局部紧Vilenkin群上一类Herz空间中的次线性算子的有界性
局部紧Vilenkin群上一类Herz空间中的次
线性算子的有界性
第22卷
第2期
湖北师范学院(自然科学版)
JournalofHubeiNormalUniversity(NaturalScience)
V01.22
NO.2,2002
局部紧Vilenkin群上一类Herz空间
中的次线性算子的有界性
郑绿洲熊革郑荣臻
(湖北师范学院数学系,湖北黄石435002)
摘要:得到局部紧Vilenkin群上一类加幂权的Herz空间中次线性算子的有界性定理,对未加权情形亦得
到有界性判定条件.
关键词:Vilenkin群;幂权Herz空间;次线性算子
中国分类号:O177.3文献标识码:A文章编号:1009-2714(2002)02-0025-04
1预备知识
局部紧Vilenkin群上Herz空间中次线性算子有界性问题,文El3EZ3等作了深入的研究,杨大春
和T.Kitada证得了如下一般性的结论(见文E23)
定理A设l?A.(G)(Muckenhoupt类),2?A%(G),0<p?o.,1<g<o.如果次线性算子7'在
L:^(G)上有界,且对任意具有紧支集的可积函数厂满足
ITf(I<~Cofsuppfd每suppf(1)
其中C.不依赖厂和z,那么对满足下列条件之一的-和z:
(i)l=2,l<~qz?g,一g0/q<aqz<1--qz/q
(ii)1?口<o.,1?g2<o.,O<aql<1--qz/q 71在(.,2;G)上有界.
本文将研究当q.=g:=1时"端点"处a一1—1/q的Herz空间中次线性算子有界性.这类Herz空
间的非齐次情形我们称之为Beurling代数.我们将得到加幂权Beurling代数上次线性算子的有界性
定理,而对不加权的平凡情形,我们只需对条件稍加修改,为介绍和证明这些结果,首先引入如下定
义,记号和定理.
本文中我们用G表示一个局部紧Abel拓扑群,它包含一列严格递减的紧开子群{G)一,满足
(i)U.G=G且n,一{0),(ii)sup{阶(/G+.)):=B<o.,设r表示G的对偶群,对每个,l ?z,令表示G的零化子,即一{r?r:y(z)=1对所有z?G),那么{)=:l一是一列严格递增
的r的紧开子群,有(i)U,—r,n,一{1),(ii)阶(+./)一阶(G/G.+.),我们选择 G上Haar测度d(或dx)和r上Haar测度,IAI表示G或r的可测子集A的测度,那么Ir
一
II:=,n?Z,特别地有m.一1,因为2m?.?B巩.对所有n?Z成立,所以对任意a>0,志
(收稿日期)Z00l—ll—lZ
(作者简介)郑绿洲(1967一).女,讲师,硕士
?25?
?Z成立
?()一t?c()一t?()t?c()t
如果我们定义函数d:G×G—R如下:当x--y=O时,d(x,)一0,当x--yEGI\G_+.时,d(x,) 一
(),,那么d定义了一个G×G的距离,且由此距离导出的拓扑就是G的原始拓扑,
对X?G,规定
IXI—(z,0),设山为非负权函数,则G上相应于测度cod/.,的Lebesgue空间记作(G).特别地,若
山一IXI.,则(G)记作(G)对厂?(G),0<p<oo,口?R,设
一
(』cI叫'
若a=0,则L0p(G)记作L'(G),II厂II记作lI厂,对G的.-7测集A,co(A)一Ico(x)dx 定义1设山-,山是非负权函数,0?a<oo,0<p,q<oo (a)齐次Herz空间K(山.,山;G)定义为
K:''(山-,山z;G)一{厂:厂,-1imKlI厂0:?,'-1..2.G)<o.} 其中
0厂lI文c-1..2Ic,一{,量[031(G)]叩lIfXG,\G,+t0,)' (b)非齐次Herz空间K(山.,山;G)定义为
K:''(山-,山z;G)一{厂:f,-l'i~K0厂0?,'.1..2.m<oo} 其中
0fll.一(G.)fXG.II,:2(互[山-(G,)fXG,\G,+-2
特别地,当山-一山,口一1—1/q,户一1时,非齐次Herz空间-1(?,山;G)叫做Beurling代数,记作
(G,山)
定义2设山-,山z为非负权函数,0?a<oo,0<p,q<oo--个函数6(z)?以(G)叫做中心(口,q;山.,山)
块,如果对某个nEZ,有(i)suppbG.;(ii)0blI&?[山-(G.)]一
陆善镇和杨大春1995年在[3]中给出了Herz空间块分解(亦见[4]) 定理B令OJ1?A-(G),山z为任意非负权函数,假设0<口<o.,1?q<o.,0<户<o.,那么fE''(山.,
山;G)(或K(~O190"#2G))当且仅当厂(z)一.
?(z)(或.
?(z)),其中是具有紧支集的
中心((,q;山.,山)块,?II,<o.(或?Is--~
I,<o.)进一步有
A,bbG
0厂II文:,--,inf{(?,)')
或
0,IIc-lc,"-,inf{(?,)')
其中下确界对所有厂的上述块分解取.
2主要结果及其证明
定理1设l<p<cx~,0<户?1,0<p<l一1/q,如果次线性算子T满足尺寸条件(i)且在L(G)上有
界,那么T在商-1/q.p(,;G)(或…KI-1/q.I,(top,;G))上有界,其中一IxI一 证明只证明齐次情形,非齐次情形证明是类似的,设fek]--1/q.p(top,;G),因为0<3<1—1/
?26?
q,=IzI一?A(G),所以根据定理B有f:?二.L,b,其中b是中心(1—1/q,q;?,)块, suppbG,IIbII,[oJp(G)~l/q--19且IIfII~l--llq,7c."--inf{(?II')"'}.注意一I<0,
JGIIxI如一J.oPdx?E(mj?C(mk.
注意到O<p?1,为次线性算子,我们有
IITfII""广
.量[oJp(G)?)雄II
?.
?[oJp(G)"](1--1/q)p,II(Tb)舭II
?,?[oJp(G)](卜II(Tb』)II
_,
?II'II丁l6』II一m.
其中一\G件,因此,要证明在矗一,(,cc,,G)上有界,只需证明对任意 IIiII](1--I/q,#t?,
IIJII‰一-,"广.[(G)II(Tb』)II
?c?()c?_l/mII(Tb』)II+c?()c?圳,II(Tb)I =
C(l+2)
对,由丁的(G)有界性,有
c?((~-1)(1-1/q)p(『Gx\Gz+IITbIzI
?c.?()c--1)(1--1/q)p+IIII ?c.((#'--1)(1-1/q)p+叫fI6,(圳zdz.(GIIG=JI1, ?c.?()c--l+l/q)p()十p?c
注意一l+l/q<O,对z,利用定理所给的尺寸条件,并注意到当x6G+,?G,正<
时,Ix—I
=
IxI,我们有
c?互J--I(mk)~#-I)(1--1/q)p(_fGt\GtId^一\J+IlJz—ll../ ?c?互j--I(1)(1_lM??)Idy)'
?c互j--1(?6,(II-ady)??d
?c?(,,z^)()'--1)(1/q--1)p(,)一(+l—l伽p
?c?(^)()一?c
定理1证毕.
当p=1时,定理1非齐次情形就是以下推论
推论设l<q<oo,O<<1—1/q,如果次线性算子满足尺寸条件(1)且在(G)上
有界,那么
在A(G,)上有界
从定理1的证明来看,=0时推导不成立,对于不加权的情形,只需对尺寸条件稍加
修改,可得
如下结论..
定理2如果次线性算子丁在(G)上有界,1<q<..,且对任意具有紧支集的可积函
数厂满足尺寸
条件
训?cJcVzsuppf(2)
其中e>O,那么丁在嗣_1几?(G)上有界,其中0<p?1.
证明若厂?K:一^h'(G),根据定理B,厂一,其中b为中心(1—1/q,q)块,sup户6?G?,II
b.0?(优.)卜注意到0<p?1,丁为次线性算子,我们有 II-l,口.一ll(Tf)zG.ll:十(优.)n向ll()'?…
?一一(丁6|~)XG0十?(优.)(1/q-1)p?一(Tb25IIIIGoII25IIII(Tb』)II:?(丁6|
十.(优..』):
??一{II(Tb)XG0II:+?-1(优.)…一II(Tbj)XII:} ??一IITbjII
因此只需证明对任意?0
II7II.,?C
ll丁6一(II(Tb-1(优?
m0(Tbi)X+互(优?II(Tb』I:
:=l+
注意当j--o时亦分两项,第一项为ll(Tb.)xG.,对-,利用T的L(G)有界性,有
.?cIIbiII:+c?(优.)…一IIII
~<cIIII:(…?c((优m_1)p
?C
对z注意当z?GAG?+,yEGj,点<时,Iz—YI—I,利用尺寸条件得 .
j-1
c优m一"辨q
?
.薹(优m优哪)ld.y)
?
量c优?d(dy)
?.
?(优.)叩(优)(1-1/q)p(优,)
?.(优I)叩?C(m厂-1)'?C(mo)叩?Ct一
定理2证毕.
(下转第37页)
?28?
科学技术运用的哲理思考为指导思想的产物.
所以,环境材料在人与自然共存共荣中也起着非常重要的作用.21世纪是材料科
学发展的新时
代,我们有理由相信,环境材料也必定会得到极大的发展,并对环境保护做出不可
磨灭的贡献.
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PhilosophyofThinkingaboutEnvironmentMaterials
YIHui-yang,LUJiang-lin
(DepartmentofChemistryandEnvironmentEngineering,
HubeiNormalUniversity,HubeiHuangshi435002)
AbstractBecauseoffacetherigoroussituationofpopulationinflation,resourcesmissingand
pollutionofthe
environment,theconceptofenvironmentmaterialwasputforward.Expatiationtheparticlematerialsthatisvery
potentialintheenvironmentmaterialhaveafewexamplesoftheapplicationforeground.Fromthedialectics
standpoint,tOresearchenvironmentmaterialwithdevelopwillbringintoplayaveryimportant,positivefunctionin
thecoexistencetotallygloryofthepersonandnature.
KeywordsEnvironmentEngineering;Particlematerial;dialectics (上接第28页)
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(NaturalScience),1994,30:170'
SublinearOperatorsonaClassofHerzSpacesOver
LocallyCompactVilenkinGroups
ZHENGLu—zhouX10NGGeZHENGRong—zhen
(DeparmentofMathematics,HubeiNormalUniversity,HubeiHuangshi435002) Abstract:Inthispaper,boundednesstheoremofsuhlinearoperatorsonaclassofHerzspaceswithpowerweightsover
locallycompactVilenkingroupsisobtained.Forthecaseunweightedwealsogetasufficientcondition.
Keywords..Vilenkingroup;powerweight;Herzspace;sublinearoperator ?37?