全国中学生高中物理竞赛第16届—22届预赛光学试题集锦(含答案)

全国中学生高中物理竞赛第16届—22届预赛 光学试集锦（含答案） 一、第16届预赛题. （15分）一平凸透镜焦距为，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它处，垂直于主轴放置一高为的物，其下端在透镜的主轴上（如图预16-5）。 1. 用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。 2.  用计算法求出此像的位置和大小。 参考解答 1. 用作图法求得物，的像及所用各条光线的光路如图预解16-5所示。 ：平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜和与它密接的平面镜的组合，如图预解16-5所示．图中为的光心，为主轴，和为的两个焦点，为物，作图时利用了下列三条特征光线： （1）由射向的入射光线，它通过后方向不变，沿原方向射向平面镜，然后被反射，反射光线与主轴的夹角等于入射角，均为。反射线射入透镜时通过光心，故由透镜射出时方向与上述反射线相同，即图中的． （2）由发出已通过左方焦点的入射光线，它经过折射后的出射线与主轴平行，垂直射向平面镜，然后被反射，反射光线平行于的主轴，并向左射入，经折射后的出射线通过焦点，即为图中的． （3）由发出的平行于主轴的入射光线，它经过折射后的出射线将射向的焦点，即沿图中的方向射向平面镜，然后被反射，反射线指向与对称的点，即沿方向。此反射线经折射后的出射线可用下法画出：通过作平行于的辅助线，通过光心，其方向保持不变，与焦面相交于点，由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一点，故经折射后的出射线也通过点，图中的即为经折射后的出射光线。 上列三条出射光线的交点即为组合所成的点的像，对应的即的像点．由图可判明，像是倒立实像，只要采取此三条光线中任意两条即可得，即为正确的解答。 2. 按陆续成像计算物经组合所成像的伙置、大小。 物经透镜成的像为第一像，取，由成像公式可得像距，即像在平向镜后距离处，像的大小与原物相同，。 第一像作为物经反射镜成的像为第二像。第一像在反射镜后处，对来说是虚物，成实像于前处。像的大小也与原物相同，。 第二像作为物，而经透镜而成的像为第三像，这时因为光线由右方入射，且物（第二像）位于左方，故为虚物，取物，由透镜公式可得像距           上述结果明，第三像，即本题所求的像的位置在透镜左方距离处，像的大小可由求得，即           像高为物高的。 二、第17届预赛题. （15分）有一水平放置的平行平面玻璃板，厚3.0 cm，折射率。在其下表面下2.0 cm处有一小物；在玻璃扳上方有一薄凸透镜，其焦距，透镜的主轴与玻璃板面垂直；位于透镜的主轴上，如图预17-3所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到的像就在处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少? 参考解答 物体通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。设透镜的主轴与玻璃板下表面和上表面的交点分别为和，作为物，通过玻璃板的下表面折射成像于点处，由图预解17-3，根据折射定律，有             式中是空气的折射率，对傍轴光线，、很小，，，则                 式中为物距，为像距，有                                                           （1） 将作为物，再通过玻璃板的上表面折射成像于点处，这时物距为．同样根据折射定律可得像距                                                           （2） 将作为物，通过透镜成像，设透镜与上表面的距离为，则物距．根据题意知最后所成像的像距，代入透镜成像公式，有                                             （3） 由（1）、（2）、（3）式代入数据可求得                                                           （4） 即应置于距玻璃板上表面1.0 cm 处。 三、第18届预赛，（18分）一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜 处，透镜的折射率。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12处，求最后所成象的位置。 参考解答 1．先求凸球面的曲率半径。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于点，如图预解18-3-1所示。点为球面的球心，，由正弦定理，可得         （1） 由折射定律知               （2） 当、很小时，，，，由以上两式得                                         （3） 所以                                                         （4） 2. 凸面镀银后将成为半径为的凹面镜，如图预解18-3-2所示 令表示物所在位置，点经平面折射成像，根据折射定律可推出             （5） 由于这是一个薄透镜，与凹面镜的距离可认为等于，设反射后成像于，则由球面镜成像公式可得         （6） 由此可解得，可知位于平面的左方，对平面折射来说，是一个虚物，经平面折射后，成实像于点。                                                           （7） 所以                                                  （8） 最后所成实像在透镜左方24 cm处。 评分：本题18分，（1）、（2）式各2分；（3）或（4）式2分；（5）式2分；（6）式3分；（7）式4分；（8）式3分。 四、第19届预赛，（20分）图预19-5中，三棱镜的顶角为60，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 的两个完全相同的凸透镜L1和 L2．若在L1的前焦面上距主光轴下方处放一单色点光源，已知其像与对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率． 参考解答：由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。该光线在棱镜中的部分与光轴平行。由射向光心的光线的光路图如图预解19-5所示。由对称性可知                                                         ①                                             ② 由几何关系得                                            ③ 由图可见                                         ④ 又从的边角关系得                                       ⑤ 代入数值得                         ⑥ 由②、③、④与⑥式得， 根据折射定律，求得                                     ⑦ 评分标准：本题20分 1. 图预解19-5的光路图4分。未说明这是两个左右对称性的结果只给2分。 2. ①、②、③、④式各给2分，⑤式给3分，⑥式给1分，⑦式给4分。 五、第20届预赛，（20分）两个薄透镜L1和L2共轴放置，如图所示．已知L1的焦距f1=f , L2的焦距f2=—f，两透镜间距离也是f．小物体位于物面P上，物距u1 ＝3f． （1）小物体经这两个透镜所成的像在L2的__________边，到L2的距离为_________，是__________倍（虚或实）、____________像（正或倒），放大率为_________________。 （2）现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向____________边移动距离_______________．这个新的像是____________像（虚或实）、______________像（正或倒）放大率为________________。 参考解答： 1） 右 f  实 倒 1 。 （2） 左 2f 实 倒 1 。 评分标准：本题20分，每空2分。 六、第21届预赛，（15分）有一种高脚酒杯，如图所示．杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R = 1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm．在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm．这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物．已知玻璃的折射率，酒的折射率．试通过计算与论证解释这一现象． P 参考答案： 把酒杯放平，分析成像问题． 图1 图预解7－1 1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0＝1．在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成α(角的另一光线PA在A处折射．设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为θ(，由折射定律和几何关系可得     (1)     (2) 在△PAC中，由正弦定理，有                             (3) 考虑近轴光线成像，α、i、r都是小角度，则有     (4)     (5) 由 (2)、(4)、(5) 式、n0、n1、R的数值及，可得                               (6)                               (7) 由(6)、(7)式有(((((((((((((((((( ((((    (8) 由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于，即为P点的实像．画面将成实像于处． 在△CA P＇中，由正弦定理有                   (9) 又有                               (10)    考虑到是近轴光线，由(9) 、(10)式可得                             (11) 又有     (12) 由以上各式并代入数据，可得     (13)    由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9cm处．已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物． 2．斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图2所示，考虑到近轴光线有 θ n2           (14) 代入n1和n2的值，可得         (15) 与(6)式比较，可知                    (16) 由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于，即为P点的虚像．画面将成虚像于处．计算可得                           (17) 又有            (18) 由以上各式并代入数据得 ＝13cm                      （19） 由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P＇处，距O点13cm．即距杯口21cm    ．虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像． 评分标准: 本题15分．求得（13）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（19）式，给5分，说明“看到”再给3分． r 七、第22届预赛，（18分）内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R的黑球，距球心为2R处有一点光源S，球心O和光源S皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r最大为多少？ 参考答案： R 自S作球的切线SM，并画出S经管壁反射形成的虚像点，及由画出球面的切线N，如图1所示，由图可看出，只要和之间有一夹角，则筒壁对从S 向右的光线的反射光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收． 由图可看出，如果r的大小恰能使与重合，如图2，则r(就是题所要求的筒的内半径的最大值．这时SM 与MN的交点到球心的距离MO就是所要求的筒的半径r．由图2可得     （1） 由几何关系可知     （2） 由（1）、（2）式得     （3） 评分标准：本题18分． 给出必要的说明占8分，求出r 占10分．