第5届国际物理奥林匹克竞赛试题及解答

高中物理辅导网 京翰教育中心 .com/ 第5届国际物理奥林匹克竞赛试与解答 (1971年于保加利亚的索菲亚) 【题1】质量为m 1和m 2的物体挂在绳子的两端,绳子跨过双斜面顶部的滑轮,如图5.1。斜面质量为m ,与水平面的夹角为 1和 2。整个系统初态静止。求放开后斜面的加速度和物体的加速度。斜面保持静止的条件是什么?摩擦可以忽略。 解:我们用a 示双斜面在惯性参照系中的加速度(正号表示向右的方向)。用a 0表示物体相对斜面的加速度(正号表示左边物体m 下降)两个物体在惯性系中的加速度a 1和a 2可由矢量a 和a 0相加得到(如解 图5.1 图5.1)。用F 表示绳子中的张力。 对沿斜面方向的分量应用牛顿第二定律。使物体m 1加速下降的力是 m 1g sin 1 -F 在惯性系中,沿斜面方向的加速度分量为 a 0-a cos 1 所以,对此斜面分量,牛顿第二定律为: 解图5.1 m 1(a 0-a cos 1)=m 1g sin 1-F 同样,对于m 2有 m 2(a 0-a cos 2 )=F -m 2g sin 2 两式相加:(m 1cos 1+m 2cos 2)a =(m 1+m 2)a 0-(m 1sin 1-m 2sin 2)g (1) 我们用动量守恒原理来研究斜面的运动。 斜面在惯性系中的速度为v (向右)。物体相对斜面的速度为v 0。故斜面上两物体在惯性系中的速度的水平分量(向左)分别为:v 0 cos 1-v 和 v 0 cos 2-v 利用动量守恒原理:m 1(v 0 cos 1-v )+m 2(v 0 cos 2-v )=m v 对匀加速运动,速度与加速度成正比,因此有:m 1(a 0 cos 1-a )+m 2(a 0 cos 2 -a )=m a 所以02 12 211cos cos a m m m m m a +++= αα (2) 上式给出了有关加速度的信息。很明显,只有当两物体都静止,即两个物体平衡时,斜面才静止,这是动量守恒原理的自然结果。 由方程(1)和(2),可得到加速度为: g m m m m m m m m m m m m a 2 22112121221121)c o s c o s ())(() sin sin )((αααα+-+++-++= g m m m m m m m m m m m a 11) c o s c o s ())(()sin sin )(cos cos (αααααα+-+++-+= 如果m 1sin 1 =m 2sin 2 即 1 22 1s i n s i n αα= m m 则两个加速度均为零。 2 【题2】在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆利装置。在水银柱上方有氢气,在圆筒内有空气。第一步,水银柱高度h 1=70cm ,空气压强p k1=1.314atm =133.4kPa =100cmHg ,温度为00C =273K 。第二步,向上提升活塞,直至水银柱高度降为h 2=40cm ,这时空气压强为p k2=0.79atm =80kPa =60cmHg 。第三步,保持体积不变,提高温度到T 3,此时水银柱的高度为h 3=50cm 。最后,第四步,温度为T 4,水银柱的高度为h 4=45cm ,空气压强没有改变。求出最后一步中氢气的温度和压强。 解:我们将空气和氢气的数据列成表。两者温度是相同的。玻璃管的长度用L 表示。为了简单起见,我们以装有氢气的管子长度的厘米数来度量氢气的体积。压强全部用cmHg 为单位给出(见解图5.2第一步至第四步)。 L 40cm 50cm 45cm 次 数 1 2 3 4 氢气压强 p h1 p h2 p h3 p h4 氢气体积 V h1 V h2 V h3 V h4 空气压强 100cmHg 60cmHg p k3 = p k4 空气体积 V k1 V k2 = V k3 V k4 两者温度 273K 273K T 3 T 4 解图5.2 从第一步到第二步,对氢气应用玻意耳定律:(L -70)(100-70)=(L -40)(60-40) 由此式求得玻璃管的长度L =130cm , 因此,氢气在第一步至第四步中体积分别为:V h1=60cm ,V h2=90cm ,V h3=80cm ,V h4 =85cm 从第二步到第三步,氢气的状态方程为:3 380)50(273 90)4060(T p h ?-=?- 对空气应用盖吕萨克定律: 273 603 3= T p k 从第三步到第四步,我们只有向上提升活塞,以便使空气压强保持不变。氢气的状态方程为: 4 43 385 )45(80 )50(T p T p k k ?-= ?- 解以上方程组,得:p k3=p k4=80cmHg , T 3=364K , T 4=451K , 所以氢气的压强为:p h3=30cmHg p h4=35cmHg 算出空气的体积比为:V k1:V k2:V k4=6:10:12.4 (注:cmHg 为实用单位,应转换成国际单位Pa ) 【题3】四个等值电阻R 、四个C =1 F 的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连接起来,如图5.3所示。各电池的电压为U 1=4V ,U 2=8V ,U 3=12V ,U 4=16V ,它们的内电阻均可忽略。(a )求每个电容器的电压和电量,(b )若H 点与B 点短路,求电容器C 2上的电量。 解:(a )将这个网络展开成平面图(如解图5.3.1)。由于电流不能通过电容器, 所以只在图 图5.3 解图5.3.1 中A-B-C-G-H-E-A 回路的导线中有电流。在这个回路中,电压为12V ,电阻为4R 。 因此电流为:R U U I 41 4-= 于是就知道了电阻和电源两端的电压。设A 点的电势为零,就能很容易地算出各点的电势。 A 0 V B (U 4-U 1)/4 3 V C (U 4-U 1)/2 6 V G (U 4-U 1)/2+U 1 10 V H (U 4-U 1)/2+U 1+(U 4-U 1)/4 13 V E (U 4-U 1)/2+U 1+(U 4-U 1)/2 16 V D (U 4-U 1)/2+U 1+(U 4-U 1)/4-U 3 1 V F (U 4-U 1)/4-U 3+U 2 11 V 从每个电容器两端的电势差,可以算出其电量如下: C 1 (11-10)V =1V , 1×10-6C 。 C 2 (16-11)V =5V , 5×10-6C 。 C 3 (6-1)V =5V , 5×10-6C 。 C 4 (1-0)V =1V , 1×10-6C 。 我们可以算出各电容器的储能量CU 2/2。电容器C 1和C 4各有0.5×10-6 J ,电容器C 2和C 3各有12.5×10-6 J 。 (b )H 点与B 点连接,我们得到两个分电路。如解图 5.3.2。在下方的分电路中,电流为 R U 24,E 点相对A 点的电 势是U 4=16 V ,H 点与B 点的电势是U 4/2=8 V 。F 点的电 A B C D E F G H C 2 U 2 C 3 U 3 C 1U 1 C 4 U 4R R R R + _ + _+ _+_ R R C 4C 3 U 2+ _ U 3+ _ R R C 1 C 2 U 1 +_ U 4+ _ A B C D E F G H R R R R U 1 +_ U 4+ _ A B C E G H U 2+ _ C 2 势为 242 U U +=16 V 于是,电容器C 2两极板的电势均为16 V ,结果C 2上无电量。 解图5.3.2 【题4】在直立的平面镜前放置一个半径为R 的球形玻璃鱼缸,缸壁很薄,其中心距离镜面3R ,缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸。一条小鱼在离镜面最近处以速度v 沿缸壁游动。求观察者看到的鱼的两个像的相对速度。水的折射率为3 4= n 。如图5.4(a ),5.4(b ) 解:鱼在1秒钟内 游过的距离为v 。 图5.4(a ) 我们把这个距离 当作物,而必须求出两个不同的像。在计算中,我们只 考虑近轴光线和小角度,并将角度 的正弦用角度本身 图5.4(b ) 去近似。 在T 1点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像,如图5.4(a )所示。从T 1点以角度 r =∠A T 1O 发出的光线,在A 点水中的入射角为r ,在空气中的折射角为n r 。把出射光线向相反方向延长,给出虚像的位置在K 1,显然∠K 1A T 1=n r -r =(n -1)r 从三角形K 1 T 1 A ,有: 1)1(111-=-=n r r n A K T K 利用通常的近似:K 1A ≈K 1O +R , K 1AT 1≈K 1O -R 于是 111-=+-n R O K R O K 所以这个虚像与球心的距离为R n n O K -=21 水的折射率3 4= n ,从而K 1O =2R 。若折射率大于2,则像是实像。有像距与物距之商得到放大率为n n O T O K -=211 对水来说,放大率为2。 以与速度v 相应的线段为物,它位于在E 处的平面镜前的距离为2R 处,它在镜后2R 远的T 2处形成一个与物同样大小的虚像。T 2离球心的距离为5R 。在一般情形下,我们假设T 2O =kR 。T 2处的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的(虚)物。因此,我们只要确定 T 2的实像而无需再去考虑平面镜。如图5.4(b )所示。 我们需要求出以r 角度从T 2发出的光线在C 点的入射角β,其中r =∠CT 2F 。 在三角形T 2OC 中, k R kR CO O T r == = 2β β=k r 玻璃中的折射角为: CDO DCO n kr n ∠=∠==β 需要算出∠DOB 。 因为:∠COF =β-r =k r -r =r (k -1) 而且∠COD 与C 点和D 点的两角之和相加,或与∠COF 和∠DOB 之和相加,两种情况都等于1800 ,因此n kr k r DOB 2)1(= ++∠ 即)12( +-=∠k n k r DOB 从三角形DOK 2,有 1 2) 12( 2 2+-= +-=k n k k k n k r DK OK β 此外 1 22 2 +-= -k n k k R OK OK , 因此像距为:R k k n nk OK 2)12(2 --= 若k =5,n = 3 4,得R OK 3102 = 放大率为 k k n n OT OK 2)12(2 2 --= 若k =5,n =3 4,则放大率为3 2 综合以上结果,如鱼以速度v 向上运动,则鱼的虚像以速度2v 向上运动,而鱼的实像以速度 3 2v 向下运动。两个像的相对速度为2v + 3 2v = 3 8v , 是原有速度的38倍。 我们还必须解决的最重要的问题是:从理论上已经知道了像是如何运动的,但是观察者在做此实验时,他将看到什么现象呢? 两个像的速度与鱼的真实速度值,从水中的标尺上的读数来看,是一致的,实际上观察到两个反向的速度,其中一个是另一个的三倍,一个像是另一个像的三倍。我们应当在远处看,因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像。两个像的距离8.33R 。用肉眼看实像是可能的,只要我们在比明视距离远得多的地方注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者”,是指他观察从两个不同距离的像射来光线的角度变化。只要观察者足够远,尽管有距离差,但所看到的速度将逐渐增加而接近 3 8。他当然必须具有关于鱼的实际速度(v )的一些信息。 两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为: n n k n k n n ----? -)1(2) 1)(1(22 用一个充满水的圆柱形玻璃缸,一面镜子和一支杆,这个实验很容易做到。沿玻璃缸壁运动的杆代表一条鱼。 【实验题】测量作为电流函数的给定电源的有用功率。确定电源的内阻R b 和电动势U 0。画出作为外电阻R 函数的有用功率,总功率以及效率 的曲线。 解答:端电压为b R R R U U += 电流为R U R R U I b =+= 总功率为P 0=U 0I 有用功率为:P =U I 效率为η= P P 利用以上公式,得到要求的六个函数,如解图5.4(a )――(f )所示。 (a (b P =U 0I -R b I 2 P = 2 2 0) (R R R U b + (c ) (d P 0=U 0I P 0= R R U b +20 (e ) (f ) =1- I U R b 0 = R R R b 测出适当选择的两个值,由以上公式便可求出R b 和U 0。这些数据应该是独立于外负载,所以这样的测量并不可靠,大负载时尤其如此。