数不存在或00
左、右导数存在不相等.
5、下列说法错误的是: [ ] A:连续是可导的必要但非充分条件.
B:可微是可导的充要条件.
x,xy,f(x),y,dyC:函数在处可导,则是的高阶无穷小. ,x0
14
x,xD: 函数在连续,不一定存在. f(x)Limf(x)0x,x0二、 填空题(每题4分,共20分)
x,xx,x,、设在处可导,则在处 . f(x)dy,00
,,2y,x,(sinx),、曲线在处的切线方程(,1,)22是 .
13、数集的上确界 ,下确界 . {x|x,1,,n,N},n2
111x,,4、与是的 无穷小. sinxxx
2,,,3xxaf(x)5、(),,在处可导,则= ,fxx,3,ax,b,x,3,
. b,
三、计算:(每小题各6分,共30分)
111lim(,,?,)1、求. 222n,,n,1n,2n,n
1x1,xlim()2、求. ,x0x1,
xxx3、求. lim{lim[coscoscoscos]}x?2n,,,,xn222
,,222,22(e,e)4、求极坐标方程确定曲线在相应直交坐标系点处r,e22
切线方程.
2xsinx,yx5、设+求. y,e
三、 证明题:(每小题各6分,共30分)
23nn3,lim,1、用定义证明:. ,,N2n,,22n1,
{a}2、用柯西收敛准则证明收敛,其中 n
15
sin1sin2sin3sinn. ,,,,?,an23n2222
a,x,x?,x,b3、若在连续,,则在中必有使得: [a,b][a,b],f(x)12n
fxfxfx(),(),?,()12nf. ,(),n
14、证明在区间(0,1)内连续,但不一致连续. y,x
',,,,f(0),1x,x5、设f(x)对任意满足:f(x,x),fxfx,且,121212
'f(x),f(x)证明
四、 讨论题(8分)
2n1,xf(x),lim1、讨论函数的连续性,若有间断点,说明其类型. 2nn,,1,x
数学分析试题
一、叙述题:(每小题5分,共10分)
bf(x)dx,a1、 叙述反常积分为奇点收敛的cauchy收敛原理 ,a
f(x,y)2、 二元函数在区域D上的一致连续
二、计算题:(每小题8分,共40分)
1111、lim(,,?,) n,,n,1n,22n
x,a(t,sint),2、求摆线与x轴围成的面积 t,[0,2,],y,a(1,cost),
,,1,x(cpv)dx3、求 2,,,1,x
n,x(,1)4、求幂级数的收敛半径和收敛域 ,2nn1,
16
2x,uu,f(xy,)5、, 求 y,x,y
三、讨论与验证题:(每小题10分,共30分)
2x,y1、,求;是fxy,limlimf(x,y),limlimf(x,y)limf(x,y)(,)x,0y,0y,0x,0(x,y),(0,0)x,y
否存在,为什么,
,,arctanx2、讨论反常积分的敛散性。 dxp,0x
3nn,(2(1))n,,3、讨论的敛散性。 ,n3n1,
四、证明题:(每小题10分,共20分)
b1、 设f(x)在[a,b]连续,但不恒为0,证明f(x)dx,0 f(x),0,a
2、 设函数u和v可微,证明grad(uv)=ugradv+vgradu
参考答案
a,,2,0,,,,,,,,,0.,,,0,一、1、使得,成立 f(x)dx,,12,a,,1
2mf:D,RD,R,,,0.,,,0,2、设为点集,为映射,使得
,成立 ,x,x,,,xx,Df(x),f(x),,121,212
1二、1、由于在[0,1]可积,由定积分的定义知(2分) 1,x
111lim(,,?,)=n,,n,1n,22n
17
111111(6分) lim(,,?),dx,ln2,0n,,12nn1,x1,1,1,nnn
2,222、 、所求的面积为:(8分) a(1,cosx)dx,3,a,0
,,A11,x,x()lim3、 解: (3分) cpvdx,dx,,22,,,,,AA,,,11,x,x
1n4、解:,r=1(4分) lim,12n,,x
由于x=0,x=2时,级数均收敛,所以收敛域为[0,2](4分)
2f,u,uxx25、解: =fx,f(3分)(5,f,,fxy,f1211122223,yy,x,yyy
分)
三、1、解、
222xyxxyy,,limlim,lim,1,limlim,lim,0(5分)由于沿y,kxx,y,x,y,x,y,000000xyxxyy,,
1趋于(0,0)极限为所以重极限不存在(5分) 1,k
1,,,,arctanxarctanxarctanx2、解:,,(2分),对dxdxdxppp,,,001xxx11arctanxarctanxarctanxp,1,由于故p<2时收敛x,1(x,,0)dxdxppp,,00xxx
,,arctanxarctanx,p(4分);,由于x,(x,,,)(4分)故dxpp,12xx
,,arctanxp>1收敛,综上所述1
应用题
(共8分)
1求曲线与直线所围平面图形的面积。 y,|lnx|x,,x,10,y,010
五、证明题(每小题8分,共24分)
x1、设在,,a,b上连续,,证明;,F(x),f(t)(x,t)dtF''(x),f(x)f,a
,, 。 x,a,b
,
,,a,a,a,a,,aa2、证明:若数列收敛与,则级数。 ,nn11,nn1,
3、证明:设f(x),f(x),x,D,a,0(n,,)(a,0),若对每一个nnn
n,,f正整数有,,则在上一致收敛于。 Dff(x),f(x),ax,Dnnn
数学分析试题
一.选择题(每题4分,共16分)
1.如果是偶函数且可导,则 ( )
,,f(0),0f(0),0f(0),1f(0),1 A. B. C. D.
2.下列广义积分收敛的是 ( )
,,,,cos4xxdxdx22,,0,,1,1,xxA. B.
,,1,,1dx,(p,1)dx,(p,1)p,2p,x(lnx)1xC. D.
3.下列说法错误的是 ( )
22E,RRE A.设为任一有界无穷点集,则在中至少有一个聚点.
2,,P,RkB.设为一个有界点列,则它必存在收敛子列.
2E,REC.为有界闭集,则的任一无穷子集必有聚点.
2E,RED.为有界闭集,则不一定为一列紧集.
4.下列说法正确的是 ( )
27
A.若级数是发散的,则也是发散的. ucu,,nn
B.若级数是收敛的,是发散的,则可以是uvvu,,,,,nnnn
. 收敛的
C.若级数和是发散的,则可以是收敛的. uvvu,,,,,nnnnD. 若级数和是发散的,则也是发散的. uvuv,,,nnnn二.填空题(每空3分,共15分)
nx,(1)1(级数的收敛半径为 ,收敛区间,nn2
为 .
yz(1,1),z,arctan(1,1)2(若在处可微,则 , xx
z(1,1), . y
3. 函数z,ysin(x,y)的全微分为 .
三.计算题(共40分)
1(计算下列定积分(每题4分,共8分)
21e1,x12dx(lnx)dx(1) (2) 12,,0x1,xe
,12(求级数的和函数(8分) ,n(n,1)(n,2)n1,
28
,,,,,,,,0,x,,43(把函数展成傅立叶级数.(8分) (),fx,,,,0,x,,,,4,
1,lim(xy)sin4.求极限.(8分) 22(x,y),(0,0),xy
2223x,y,z,27(3,1,1)5(求曲面在点处的切平面方程和法线方程.(8
分)
四.讨论题和证明题(共29分)
nx,,,,,f(x),x,,f与fx,[0,1]1(设讨论函数列在的一致收敛性.(9nnnn
29
分)
f在上可积,证明:(5分) 2.设[,a,a]
a (1)若f为奇函数,则f(x)dx,0 ,,a
aa(2)若f为偶函数,则f(x)dx,2f(x)dx ,,,0a
12x1,edx,e3.证明不等式.(5分) ,0
2,xy22,,,0,xy,22,xy,,,fx,y(0,0)4(证明函数在点连续且偏导数,
,220,,,0,xy,
存在,但在此点不可微.(10分)
30
数学分析试题
一、选择题(每题3分,共15分)
( )1、下列说法错误的是:
A.在上连续,则在上可积 f(x)[a,b]f(x)[a,b]
B.在上可积,则在上必有界 f(x)[a,b]f(x)[a,b]
C.在上可积,则在上必连续 f(x)[a,b]f(x)[a,b]
f(x),g(x),f(x),g(x)D.f(x)、g(x)在[a,b]上可积,则在
[a,b]上可积
( )2.下列广义积分收敛的是:
,,,,cos4xxA.dx B. dx 22,,0,,1,1,xx
,,,,11dx,(p,1)C.dx,(p,1) D. pp,,21x(lnx)x
( )3.下列说法错误的是:
A.若级数和是收敛的,则是收敛的 uv(u,v),,,nnnn
u,v(n,1)B.若级数和是正项级数,若,uvnn,,nn
则收敛,必收敛. vu,,nn
nC. 若级数是交错级数,当时,此交错limu,0(,1)u,nnn,,
级数一定收敛.
D.条件收敛的级数是收敛级数,绝对收敛的级数也一定收敛.
( )4.下列说法错误的是:
p(x,y)f(x,y)A.若函数在点点可微,则在此点两个偏导数000
31
存在
p(x,y)在点点可微,则在此点连续 B.若函数f(x,y)000
p(x,y)C.若函数在点点连续,则在此点两个偏导数f(x,y)000存在
p(x,y)D.若函数在点点偏导数连续,则在此点可微f(x,y)000
( )5.下列说法正确的是:
p(x,y)设函数f(x,y)在点一切方向的方向导数存在,则 000
p(x,y)在点两个偏导数存在 A.f(x,y)000
p(x,y)B.在点连续 f(x,y)000
p(x,y)C.f(x,y)在点可微 000
D.各方向的方向导数相等
二、填空题(每空3分,共15分)
211,xdx1. 求= . 2,01,x
x12limcostdt2. = . ,0x,0x
nx,(1)3.级数的收敛区间为 . ,nn2
xysin()4. ,__________. limx,0yy,0
(1,1)z,ysin(x,y)5. 在处的全微分为 .
32
三、计算题(每题8分,共40分)
e121. 计算(lnx)dx 1,xe
,12. 求级数的和函数 ,n(n,1)(n,2)n,1
nn,3xn,1(1)3. 求幂级数的收敛域. ,,n,1n
33
,,,,,,,,0,x,,44. 把函数展成傅立叶级数. (),fx,,,,0,x,,,,4,
,z22,,z,fx,y,xy,,,,,,fu,xy,x,,x5. 设,,其中、可微,求. ,x
34
四、讨论题(每题10分,共20分)
nx,,,,,f(x),x,,f与f1. 设讨论函数列在的一致收敛性. x,[0,1]nnnn
2,xy22,,,0,xy,22x,y,,,fx,y(0,0)2(讨论函数在点的连续性,偏,
,220,x,y,0,,
导数和全微分.
35
五、证明题(每题5分,共10分)
a1. 若为在上可积且为奇函数,则 ff(x)dx,0[,a,a],,a
12x1,edx,e,02. 证明不等式.
数学分析试题
一 选择题(每题3分,共15分)
( )1.如果是偶函数且可导,则
,,f(0),0f(0),0f(0),1 A. B. C.
f(0),1D.
( )2.下列广义积分收敛的是
,,,,cos4xxdxdxA. B. 22,,0,,1,1,xx
,,,,11dx,(p,1)dx,(p,1)C. D. p,p,21x(lnx)x
( )3.下列说法错误的是
36
22 A.设为任一有界无穷点集,则在中至少有一个聚E,RRE点.
2,,P,RB.设为一个有界点列,则它必存在收敛子列. k
2C.为有界闭集,则的任一无穷子集必有聚点. E,RE
2D. E,R为有界闭集,则不一定为一列紧集. E
( )4.下列说法正确的是
A.若级数是发散的,则也是发散的. ucu,,nn
B.若级数是收敛的,是发散的,则可uvvu,,,,,nnnn
以是收敛的.
C.若级数和是发散的,则可以是收敛uvvu,,,,,nnnn的.
D. 若级数和是发散的,则也是发散的. uvuv,,,nnnn( )5. 下列说法错误的是:
p(x,y)f(x,y)设函数在点一切方向的方向导数存在,则 000
p(x,y)A.f(x,y)在点两个偏导数存在 000
p(x,y)B.f(x,y)在点连续 000
p(x,y)f(x,y)C.在点可微 000
D.各方向的方向导数相等
二、填空题(每空3分,共5分)
2z,z,ln(x,y)1.求函数的二阶偏导数 2x
nx2.幂级数的收敛半径为 ,收敛域为 R,,2nn2
10xf(x),3.函数在处的幂级数展开式为 x,01,x
37
4.函数的全微分为 z,ysin(x,y)
三、计算题(共45分)
,cosx2dx1. 求 下列积分和极限.(5分) 2,01,sinx
x122. 求 limcostdt.(5分) ,0x,0x
22,,1xy3. 求.(5分) lim22xy,(,)(0,0),xy
38
22y,xy,2,x4(求抛物线与所围成图形的面积.(7分)
,nnx(求幂级数的和函数并指出其收敛域.(7分) 5,n,1
,ax,,,x,0,,6(把函数展成傅立叶级f(x),(a,b,a,0,b,0),,bx,0,x,,,
数.(8分)
39
y,7. 求曲面z,arctan在点处的切平面方程和法线方程.(8分) (1,1,)x4
四、证明题(25分)
,,
22f1. 设为连续函数,证明: .(7分) f(sinx)dx,f(cosx)dx,,00
40
,dx,,22(证明不等式(8分) ,,,02122x1sin,2
1,2222(x,y)sin,x,y,0,,22x,y,,,fx,y3(证明函数在点(0,0),
,220,x,y,0,,
(0,0)f(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点不连续,而在点可
微.(10分)
41