概率论与数理统计课后习题答案 复旦版_0

概率论与数理统计课后习题答案 复旦版_0 概率论与数理统计课后习题答案 复旦版 复旦大学 习题 一 1( 略.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件: (1) A发生，B，C都不发生; (2) A与B发生，C不发生; (3) A，B，C都发生; (4) A，B，C至少有一个发生; (5) A，B，C都不发生; (6) A，B，C不都发生; (7) A，B，C至多有2个发生; (8) A，B，C至少有2个发生. 【解】(1) ABC (2) ABC (3) ABC (4) A?B?C=ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC=ABC (5) ABC=A B C (6) ABC (7) ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC=ABC=A?B?C BC?CA=ABC?ABC?ABC?ABC (8) AB? 3. 略.见教材习题参考答案 =0.7,P(A,B)=0.3，求P(AB). 4.设A，B为随机事件，且P(A) 【解】 P(AB)=1,P(AB)=1,[P(A),P(A,B)] =1,[0.7,0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求: (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值, (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值, 【解】(1) 当AB=A时，P(AB)取到最大值为0.6. (2) 当A?B=Ω时，P(AB)取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P(A)=P(B)=1/4，P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0， P(AC)=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 1 【解】 P(A?B?C)=P(A)+P(B)+P(C),P(AB),P(BC),P(AC)+P(ABC) = 14 + 14 + 13 , 112 = 34 7. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是多少, 533213 【解】 p=C13C13C13C13/C52 8. 对一个五人学习小组考虑生日问题: (1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】(1) 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为7，有利事件仅1个，故 P(A1)= 17 5 5 =( 17 ) 5 (亦可用独立性求解，下同) (2) 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P(A2)= 67 55 =( 67 )5 (3) 设A3={五个人的生日不都在星期日} P(A3)=1,P(A1)=1,( 9. 略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件(n<N).试求其中恰有m件(m?M)正品(记为A)的概率.如果: (1) n件是同时取出的; (2) n件是无放回逐件取出的; (3) n件是有放回逐件取出的. mn,mn 【解】(1) P(A)=CMCN,M/CN 17 )5 (2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为Cn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有PM种，从N,M件次品中取n,m件的排列数为PN,M种，故 P(A)= CnPMPN,M P n Nm m n,m m n,m m n 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 P(A)= CMCN,M CN nm n,m 可以看出，用第二种方法简便得多. (3) 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n 2 次抽取中有m次为正品的组合数为Cm种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，nm次 取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n,m次取得次品，每次都有 n,m N,M种取法，共有(N,M)种取法，故 P(A) CnM m m (N,M) n,m /N n 此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概 率为 M m M P(A) Cn 1, N N m n,m MN ，则取得 11. 略.见教材习题参考答案. 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆 钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个 部件强度太弱的概率是多少, 【解】设A={发生一个部件强度太弱} P(A) C10C3/C50 1 3 3 11960 13. 一个袋 P(A2 A3) P(A)2 14. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求: (1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，(i=1,2) (1) P(A1A2) P(A1)P(A2) 0.7 0.8 0.56 (2) P(A1 A2) 0.7,0.8,0.7 0.8 0.94 (3) P(A1A2 A1A2) 0.8 0.3,0.2 0.7 0.38 15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. (1) 问正好在第6次停止的概率; (2) 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 13111 C4()() 5212131 2 【解】(1) p1 C5()() (2) p2 222325/325 3 16. 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率. 【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则 331212 P( AiBi3) (0.3)(0.4),C30.7 (0.3)C30.6 (0.4), i 03 22223 C3(0.7) 0.3C3(0.6)0.4+(0.7)(0.6) =0.32076 17( 从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【解】 p 1, C5C2CCC22 C 4 10 4 1 1 1 12 1321 18. 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求: (1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}， B={下雪}. (1) p(BA) P(AB)P(A) 0.10.5 0.2 (2) p(A B) P(A),P(B),P(AB) 0.3,0.5,0.1 0.7 19. 已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率(小孩为男 为女是等可能的). 【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故 P(BA) P(AB)P(A) 6/87/8 67 或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7. P(BA) 67 20. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人 是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半). 【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式 P(AB) P(AB)P(B) P(A)P(BA) P(A)P(BA),P(A)P(BA) 0.05 0.5 20 0.0025 0.5 0.5 0.0,5 21 21. 两人约定上午9?00~10?00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率. 4 题21图 题22图 【解】设两人到达时刻为x,y,则0?x,y?60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于 |x,y|>30. 如图阴影部分所示. P 30 6022 14 22. 从(0，1)中随机地取两个数，求: (1) 两个数之和小于的概率; 5 1 46(2) 两个数之积小于的概率. 【解】 设两数为x,y，则0<x,y<1. (1) x+y<6 5. 144 17 0.68 p1 1, 125 (2) xy=<1 4. 11 p2 1, 1dx 1dy 44x 14,1 2ln2 23. 设P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P(B,A?B) 【解】 P(BA B) P(AB) P(A B) PA(,)PA(B) P(A),P(B),P(AB) 5 0.7,0.7, 0.5 0.,6 0.5 14 24. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球， 比 赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概 率. 【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均 为新 球} 由全概率公式，有 3 P(B) P(B i 0 Ai)P(Ai) C6C1 353 C9C 3 315 C9C6C 3 12 C8C 3 3 15 C9C6C 3 21 C7C 3 3 1 C9C5 3 3 C6C 3 15 3 151515 0.08 9 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学 生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问: (1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人, (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人, 【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P (A)=0.8，P(A)=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P(B|A)=0.9，P(B|A)=0.9，故由贝叶斯公式知 (1)P(AB) P(AB)P(B) P(A)P(BA) P(A)P(BA),P(A)P(BA)0.2 0.8 0.,9 0.1 1 0.0270 20 .20.137 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) P(AB) P(AB)P(B) 0.10 .2 P(A)P(BA) P(A)P(BA),P(A)P(BA) 4 0.307 70.913 0.8 0.8 0.,1 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%. 26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而 B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2?1.若接收站收到的信息是 A，试问原发信息是A的概率是多少, 【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B} C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得 6 P(AC) P(A)P(CA) P(A)P(CA),P(A)P(CA) 2/3 2/3 0.9,8 0.981 /3 2 0.9949 0.01 27. 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱 子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种) 【解】设 Ai={箱中原有i个白球}(i=0,1,2)，由题设条件知P(Ai)= 出一球为白球}.由贝叶斯公式知 P(A1B) P(A1B)P(B) P(BA1)P(A1) 2 13 ,i=0,1,2.又设B={抽 P(B i 0 Ai)P(Ai) 13 2/3 1/3 1/3 1/3,2/3 1/3,1 1/3 28. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概 率 为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是 合格品的概率. 【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品} 由贝叶斯公式得 P(AB) P(AB)P(B) P(A)P(BA) P(A)P(BA),P(A)P(BA) 0.980 .04 0.99 8 0.05 0.9 6 0.9 6 0.,98 29. 某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上 述三种人在一年设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}， C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年 1,P(A A)124 7 0.9 70. 950 .97 1,0.98 31. 设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的 概 率不小于0.9? 【解】设必须进行n次独立射击. n 1,(0.8) 0.9 n 即为 (0.8) 0 . 故 n?11 至少必须进行11次独立射击. 32. :若P(A,B)=P(A,B)，则A，B相互独立. 【证】 P(A|B) 即P(A|B) P(AB)P(B) P(AB)P(B) 亦即 P(AB)P(B )P(AB)P( B) P(AB)[1,P(B)] [P(A),P(AB)]P(B) 因此 P(AB) 故A与B相互独立. P(A)P( B) 33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为 的概率. 【解】 设Ai={第i人能破译}(i=1,2,3)，则 3 15 ， 13 ， 14 ，求将此密码破译出 P( Ai) 1,P(A1A2A3) 1,P(A1)P(A2)P(A3) i 1 1, 45 23 34 0.6 34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中，则飞机一定被击落，求:飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3 由全概率公式，得 3 P(A) P(A|B)P(B) i i i 0 =(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458 35. 已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用， 且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求: (1) 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. 8 (2) 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 3 【解】(1) p1 C k 0 k 10 k10 (0.35)(0.65) k10,k 0.5138 10 (2) p2 C k 4 (0.25)(0.75) k10,k 0.2241 36. 一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概 率: (1) A=“某指定的一层有两位乘客离开”; (2) B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”; (3) C=“恰有两位乘客在同一 层离开”; (4) D=“至少有两位乘客在同一层离开”. 【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为10种. (1) P(A) C6910 62 4 6 ，也可由6重贝努里模型: 2 P(A) C6( 110 )( 2 910 ) 4 (2) 6个人在十层中任意六层离开，故 P(B) P1010 66 1 (3) 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C10种可能结果，再 从 六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况， 因此可包含以下三种离开方式:?4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一 层离开，共有C9C4C8种可能结果;?4人同时离开，有C9种可能结果;?4个人都不在 同一层离开，有P9种可能结果，故 P(C) C10C6(C9C4C8,C9,P9)/10 1 2 1 3 1 1 4 6 4 1 3 1 1 2 (4) D=B.故 P1010 66 P(D) 1,P(B) 1, 37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率: (1) 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率; (2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率; (3) 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 (1) p1 1n,1 9 (2) p2 (3) p1 3!(n,3)!(n,1)!(n,1)!n! ,n 3 1 n3!(n,2)!n!;p2 ,n 3 38. 将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率 【解】 设这三段长分别为x,y,a,x,y.则基本事件集为由 0<x<a,0<y<a,0<a,x,y<a所构成的图形，有利事件集为由 x,y a,x,y x,(a,x,y) y y,(a,x,y) x 构成的图形，即 a 0 x 2 0 y a 2 a x,y a 2 如图阴影部分所示，故所求概率为p 1 4. 39. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的). 证明试开k次(k=1,2,„,n)才能把门打开的概率与k无关. 【证】 p Pn,1 Pnkk,1 1n,k 1,2 ,n , 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出 一个，试求它有i面涂有颜色的概率P(Ai)(i=0,1,2,3). 【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3. 在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的 小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000,(8+96+384)=512个 P(A) P[A( BC )]P( AB AC P(AB),P(AC), )CP(AB10 P(AB),P(AC), CP(B) 42. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3. 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有4种，杯中球的最大个数为1时， 每个杯中最多放一球，故 P(A1) C43!4 33 3 38 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故 P(A3) C44 31 116 38 2 13 ) 1,P(A),P(3A )因此 P(A21 1 1 169 16 或 P(A2) C4C3C4 3 916 43. 将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】掷2n次硬币， 可能出现:A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}， C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥. 可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P(A)=P(B).所以 P(A) 1,P(C) 2 由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为 1n1nn P(C) C2n()() 2211n 故 P(A) [1,C2n2n] 22 44. 掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知 P(A)=P(B) (1) 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P(A)+P(B)=1得P(A)=P(B)=0.5 (2) 当n为偶数时，由上题知 P(A) 1 1n2 [1,Cn()] 22 n 45. 设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率. 【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数. 乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有 (甲正>乙正)=(甲正?乙正)=(n+1,甲反?n,乙反) 11 =(甲反?1+乙反)=(甲反>乙反) 由对称性知P(甲正>乙正)=P(甲反>乙反) 因此P(甲正>乙正)= 12 46. 证明“确定的原则”(Sure,thing):若P(A|C)?P(B|C),P(A|C)?P(B|C)，则P(A) ?P(B). 【证】由P(A|C)?P(B|C),得 P(AC)P(C) P(BC)P(C) , 即有 P(AC) 同理由 P(A|C) 得 P(AC) 故 P(A) P(AC), )P(BC ),P(B|C ,P(BC) P(B,C) (PB )C P(AC ) (P )B 47.一列火车共有n节车厢，有k(k?n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢设Ai={第i节车厢是空的}，(i=1,„,n),则 P(Ai) (n,1)n k k (1,2n) k 1n ) k P(AiAj) (1, n,1n P(Ai1Ai2 Ain,1) (1, ) k 其中i1,i2,„,in,1是1，2，„，n中的任n,1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是 n S1 S2 i 1 P(Ai) n(1, 1n 2 ) Cn(1, 2n) k k1 1n ) k 1 i j n P(AiAj) Cn(1, Sn,1 Sn 0 n 1 i1 i2 in,1 n P(Ai1Ai2 Ain,1) Cn(1, n,1 n,1n ) k P( Ai) S1,S2,S3, ,(,1) i 1 n,1 Sn 12 C1(1,n故所求概率为 ni 1 1n k 22 ),C(n n 2n k ) ,, ,(1n)C n,n1 n,1k n ) 1,P( Ai) 1,Cn(1, 1 1n ),Cn(1, k2 ), ,(,1) in,1 Cn(1, n,1 n,1n ) k 48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明:不论ε>0如何小，只要不 断地独 立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】 在前n次试验中，A至少出现一次的概率为 1,(1, ) 1(n ) n 49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一 只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少, 【解】设 A={投掷硬币r次都得到国徽} B={这只硬币为正品} 由题知 P(B) mm,n P,B( )12 r nm,n P(A|B) ,P(A|B) 1 则由贝叶斯公式知 P(B|A) P(AB)P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B),P(B)P(A|B) 1r m r m1nm,2n r, 1m,n2m,n m 50.巴拿赫(Banach)火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次 用 火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的 概率是多少,第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r根的概率又 有多少, 【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B1) P(B2) 12 .(1)发现一盒已空， 另一盒恰剩r根，说明已取了2n,r次，设n次取自B1盒(已空)，n,r次取自B2盒，第2n,r+1 次拿起B1，发现已空。把取2n,r次火柴视作2n,r重贝努里试验，则所求 概率为 1n1n,r11nn p1 2C2n,r()() Cn,r2r,r 2222 式中2反映B1与B2盒的对称性(即也可以是B2盒先取空). (2) 前2n,r,1次取火柴，有n,1次取自B1盒，n,r次取自B2盒，第2n,r次取自B1 盒，故概率为 1n,11n,r112n,r,1n,1n,1 p2 2C2n,r,1()() C2n,r,1() 2222 51. 求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率. 13 【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由 (q,p) Cnpq,Cnpq(q,p) Cnpq,Cnpq n n 1 n n 1 n,1 ,Cnpq 2 2 22n,2 , ,Cnpq 1 n n n nn0 n,1 ,Cnpq n,2 , ,(,1)Cnpq 以上两式相减得所求概率为 p1 Cnpq 1 n,1 ,Cnpq n 33n,3 , 1212 [1,(q,p)] [1,(1,2p)] n 若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得 p2 12 [1,(1,2p)]. n 52.设A，B是任意两个随机事件，求P{(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)}的值. 【解】因 为(A?B)?(A?B)=AB?AB (A?B)?(A?B)=AB?AB 所求 (A,B)(A, [(AB AB) 故所求值为0. 53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件: ABC= ，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P(A?B?C)=9/16，求P(A). 【解】由P(A B C) P(A),P(B),P(C),P(AB),P(AC),P(BC),P(ABC) , 3P(A) 3P[A( 12 2 B)(,A(A,B B),(AA )B] B) 9 ) 16 14 故P(A) 14 或 34 ,按题设P(A)<,故P(A)=. 54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发 生A 不发生的概率相等，求P(A). 【解】 P(AB) P( A B) 1, P( A 1 ? 9 P(AB) P(AB) ? 故 P(A),P(AB) P(B,) BP(A 故 P(A) P(B ) ? 14 由A,B的独立性，及?、?式有 19 1,P(A),P(B),P(A)P(B) 2 1,2P(A),P[(A )] 2 [1,P(A) ] 故 1,P(A) 故 P(A) 即P(A) = 23 23 13 43 或P(A) (舍去) . 点落在半圆设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品} C4 P(B|A) P(AB)P(A) C101-C6 2222 15 C10 57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3 份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. (1) 求先抽到的一 份是女生表的概率p; (2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设Ai={报 名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3. Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2. ) 则 P(Ai P(B1|A1) 310 13,i 1,2 ,3715 ,P(B1|A3) 525 ,P(B1|A2) 15 3 (1) p P(B1) i 1 P(B1|Ai) 1 310 ( 3 , 715 , 525 ) 2990 (2) q P(B1|B2) P(B1B2)P(B2) 3 而 P(B2) P(B i 1 2 |Ai)P(Ai) 8 2061 ) 2590 3 1 310 ( 7 , 15 , P(B1B2) P(B i 1 1 B2|Ai)P(Ai) 7 , 7 8, 5 202) 249 1 310 ( 3 9151425 2 20 61P(B2)6190 58. 设A，B为随机事件，且P(B)>0,P(A|B)=1,试比较P(A?B)与P(A)的大小. (2006 研考) 故 q P(B1B2) 解:因为 P(A B) P(A),P(B,) BP(A P(AB) P(B) P(AB) P(B) 所以 P(A B) P(A),P(B,)P(B ). P(A 16 习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3 只 球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】 X 3,4,5P(X 3) P(X 4) 1C53C5C4C5 3233 0.1 0.3 P(X 5) 0.6 故所求分布律为 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样， 以X表示取出的次品个数，求: (1) X的分布律; (2) X的分布函数并作图; (3) P{X 12 P{1 X 32 P{1 X 32 P{1 X 2}. 【解】 X 0,1,2.P(X 0) C13C 31513 2 2235 135 . P(X 1) C2C13C15C13C15 313 12 .35. P(X 2) 故X的分布律为 (2) 当x<0时，F(x)=P(X?x)=0 当0?x<1时，F(x)=P(X?x)=P(X=0)= 2235 17 当1?x<2时，F(x)=P(X?x)=P(X=0)+P(X=1)=当x?2时，F(x)=P(X?x)=1 故X 的分布函数 0, 22 , 35 F(x) 34, 35 1, x 00 x 1 3435 1 x 2x 2 (3) P(X 1 122 ) F() ,2235 332 33434 ) F(),F(1) , 0223535) P(X 1),P(1 X 32) 12353435,135 0. P(1 X P(1 X P(1 X 2) F(2),F(1),P(X 2) 1, 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的 分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3. P(X 0) (0.2) 0.008P(X 1) C30.8(0.2) 0.096P(X 2) C(0.8)0.2 0.384P(X 3) (0. 8) 0.512 323 2 1 2 3 故X的分布律为 0, 0.008, F(x) 0.104, 0.488, 1, x 00 x 11 x 2 2 x 3x 3 P(X 2) P(X 2),P(X 3) 0.896 4.(1) 设随机变量X的分布律为 18 P{X=k}=a k k! ， 其中k=0，1，2，„，λ,0为常数，试确定常数a. (2) 设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a/N， k=1，2，„，N， 试确定常数a. 【解】(1) 由分布律的性质知 1 k 0 P(X k) a k 0 k k! a e 故 a e, (2) 由分布律的性质知 N N 1 P(X k 1 k) k 1 aN a 即 a 1. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求: (1) 两人投中次数相 等的概率; (2) 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b(3，0.6),Y~b(3,0.7) (1) P(X Y) P(X 0,Y 0),P(X 1,Y 1),P(X 2,Y 2), P(X 3,Y 3) (0.4)(0.3),C30.6(0.4)C30.7(0.3)+ 22223 C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3,(0.6)(0.7) 3 3 1 2 1 2 0.3207 6 (2) P(X Y) P(X 1,Y 0),P(X 2,Y 0),P(X 3,Y 0), P(X 2,Y 1),P(X 1 2 3 2 2 3Y, 1,)PX( 3 3Y, C30.6(0.4)(0.3),C3(0.6)0.4(0.3), (0.6)(0.3),C3(0.6)0.4C30.7(0.3), (0.6)C30.7(0.3),(0.6)C3(0.7)0.3 3 1 2 3 2 2 3 3 2 2 1 2 =0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设 各 19 飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落 而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落), 【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道， 则有 P(X N) 0.01 200 即 利用泊松近似 k N,1 C200(0.02)(0.98) kk200,k 0.01 np 200 0.02 4. P(X N) k N,1 e4k! ,4k 0.01 查表得N?9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 0.0001,在某天的该时段 p 13 4 所以 P(X 4) C5() 3 1 4 23 10243 . 9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， (1) 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率; (2) 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】(1) 设X表示5次独 立试验中A发生的次数，则X~6(5，0.3) 5 P(X 3) C k 3 k 5 (0.3)(0.7) k5,k 0.16308 (2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b(7，0.3) 7 P(Y 3) C k 3 k7 (0.3)(0.7) k7,k 0.35293 10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松 分 20 布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计). (1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率; (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】(1)P(X 0) e ,32 (2) P(X 1) 1,P(X 0) 1,e , 52 k2,k11.设P{X=k}=Ck, k=0,1,2 p(1,p)2 m4,mP{Y=m}=Cm, m=0,1,2,3,4 p(1,p)4 分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X?1}=【解】因为P(X 1) 59 59 ，试求P{Y?1}. ，故P(X 1) 49 . (,1p ) 2 而 P(X 1) P(X 0) 故得 (1,p) 即 p 2 4913. 4 , 从而 P(Y 1) 1,P(Y 0) 1,(1,p) 6581 0.80247 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书 中 恰有5册错误的概率. 【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算, np 2000 0.001 2 e25! 14 ,2 5 得 P(X 5) 34 0.0018 13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次 数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】X 1,2, ,k, 1k,13 P(X k) () 44 P(X 2),P(X 4), ,P(X 2k), 1313312k,13 ,(), ,(), 444444 1 3 1 12451,() 421 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡 的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保 险公司领取2000元赔偿金.求: (1) 保险公司亏本的概率; (2) 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑. (1) 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为 P(2000X 30000) P(X 15) 1,P(X 14) 由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有 14 P(X 15) 1, e,55k 0.000069 k 0k! (2) P(保险公司获利不少于10000) P(3000,020X00 100 P00X) ( 10,5k e5 0.986305 k 0k! 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上 P(保险公司获利不少于20000) P(30000,2000X 20000) P(X 5) 5 e,55k 0.615961 k 0k! 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62% 15.已知随机变量X的密度函数为 f(x)=Ae,|x|, ,?<x<+?, 求:(1)A值;(2)P{0<X<1}; (3) F(x). 【解】(1) 由 f(x)dx1得 , 1 , Ae,|x|dx 2 Ae,x0dx 2A 故 A 1 2. (2) p(0 X 1) 1 1,x1,1 20edx 2(1,e) (3) 当x<0时，F(x) x1x1x , 2edx 2e 当x?0时，F(x) x1,|x| , 2edx 01x , 2dx, x1 02e,xdx 1,1,x 2e 22 1x e, 2 故 F(x) 1,1e,x 2 x 0 x 0 16.设某种仪器 f(t)dt f(t)dt, 100t 2 x 100 f(t)dt 100 t 1, 100x 100 , 1, 故 F(x) x 0, x 100x 0 17.在区间,0，a,上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在,0，中 任意小区间由题意知X~?[0,a]，密度函数为 1 , f(x) a 0, 0 x a其他 故当x<0时F(x)=0 当0?x?a时F(x) 当x>a时，F(x)=1 即分布函数 x, f(t)dt x0 f(t)dt x0 1a t xa 23 0, x F(x) , a 1, x 00 x a x a 18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观 测 值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即 1 , f(x) 3 0, P(X 3) 2 x 5其他 53 13 dx 23 故所求概率为 202221323 p C3(),C3() 33327 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E().某顾客在窗口 5 1 等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等 到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y?1}. 【解】依题意知X~E()，即其密度函数为 5 x 1,5 e, f(x) 5 0, 1 x 0x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为 P(X 10) 15 10 e , x5 dx e ,2 Y~b(5,e),即其分布律为 ,2 P(Y k) C5(e)(1,e) k,2k,25,k ,k 0,1,2,3,4,5 ,2 5 P(Y 1) 1,P(Y 0) 1,(1,e) 0.5167 2 20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N(40，10);第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N(50，4). (1) 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些, (2) 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些, 【解】(1) 若走第一条路，X~N (40，102)，则 x,4060,40 P(X 60) P (2) 0.97727 10 10 2 24 若走第二条路，X~N(50，4)，则 X,5060,50 P(X 60) P (2.5) 0.9938++ 44 2 故走第二条路乘上火车的把握大些. (2) 若X~N(40，10)，则 X,4045,40 P(X 45) P (0.5) 0.6915 1010 2 若X~N(50，42)，则 X,5045,50 P(X 45) P (,1.25) 44 1, (1.25 ) 故走第一条路乘上火车的把握大些. 00.1 21.设X~N(3，2)， (1) 求P{2<X?5}，P{,4<X?10}，P{,X,,2}，P{X,3}; (2) 确定c使P{X,c}=P{X?c}. 【解】(1) P(2 X 5) P 2,32 X,3 2 5,3 2 2 1 1 (1), , (1),1, 2 2 0.8413,1,0.6915 0.5328 X,310,3 ,4,3P(,4 X 10) P 222 7 7 , , 0.9996 2 2 P(|X| 2) P(X 2),P(X ,2) 2,32 3 X,3 X,3,, P ,P 2 22 2 1 5 1 5 1, , , , ,1, 2 2 2 2 0.6915,1,0.9938 0.6977 P(X 3) P(X,3 2 3-3 2) 1, (0) 0.5 (2) c=3 22.由某机器生产的螺栓长度(cm)X~N(10.05,0.062),规定长度在10.05?0.12内为合格 品, 25 求一螺栓为不合格品的概率. 【解】P(|X,10.05| 0.12) P X,10.050.06 0.12 0.06 1, (2), 0.0456(,2) 2[ ,1 2(23.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160，σ)，若要求P{120,X?200} ?0.8，允许σ最大不超过多少, 【解】P(120 X 200) P160 120,160 X,160 200, 40 ,40 , 2 40 ,1 0. 8 故 40 1.29 31.25 24.设随机变量X分布函数为 = A,Be,xt F(x),x 0,0), 0,x 0.( (1) 求常数A，B; (2) 求P{X?2}，P{X,3}; (3) 求分布密度f(x). 【解】(1)由 xlim , F(x) 1 A 1 xlim 0,F(x) 得 B ,1 xlim 0,F(x) (2) P(X 2) F(2) 1,e,2 P(X 3) 1,F(3) 1,(1,e,3 ) e,3 ) F (x) e, x (3) f(x,x 0 0,x 0 25.设随机变量X的概率密度为 x,0 x 1, f(x)= 2,x,1 x 2, 0,其他. 求X的分布函数F(x)，并画出f(x)及F(x). 【解】当x<0时F(x)=0 当0?x<1时F(x) x , f(t)dt 0, f(t)dt, x0f(t)dt 26 x0 tdt x 2 2 x, 0, 1 当1?x<2时F(x) f(t)dt f(t)dt 10 f(t)dt, x 1 f(t)dt tdt, x (2,t)dt 1 1x 2 2 ,2x,2 , 32 , x 2 2 ,2x,1 当x?2时F(x) x , f(t)dt 1 0,x 0 2 x,0 x 1 故 F(x) 2 2 ,x,2x,1,1 x 2 2 1, x 2 26.设随机变量X的密度函数为 (1) f(x)=ae, |x|,λ>0; bx, 0 x 1,(2) f(x)= 1 2, 1 x 2, x 0, 其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F(x). 【解】(1) 由 f(x)dx , 1知1 |x| , ae ,dx 2a , x e dx 2a 故 a 2 e, x ,x 0即密度函数为 f(x) 2 2 e x x 0 当x?0时F(x) x, f(x)dx x x , 2 dx 12 e x 当x>0时F(x) xf(x)dx x x, , 2 dx, 2 , x dx 1, 1 x 2 e , 27 故其分布函数 1, x 1,e, 2F(x) 1e x, 2x 0 x 0 (2) 由1 )dx 111 , f(x0bxdx, 21x2dx b2,2 得 b=1 即X的密度函数为 x,0 x 1 f(x) 11 x 2 x2, 0,其他 当x?0时F(x)=0 当0<x<1时F(x) x , f(x)dx 0, f(x)dx, x0f(x)dx xx2 0xdx 2 当1?x<2时F(x) xf(x)dx 00dx, 1xdx, x1 , , 01x2dx 31 2,x 当x?2时F(x)=1 故其分布函数为 0,x 0 x2 0 x 1 F(x) 2, 3 ,1,1 x 2 2x 1,x 2 27.求标准正态分布的上 分位点， (1) =0.01，求z ; (2) =0.003，求z ，z /2. 【解】(1) P(X z ) 0.01 即 1, (z ) 0.0 1即 (z ) 0.0 9 28 故 z 2.3 3 (2) 由P(X z ) 0.003得 1, (z ) 0.003 即 (z ) 0.99 7 查表得 z 2.7 5 由P(X z /2) 0.0015得 1, (z /2) 0.0015 即 (z /2) 0.9985 查表得 z /2 2.96 【解】Y可取的值为0，1，4，9 P(Y 0) P(X 0) 1 5 1 6,1 15 7 30P(Y 1) P(X ,1),P(X 1) P(Y 4) P(X ,2) P(Y 9) P(X 3) 15 11 30 1 229.设P{X=k}=()k, k=1,2,„,令 1,Y ,1,当X取偶数时当X取奇数时. 求随机变量X的函数Y的分布律. 【解】P(Y 1) P(X 2),P(X 4), ,P(X 2k), 29 (11k2 2)2,14 2), 2) , (1 4)/(,11 4)1 3 P(Y ,1) 1,P(Y 1) 2 3 30.设X~N(0，1). (1) 求Y=eX的概率密度; (2) 求Y=2X2+1的概率密度; (3) 求Y=,X,的概率密度. 【解】(1) 当y?0时，FY(y) P(Y y) 0 当y>0时，FY(y) P(Y y) P(ex y) P(X lny) lny , fX(x)dx 故 fdFY(y) 11/2 Y(y) dyyfx(lny) 1,ln2y,y 0 (2)P(Y 2X2,1 1) 1 当y?1时FY(y) P(Y y) 0 当y>1时F(Y y) P(2X2 Y(y) P,1 y) P y,1 X2 P X 2 2 f2X(x)dx 故 fd Y(y) dyFY(y) f,fX X (y,1)/ ,,4y 1 (3) P(Y 0) 1 当y?0时FY(y) P(Y y) 0 当y>0时FY(y) P(|X| y) P(,y X y) 30 y ,yfX(x)dx 故fd Y(y) dyFY(y) fX(y),fX(, y) ,y2/2 ,y 0 31.设随机变量X~U(0,1)，试求: (1) Y=eX的分布函数及密度函数; (2) Z=,2lnX的分布函数及密度函数. 【解】(1) P(0 X 1) 1 故 P(1 Y eX e ) 1当y 1时FY(y) P(Y y) 0 当1<y<e时FX Y(y) P(e y) P(X lny) lny 0dx lny 当y?e时FX Y(y) P(e y) 1 即分布函数 0,y 1 F Y(y) lny,1 y e 1,y e 故Y的密度函数为 1 f e Y(y) y,1 y 0,其他 (2) 由P(0<X<1)=1知 P(Z 0) 1 当z?0时，FZ(z) P(Z z) 0 当z>0时，FZ(z) P(Z z) P(,2lnX z) P(lnX ,z 2) P(X e,z/2) 1,z/2 e,z/2dx 1,e 31 即分布函数 0,FZ(z) -z/2, 1-ez 0z 0 故Z的密度函数为 1,z/2, efZ(z) 2 0, z 0z 0 32.设随机变量X的密度函数为 f(x)= 2x π2,0 x π, 0,其他. 试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0 Y 1) 1 当y?0时，FY(y) P(Y y) 0 当0<y<1时，FY(y) P(Y y) P(sinX y) P(0 X arcsiyn,)Pπa,(rcsiny Xπ ) arcsyi2nxπ2x 0π2dx, π,arcsinyπ2dx 1212π2arcsiny),1-π2π-arcsiny) 2 πarcsiyn 当y?1时，FY(y) 1 故Y的密度函数为 20 y 1 fy) Y( π 0,其他 33.设随机变量X的分布函数如下: F(x) 1 1,x2,x (1), (2),x (3). 试填上(1),(2),(3)项. 【解】由limF(x) x 1知?填1。 32 由右连续性limF(x) F(x0) 1知x0 0，故?为0。 x x0 + 从而?亦为0。即 1 , F(x) 1,x2 1, x 0x 0 34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第 i枚骰子出现6点}。(i=1,2),P(Ai)= 抛掷出现6点}。则 P(C) P(A1 A2) P(A1),P(A2),P(A1)P(A2) 16 .且A1与A2相互独立。再设C={每次 16 , 16 16 1 11 636 故抛掷次数X服从参数为 1136 的几何分布。 35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则 X~b(n,0.1) P(X 1) 1,P(X 0) 1,Cn(0.1)(0.9) 0.9 n 即 (0.9) n 0 . 得 n?22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知 0, 1 F(x)= x,, 2 1, x 0,0 x x 12.12, 则F(x)是( )随机变量的分布函数. (A) 连续型; (B)离散型; (C) 非连续亦非离散型. 【解】因为F(x)在(,?,+?)上单调不减右连续，且limF(x) 0 x , x , limF(x) 1,所以F(x)是一个分布函数。 但是F(x)在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F(x)是非连续亦非离散型随机变 量的分布函数。选(C) 37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b] 33 等于( ) (A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [,π/2,0]; (D) [0, 【解】在[0, π2 ]上sinx?0，且 π π/20 32 π]. sinxdx 1.故f(x)是密度函数。 在[0,π]上 sinxdx 2 1.故f(x)不是密度函数。 在[,在[0, π232 ,0]上sinx 0，故f(x)不是密度函数。 π]上，当π x 32 π时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。 故选(A)。 38.设随机变量X~N(0，σ2)，问:当σ取何值时，X落入区间(1，3)的概率最大, 【解】 因为X~N(0, ),P(1 X 3) P( 2 1 3 X 3 1 ) ( 利用微积分中求极值的方法，有 g ( ) (, 3 ), ( )令g( ) ) (2 3 ), 2 1 , 2 ( 1 ) ,1/2 2 , ,9/2 2 ,1/2 2 [1,3e ,8/2 令 ] 0 得 0 2 4ln3 ,则 0 又 g ( 0) 0 故 0 故当 X落入区间(1，3)的概率最大。 39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P(λ)，每个顾客购买某种物 品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种 物品的人数Y的分布律. 【解】P(X m) e , m m! ,m 0,1,2, 设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即 34 P(Y k|X m) Cmp(1,p) kkm,k ,k 0,1, ,m 由全概率公式有 P(Y k) P(X m k m)P(Y k|X m) m k, e , m m! Cmp(1,p) kkm,k e m k p(1,p)k!(m,k)! k m k m,k e , ( p)k! k m k [(,1p m,k )] (m,k)! ) ( p)k!( p)k! e k , e (1,p e , p ,k 0,1,2, 此题说明:进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊 松分布，但参数改变为λp. 40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明:Y=1,e,2X在区间(0，1)上服从均匀分 布. 【证】X的密度函数为 2e,2x, fX(x) 0, x 0x 0 由于P(X>0)=1，故0<1,e,2X<1，即P(0<Y<1)=1 当y?0时，FY(y)=0 当 y?1时，FY(y)=1 ,2x 1,y) 当0<y<1时，FY(y) P(Y y) P(e P(X , 12 ln(1,y)) ,0 12 ,2x ln(1,y) 2edx y 即Y的密度函数为 1, fY(y) 0, 0 y 1其他 即Y~U(0，1) 41.设随机变量X的密度函数为 35 1 3, 2f(x)= , 9 0, 23 13 0 x 1,3 x 6, 其他. 若k使得P{X?k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考) 【解】由P(X?k) = 知P(X<k)= 若k<0,P(X<k)=0 若0?k?1,P(X<k)= k0 13 dx k3 13 当k=1时P(X<k)= 13 10 若1?k?3时P(X<k)= 13 1 dx,dx, k 1 0dx k 13 29k, 13 13 若3<k?6，则P(X<k)= 若k>6,则P(X<k)=1 13 2923 3 dx 故只有当1?k?3时满足P(X?k)= 42.设随机变量X的分布函数为 0, 0.4,F(x)= 0.8, 1, . x ,1,,1 x 1,1 x 3,x 3. 求X的概率分布. (1991研考) 【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为 43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A 在一次试验中出现的概率. 【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P(A)=p,则 X~b(3,p) 由P(X?1)=故p= 13 1927 827 知P(X=0)=(1,p)3= 44.若随机变量X在(1，6)上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少, 【解】 36 1 ,f(x) 5 0, P(X21 x 6其他 ,4 0) P(X 2),P(X ,2) P(X 2) 4 5 45.若随机变量X~N(2，σ2)，且P{2<X<4}=0.3，则 P{X<0}= . 【解】0.3 P(2 X 4) P( (22,2X,24,2 2 ) ), (0) ( 2),0.5 ) 0. 8 X,2 0,2 ) ,2故 ( 因此 P(X 0) P 2 ) 46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂;以概率0.3需进一步调试，经 调 1, () 0.2 试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n?2)台仪 器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求 (1) 全部能出厂的概率α; (2) 其中恰好有两台不能出厂的概率β; (3)其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则 A={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂} 由题意知B=A?AB，且 P(A) 0.3,P(B|A) 0.8 P(AB) P(A)P(B|A) 0.3 0.8 0.24 P(B) P(A),P(AB) 0.7,0.24 0.94 令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6(n，0.94), 故 P(X n) (0.94) 2nn,22 P(X n,2) Cn(0.94)(0.06) P(X n,2) 1,P(X n,1),P(X n) 1,n(0.94)n,10,.06( 0.94)n 47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩，则X~N(72，σ2) 37 24 X,7296,72 0.023 P(X 96) P 1, () 故 (查表知 从而X~N(72，12) 故 P(60 X 84) P 60,72 12 2 24 ) 0.977 24 2,即σ=12 X,7212 84,72 12 (1), (,1) 2 (1), 0.682 48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的 概 率分别为0.1，0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220，252)).试求: (1) 该电子元件损坏的概率α; (2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V}， A2={电压在200~240V}， A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。 由X~N(220，252)知 P(A1) P(X 200) X,220 P 25 (,0.8 ),1 20,0 2 20 25 0.212 (0 .8) P(A2) P(200 X 240) ,220X,220 200 P 2525 (0.8,) ,( 0 .8) 2,40 220 25 0.576 P(A3) P(X 240) 1,0.212,0.576 0.212 由全概率公式有 3 P(B) 由贝叶斯公式有 P(A)P(B|A) 0.0642 i i i 1 P(A2|B) P(A2)P(B|A2) P(B) 0.009 49.设随机变量X在区间(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y). 38 【解】f1,1 x 2 X(x) 0,其他 因为P(1<X<2)=1,故P(e2<Y<e4)=1 当y?e2时FY(y)=P(Y?y)=0. 当 e2<y<e4时，FX Y(y) P(Y y) P(e2 y) P(1 X1 2lny ) ,1 2lny 1dx 12lny,1 当y?e4时，FY(y) P(Y y) 1 0,y e2 即 F 1 Y(y) lny,1,e2 y e4 2 1,y e4 故 f 1,e2 y e4 Y(y) 2y 0,其他 50.设随机变量X的密度函数为 f e,x,x 0, X(x)=,x 0. 0 求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). 【解】P(Y?1)=1 当y?1时，FY(y) P(Y y) 0 当y>1时，FX Y(y) P(Y y) P(e y) P(X lny) lny,x 0edx 1,1y 即 F 1,1 y,y>1 Y(y) 0,y 1 故 f 1 2,y>1 Y(y) y 0,y 1 (1995研考) 39 51.设随机变量X的密度函数为 fX(x)= 1π(1,x) 2 , 求Y=1,3x的密度函数fY(y). 【解】FY(y) P(Y y) P(1, y) P(X (1,y)) 1πx (1,y 3 3 (1,y 3 1 ) π(1,x) 2 dx ) 1 π3 ,arctg(1,y) π 2 故 fY(y) 3(1,y) 6 2 π1,(1,y) 52.假设一大型设备在任何长为t的时间 FT(t) t 0 0, 即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。 (2) Q P(T 16|T 8) P(T 16)/P(T 8) e ,16 ,8 e e ,8 53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=,1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{,1<X<1}出现 的条 件下，X在{,1，1} (1997研考) 【解】显然当x<,1时F (x)=0;而x?1时F(x)=1 由题知P(,1 X 1) 1, 18,14 58 x,12 当,1<x<1时，P(X x|,1 X 1) 此时F(x) P(X x) 40 P(X ,,1 X 1),P(X x,X ,1),P(X x,X 1) P(X x,,1 X 1),P(X x,x ,1) P(X x|,1 X 1)P(,1 X x,1515 ,(x28816 ,1)18 18 1),P(X ,1) 当x=,1时，F(x) P(X x) P(X ,1) 故X的分布函数 0, 1 5 F(x) (x,1),, 8 16 1, x ,1-1 x<1 x 1 54. 设随机变量X服从正态分N(μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且 P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考) 解: 依题意 X, 1 N(0,1，) Y, 2 N(0,1)，则 1 2 P{X, 1 1} P{ X, 1 1 Y, 2 1 1 1 ， P{Y, 2 1} P{ 2 2 }. 因为P{X, 1 1} P{Y, 2 1}，即 X, 1 1 Y, 1 1 P{ 1 1 1 1 P{ 2 2 ， 所以有 1 2 ，即 1 2. 41 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数 与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如 表: 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的 只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表: 3.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 sinxsiny, F(x，y)= 0, 0 x π2,0 y π2 其他. 求二维随机变量(X，Y)在长方形域 0 x πππ , y 内的概率. 463 【解】如图P{0 X πππ , Y 公式(3.2) 463 ππππππF(,,F(,),F(0,),F(0,) 434636 42 sinπππ 4 sin3,sin4 sinπ 6,sin0 sinπ 3,sin0 sinπ 6 41). 题3图 说明:也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量(X，Y)的分布密度 Ae,(3x,4y) f(x，y)= ,x 0,y 0, 0,其他. 求:(1) 常数A; (2) 随机变量(X，Y)的分布函数; (3) P{0?X<1，0?Y<2}. 【解】(1) 由 , , f(x,y)dxdy , , , , 00Ae-(3x,4y)dxdy A12 1 得 A=12 (2) 由定义，有 F(x,y) yx , , fu(v,u)dv d yy12e,(3u,v4 0 0d)udv (1,e,3x)(1,e,4y )y 0,x 0, 0, 0,其他 (3) P{0 X 1,0 Y 2} P{0 X 1,0 Y 2} 12,4y) 0 012e,(3xdxdy (1,e,3)(1,e,8) 0.9499. 5.设随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= k(6,x,y),0 x 2,2 y 4, 0,其他. (1) 确定常数k; (2) 求P{X,1，Y,3}; (3) 求P{X<1.5}; (4) 求P{X+Y?4}. 【解】(1) 由性质有 43 , , , , f(x,y)dxdy 242 k(6,x,y)dydx 8k 1, 故 R 18 (2) P{X 1,Y 3} (3) P{X 1.5} , 1 320 13, f(x,y)dydx 38 18 k(6,x,y)dydx x 1.5 f(x,y)dxdy如图a f(x,y)dxdy D1 1.5 dx 412 8 (6,x,y)dy 2732 D2 . (4) P{X,Y 4} X,Y 4 f(x,y)dxdy如图b f(x,y)dxdy 4,x2 20 dx 18 (6,x,y)dy 23 . 题5图 6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0，0.2)上服从均匀分布，Y的密度函数 为 5e,5y,y 0, fY(y)= 其他. 0, 求:(1) X与Y的联合分布密度;(2) P{Y?X }. 题6图 【解】(1) 因X在(0，0.2)上服从均匀分布，所以X的密度函数为 1, fX(x) 0.2 0, 0 x 0.2,其他. 而 44 5e,5y,fY(y) 0,y 0,其他. 所以 f(x,yX)Y,独立fXx( f)Yy( ) 1 0.2 5e,5y 25e,5y,0 x 0.2且y 0, 0, 0,其他. (2) P(Y X) f(x,y)dxdy如图 25e,5ydxdy y xD 0.2 0dx x-5y025edy 0.2,0(,5e,x55)dx =e-1 0.3679. 7.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 (1,e,4x)(1,e,2y F(x，y)= ),x 0,y 0, 0,其他. 求(X，Y)的联合分布密度. 2 【解】f(x,y) F(x,y) 8e,(4x,2y) x y ,x 0,y 0, 0,其他. 8.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= 4.8y(2,x),0 x 1,0 y x, 0,其他. 求边缘概率密度. 【解】f, X(x) , f(x,y)dy x = 04.8y(,2xy) d 2.4x2(,2x), 0x , 0, 0,其他. 1 fY(y) , , f(x,y)d x 1 = 4.8y(,2xx)2 y d 2.4y(,3y4,y), y0 0, 0,其他. 45 1, 题8图 题9图 9.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 e,y f(x，y)=,0 x y, 0,其他. 求边缘概率密度. 【解】fX(x) , (, fx,y)dy , = xe,ydy e,x ,x 0, 0, 0,其他. fY(y) , , f(x,y)dx y = 0e,ydx ye,x,y 0, 0, 0,其他 . 题10图 10.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= cx2y,x2 y 1, 0,其他. (1) 试确定常数c; (2) 求边缘概率密度. 【解】(1) , , , , , f(xy)dxdy如图 f(x,y)dxdy D = 1dx 1cx2ydy 4 -1x221c 1. 得 c 21 4. (2) fX(x) , , f(x,y)dy 46 1 212 21 x24xydy 8x2(1,x4),,1 x 1, 0, 0,其他.fY(y) , , f(x,y)dx 2 dx 75 xy 2y2,0 y 1, 0, 0, 其他. 11.设随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= 1,y x,0 x 1, 0,其他. 求条件概率密度fY,X(y,x)，fX,Y(x,y) . 题11图 【解】fX(x) , , f(x,y)dy x ,x1dy 2x,0 x 1 0,其他. 1 ,y1dx 1,y,,1 y 0, f, Y(y) , f(x,y)dx 1 0 y 1, y1dx 1,y, 0,其他. 所以 f(y|x) f(x,y) 1,|y |x 1, Y|Xf(x) 2x X 0,其他. 47 1 x 1, 1,y, y f(x,y) 1 ,,y x 1, fX|Y(x|y) fY(y) 1,y 0,其他. 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最 大 的号码为Y. (1) 求X与Y的联合概率分布; (2) X与Y是否相互独立, 【解】(1) X与Y的联合分布律如下表 610 110 6100 110 (2) 因P{X 1} P{Y 3} 故X与Y不独立 (2) X与Y是否相互独立, P{X 1,Y 3}, 【解】(1)X和Y的边缘分布如下表 48 (2) 因P{X 2} P{Y 0.4} 0.2 0.8 0.16 0.15 P(X 2,Y 0.4), 故X与Y不独立. 14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0，1)上服从均匀分布，Y的概率密度 为 1,y/2 e, fY(y)= 2 0, y 0,其他. (1)求X和Y的联合概率密度; 2 (2) 设含有a的二次方程为a+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率. 1, 0, y 1,2 0 x 1, e,y 1, fY(y) 2 其他; 0,其他. 【解】(1) 因fX(x) 1,y/2 e 故f(x,y)X,Y独立fX(x) fY(y) 2 0, 0 x 1,y 0,其他 . 题14图 (2) 方程a2,2Xa,Y 0有实根的条件是 (2X),4Y 0 2 故 X?Y， 从而方程有实根的概率为: P{X 2 2 Y} x y 2 f(x,y)dxdy 10 dx x0 2 12 e ,y/2 dy 1, (1), (0)] 0.1445. 15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计)，并设X和Y相互独立，且 服 从同一分布，其概率密度为 1000 , f(x)= x2 0, x 1000,其他. 49 求Z=X/Y的概率密度. 【解】如图,Z的分布函数FXZ(z) P{Z z} P{ Y z} (1) 当z?0时，FZ(z) 0 (2) 当0<z<1时，(这时当x=1000时,y= 1000z)(如图a) 6F 10 6yz Z(z) x2 dy , 103 dy3 10 y y 2 dxxz 10 x2 y 2 dxz = , 103 103,106 dy z z y 2zy3 2 题15图 (3) 当z?1时，(这时当y=103 时，x=103 z)(如图b) F10 6Z(z) x2 y 2 dxdy , 10 3 dy zy 10 610 3 y xx2 y 2 dx z = , 10 3 103,106 dy 1,1 y 2zy3 2z 1,1,z 1, 2z即 f z Z(z) , 0 z 1 , 2 0, 其他. 1 2z2,z 1, 故 f 1 Z(z) 2, 0 z 1 , 0,其他. 16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160，202)分布.随机地选取4 求其中没有一只寿命小于180的概率. 只， 50 【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N(160，20)， 从而 P{min(X1,X2,X3,X4) 180}Xi之间独立P{X1 180} P{X2 180} 2 P{X3 180} P{X4 180} [1,P{X1 180 }],[P1X{ 2 1 80,}P][X13 4 { 1,8P0}4X][1 {180}] 180,160 4 [1,P{X1 180}] 1, 20 [1, (1)] (0.158) 0.00063. 4 4 17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为 P{X=k}=p(k)，k=0，1，2，…， P{Y=r}=q(r)，r=0，1，2，…. 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 i P{Z=i}= p(k)q(i,k)，i=0，1，2，…. k 0 【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数， 所以 {Z i} {X,Y i} {X 0,Y i } 于是 i i {X 1Y, i, 1 } X{ iY, P{Z i} k 0i P{X k,Y ,i}k相,X互Y独立 P{X k 0 k} P{Y ,i }k k 0 p(k)q(,i )k 18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服 从参数为2n，p的二项分布. 【证明】方法一:X+Y可能取值为0，1，2，…，2n. k P{X,Y k} P{X i 0 i,Y k,i} 51 k P( i 0k X i) P{Y n, ,k}i ,k i,,n k i i 0k n i pq i n i p k,i n, k q i 0 n n k2 pq i k,i n, k 2n k2 pq k 方法二:设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布(参数为p)，则 X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′, 所以，X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布. (2) 求V=max(X，Y)的分布律; (3) 求U=min(X，Y)的分布律; (4) 求 W=X+Y的分布律. 【解】(1)P{X 2|Y 2} P{X 2,Y 2} P{Y 2}P{X 2,Y 5 2} P{X i 0 i,Y 2} 0.051 , 0.252 P{Y 3|X 0} P{Y 3,X 0}P{X 0} P{X 0,Y 3 3} P{X j 0 0,Y j} 0.011 ; 0.033 (2)P{V i} P{max(X,Y) i} P{X i,Y i},P{X i,Y i} i,1 i P{X k 0 i,Y k}, P{X k 0 k,Y i}, i 0,1,2,3, 4 52 所以V的分布律为 (3) P{U i} P{min(X,Y) i} P{X i,Y i},P{X i,Y i} 35 k i P{X i,Y k}, k i,1 P{X k,Y i} i 0,1,2, 3 于是 20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点(X，Y)在屏幕上服从均匀分布. (1) 求 P{Y,0,Y,X}; (2) 设M=max{X，Y}，求P{M,0}. 题20图 【解】因(X，Y)的联合概率密度为 1 , f(x,y) πR2 0, x,y R,其他. 2 2 2 (1)P{Y 0|Y X} P{Y 0,Y X}P{Y X} y 0y x f(x,y) d y x f(x,y) d π π/454π d d R0R0 11πR 2 rdr rdr π/4 2 53 3/8 1/23; 4 (2) P{M 0} P{max(X,Y) 0} 1,P{max(X,Y) 0} 1,P{X 0,Y 0} 1, x 0y 0 f(x,y)d 1, 2 14 34 . 21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e所围成，二维随机变量(X，Y) 在区域D上服从均匀分布，求(X，Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少, 题21图 【解】区域D的面积为 S0 e 2 1x 1 dx lnx e1 2 2.(X,Y)的联合密度函数为 1 , f(x,y) 2 0, 1 x e,0 y 其他. 2 1 x , (X，Y)关于X的边缘密度函数为 1 1/x1 dy , fX(x) 022x 0, 1 x e,其他. 2 所以fX(2) 14 . 22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布律及关于X 和 2 【解】因P{Y yj} Pj P{X i 1 xi,Y yj}, 故P{Y y1} P{X x1,Y y1},P{X x2,Y y1}, 从而P{X x1,Y y1} 16,18 124. 54 而X与Y独立，故P{X xi} P{Y yj} P{X xi,Y yi}, 从而P{X x1} 即: P{X x1} 16 P{X x1,Y y1} 124 /16 14. 124. 又P{X x1} P{X x1,Y y1},P{X x1,Y y2},P{X x1,Y y3}, 即 14 124 ,18 ,P{X x1,Y y3}, 112. 38 从而P{X x1,Y y3} 同理P{Y y2} 3 12 , P{X x2,Y y2} 16 12 13 又 P{Y yj} 1,故P{Y y3} 1, j 1 , . 同理P{X x2} 从而 34 . P{X x2,Y y3} P{Y y3},P{X x1,Y y3} 13 , 112 14 . 故 23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的 概率 为p(0<p<1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求:(1)在 发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率;(2)二维随机变量(X，Y)的概率 分布. mmn,m 【解】(1) P{Y m|X n} Cnp(1,p),0 m n,n 0,1,2, . (2) P{X n,Y m} P{X n} P{Y m|X n} 55 Cpm nme(1,p) n!,nm, nn, m n,n 0, 1, 2,. 24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~ 求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 1 0.32 ，而Y的概率密度为f(y)，0.7 【解】设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为 G(u) P{X,Y u} 0.3P{X,Y u|X 1},0.7P{X,Y u|X 2} 0.3PY{ u,1|X 1,} 由于X和Y独立，可见 0P.7Y {u,2X| G(u) 0.3P{Y u,1},0.7P{Y u,2} 0.3Fu(,1,) 由此，得U的概率密度为 0F.7u,( g(u) G (u) 0.3F (u,1),0.7F (u,2) 0.3fu(,1,)0f.7u,( 25. 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}?1}. 解:因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有 1 1y 3, , 0 x 3, , 0 f(y) 3 f(x) 3 0, x 0,x 3; 0, y 0,y 3. 因为X，Y相互独立，所以 1 , 0 x 3,0 y 3, f(x,y) 9 0, x 0,y 0,x 3,y 3. {Y, } . 推得 P{maxX91 26. 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 Y X ,,1 ,,1 0 1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1 c 其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=,,0.2,P{Y?0|X?0}=0.5，记Z=X+Y.求: 56 (1) a,b,c的值; (2) Z的概率分布; (3) P{X=Z}. 解 (1) 由概率分布的性质知， a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由E(X) ,0.2，可得 ,a,c ,0.1. 再由 P{Y 0X 0}P{X 0,Y 0} P{X 0}a,b,0.1 a,b,0.5 0, .5 得 a,b 0.3. 解以上关于a，b，c的三个方程得 a 0.2,b 0.1,c 0.1. (2) Z的可能取值为,2，,1，0，1，2， P{Z ,2} P{X ,1,Y ,1} 0.2， P{Z ,1} P{X ,1,Y 0},P{X 0,Y ,1} 0.1， P{Z 0} P{X ,1,Y 1},P{X 0,Y 0},P{X 1,Y ,1} 0.3， P{Z 1} P{X 1,Y 0},P{X 0,Y 1} 0.3， P{Z 2} P{X 1,Y 1} 0.1， 即Z的概率分布为 Z ,2 ,,1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) P{X Z} P{Y 0} 0.1,b,0.2 0.1,0.1,0.2 0.4. 57 习题四 1.设随机变量X的分布律为 求【解】(1) E(X) (,1) 18 2 11115 (2) E(X2) (,1)2 ,02 ,12 ,22 ; 82844 ,0 12,1 18,2 14 1; (3) E(2X,3) 2E(X),3 2 12 ,3 4 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 故 E(X) 0.5 83,0 0.50 1, 5 0 .3,401 0,.070 2,0 .00,7 3 D(X) i 0 x[i,EX( 2 )P]i (0,0.501 ) 0.432. 2 0.5,83,(1 2 0. 501) ,0.,340, 2 (5 0.501) 3.设随机变量X的分布律为 且已知E(X)=0.1,E(X)=0.9,求P1，P2，P3. 【解】因P1,P2,P3 1……?, 又E(X) (,1)P1,0 P2,1 P3 P3,P1 0.1……?, E(X) (,1) P1,0 P2,1 P3 P1,P3 0.9……? 2 2 2 2 由???联立解得P1 0.4,P2 0.1,P3 0.5. 4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E(X)=n，问从袋中任取1球为 白 球的概率是多少, 【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则 58 N P(A)全概率公式 P{A|X k} P{X k} k 0 N k 0 kN P{X k} nN. 1N N kP{X k 0 k} 1N E(X) 5.设随机变量X的概率密度为 x,0 x 1, f(x)= 2,x,1 x 2, 0,其他. 求E(X)，D(X). 【解】E(X) , , xf(x)dx xdx, 1 2 1 2 2 1 x(2,x)dx 2x3 13 x , x, 1. 33 0 1 E(X) 22 , , xf(x)dx xdx, 2 2 1 3 2 1 x(2,x)dx 2 76 故 D(X) E(X),[E(X)] 16 . 6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E(X)=5，E(Y)=11，E(Z)=8，求下列随机变 量的数学期望. (1) U=2X+3Y+1; (2) V=YZ,,4X. 【解】(1) E[U] E(2X,3Y,1) 2E(X),3E(Y),1 2 5,3 11,1 4 4 (2) E[V] E[YZ,4X] E[YZ],4E(X) )E(Z,) 因Y,Z独立E(Y 4E( X) 11 8,4 5 6 87.设随机变量X，Y相互独立，且E(X)=E(Y)=3，D(X)=12，D (Y)=16，求E(3X,,2Y)， D(2X,,3Y). 【解】(1) E(3X,2Y) 3E(X),2E(Y) 3 3,2 3 3. (2) D(2X,3Y) 2D(X),(,3)DY 4 12,9 16 192. 8.设随机变量(X，Y)的概率密度为 2 2 59 f(x，y)= 试确定常数k，并求E(XY). k, 0, 0 x 1,0 y x, 其他. 【解】因 , x 1, , , f(x,y)dxdy 10 dx 0 kdy 2 k 1,故k=2 E(XY) , , , , xyf(x,y)dxdy 1 x xdx 0 2ydy 0.25. 9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 f(x)= 2x, 0 x 1, e,(y,5)y 5,X 其他; f= , Y(y) 0, 0, 其他. 求E(XY). 【解】方法一:先求X与Y的均值 E(X) 1 0 x2xd x 23 , E(Y) , ,5) 5 5 ye ,(yy令z y, 5 , ,z ez,d , ,z z ez d, 5 16. 由X与Y的独立性，得 E(XY) E(X) E(Y) 23 6 4. 方法二:利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为 f(x,y) f(x) f 2xe,(y,5), 0 x 1,y 5,XY(y) 0, 其他, 于是 E(XY) , 1y,5) 5 xy 2xe ,(y,5) dxdy 12 2xdx , 5 ye ,(dy 23 6 4.10.设随机变量X，Y的概率密度分别为 x)= 2e,2xf, x 0, X(f 4e,4y , y 0, 0, ;Y(y)=x 0 0, y 0. 求(1) E(X+Y);(2) E(2X,,3Y2). 【解】(X) , , ,2x , xfX(x)dx x 2e dx [,xe ,2x] , , -2x edx , e ,2x dx 12 . E(Y) , y(y)d y , ,4y , Yf0 y4e d1 4 . E(Y2 ) , y2 , f 2 ,y4 2Y(y)dy , 0 y4e dy 42 18 . 从而(1)E(X,Y) E(X),E(Y) 1,132 4 4 . 60 (2)E(2X,3Y2) 2E(X),3E(Y2) 2 11.设随机变量X的概率密度为 ,k cxe f(x)= 0, 2 12 ,3 18 58 x 2 ,x 0,x 0. 求(1) 系数c;(2) E(X);(3) D(X). 【解】(1) 由 , , f(x)dx , 0 cxe ,kx 22 dx c2k 2 2 1得c 2k. ,kx 2 2 2 (2) E(X) , , xf(x)d(x) , 0 , x 2kxe 2k 2 dx 2k (3) E(X) 2 2 xe 2,kx 22 dx 2 ,kx 2 2 , , xf(x)d(x) 2 , 0 x 2kxe 1k 2 1 故 D(X) E(X2),[E(X)]2 2, 2kk 4,π . 2 4k 2 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出(取 出后不放回)，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E(X)和D(X). 【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2， 3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 P{X 0} P{X 2} 912312 0.75, P{X 1} 0 112 9 312 911 0.204, 1 9 0.00 5.109 32 0.0 4 1 , P{X 3}101211 由此可得E(X) 0 0.750,1 0.204,2 0.041,3 0.005 0.301. E(X 2 ) 0 2 2 75,0 1,)E[X( 2 2 0.,204 )] 2 2,0.0 41 2 2 3 D(X) E(X0,.413(0 .301) 0.0050.413 0.322. 13.一工厂生产某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为 1,x e4, f(x)= 4 0, x 0,x 0. 为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工 厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值:100元和,,200元 61 P{Y 100 }P{X 1 } , 14 ,x/4 1 e xd ,1/4 e P{Y ,200} P{X 1 },1 ,1/4 e. 故E(Y) 100 e,1/4,(,200) (1,e,1/4) 300e,1/4,200 33.64 (元). 14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2，i=1，2，…， n，记 X 1 n 1 n n X,S2i ，S2 = i ,X)2 . i 1 n,1 (Xi 1 2 (1) 验证E(X)=μ，D(X) = n ; n (2) 验证S2 = 12 2 n,1 ( Xi,nX); i 1 (3) 验证E(S2)=σ2. n n n 【证】(1) E(X) E 1 X 1 1 n i n E( Xi) E(Xi) 1 nu u. i 1 i 1ni 1 n n n D(X) D 1 X 1立1n n i n 2D( Xi)Xi之间相互独2 DXii 1 i 1n i 1 1n 2 n 2 2 n . (2) 因 n n n n (X 2i ,X)2 (X 2 i ,X 2 ,2XXi) X i ,nX 2 ,2X X i i 1 i 1i 1 i 1 n n X 22 i ,nX ,2X nX X2 i,nX 2 i 1 i 1 n 故S2 1n,1 ( X2 i,nX2 ). i 1 (3) 因E(X2,故E(X2222 i) u,D(Xi) i) D(Xi),(EXi) ,u. 同理因E(X) u,D(X) 2 n ,故E(X2 ) 2 n ,u2 . 从而 62 E(s2 ) E 1n X2 1n 2 (22 i,nX) [E( Xi),nE(X)] n,1i 1 n,1 i 1n 12 n[ E(X2 ,1i),nE(X)] i 1 1 2n,1 n ( 2,u2 ),n,u2 2 . n 15.对随机变量X和Y，已知D(X)=2，D(Y)=3，Cov(X,Y)=,,1, 计算:Cov(3X,,2Y+1，X+4Y,,3). 【解】Cov(3X,2Y,1,X,4Y,3) 3D(X),10Cov(X,Y),8D(Y) 3 2,10 (,1),8 3 , (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 2 2 f(x，y)= 1 π , x,y 1, 0,其他. 试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】设D {(x,y)|x2,y2 1}. E(X) , , , , xf(x,y)dxdy 1π xdxdy x2 ,y2 1 = 11π 2π 0 rcos rdrd 0. 同理E(Y)=0. 而 CovX(Y, ) , , x()], , ,[Ex ,y[EY( f)]x(y, xy 1 12π12 π xydxdy rsin cos rdrd 0, x2 ,y2 π 0 1 由此得 XY 0,故X与Y不相关. |x|?1 时，f下面讨论独立性，当1 X(x)1y 当|y|?1 时，fY(y)1x 显然fX(x) fY(y) f(x,y). 63 故X和Y不是相互独立的. 17. 验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的 分布律，其分布律如下表 64 由期望定义易得E(X)=E(Y)=E(XY)=0. 从而E(XY)=E(X)?E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的. 又P{X ,1} P{Y ,1} 38 38 18 P{X ,1,Y ,1} 从而X与Y不是相互独立的. 18.设二维随机变量(X，Y)在以(0，0)，(0，1)，(1，0)为顶点的三角形区域上服从均 匀分布，求Cov(X，Y)，ρXY. 【解】如图，SD= 12 ，故(X，Y)的概率密度为 题18图 f(x,y) 2, (x,y) D, 0, 其他. E(X) xf(x,y)dxdy 1dx 1,x 0 x2dy 1D 3 E(X2 ) x2 f(x,y)dxdy 12 dx 1,x0 2xdy 1D 6 2 从而D(X) E(X2 ),[E(X)]2 1 1 16, 3 . 18 同理E(Y) 13 ,D(Y) 118 . 而 E(XY) xyf(x,y)dxdy 2xydxdy 1dx 1,x0 2xydy 1D D 12 .所以 Cov(X,Y) E(XY),E(X) E(Y) 112 , 13 113 , 36 . 从而 ,11 XY , 2 19.设(X，Y)的概率密度为 65 1 sin(x,y), f(x，y)= 2 0, 0 x π2 ,0 y π 2 , 其他. 求协方差Cov(X，Y)和相关系数ρXY. 【解】E(X) , , , , xf(x,y)dxdy π π/20 dx π/20 1πxsin(x,y)dy . 24 π E(X) 从而 2 20dx 2 1ππ xsin(x,y)dy ,,2. 282 2 2 D(X) E(X),[E(X)] 22 π 2 16 , π2 2 ,2. 同理 E(Y) π4 ,D(Y ) π/20 π/20 π 16 π 2 , 2. π2 2 又 E(XY) dx xysin(x,y)dxdy ,1, 故 CovX(Y, )EX(Y,)E X( 2 π ππ )E Y(, 14 2 4 π,4 4 . XY π,4 , 22 (π,4)π,8π,16 4 2 ,2 ,2. πππ,8π,32π,8π,32,,2162 1 ，试求Z1=X,,2Y和Z2=2X,,Y的相关4 1 20.已知二维随机变量(X，Y)的协方差矩阵为 1 系数. 【解】由已知知:D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 从而 D(Z1) D(X,2Y) D(X),4D(Y),4Cov(X,Y) 1,4 4,4 1 13,D(Z2) D(2X,Y) 4D(X),D(Y),4C ov(X,Y) 4 1,4,4 1 4, Cov(Z1,Z2) Cov(X,2Y,2X,Y) 2CovX(X,,)4CYovX(,,)XCoYv,() ,1 )Y2YC5, 1 2D(X),5CovX(Y,,)D2Y ( 2, 2 45. 故 ZZ 1 2 66 21.对于两个随机变量V，W，若E(V)，E(W)存在，证明: ,E(VW),?E(V)E(W). 这一不等式称为柯西许瓦兹(Couchy,,Schwarz)不等式. 【证】令g(t) E{[V,tW]2},t R. 显然 0 g(t) E[(V,tW)] E[V 2 2 22 222 ,2tVW,tW] E[W],, t 2 22 2 E[V2],2 tE[VW], t R. 可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ?0， 即0 [2E(VW)]2,4E(W2) E(V2) 2 4{E[V(W),] EV( )EW( )}. 22 故[E(VW)]2 E(V2) E(W2)}. 22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出 现 故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作 的时间Y的分布函数F(y). 【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间 X~E(λ),E(X)==5. 依题意Y=min(X,2). 对于y<0,f(y)=P{Y?y}=0. 对于y?2,F(y)=P(X?y)=1. 对于0?y<2,当x?0时，在(0,x)【解】(1) Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布 为 P{Z k} C3 C3 C 3 6k 3,k 1 ,,y/5 , k 0,1,2,3. ,3 120 32 120 920 ,2 920 因此，E(Z) 0 ,1 . (2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有 3 P(A) P{Z k 0 k} P{A|Z k} 67 1 20 0,9 20 61,92131 , . 2062064 24.假设由自动线加工的某种零件的令 0(这里 (x) 122 ,x/), 得 25e,(12,u)2/2 21e,(10,u)2/2 两边取对数有 ln25,12 2(12,u)2 ln21,1 2(10,u). 解得 u 11,1 2l25 21 11 2ln1. 1910(毫米.91) 2 8 由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大. 25.设随机变量X的概率密度为 x f(x)= 1 2cos2,0 x π, 0,其他. 对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望. (2002研考) 1,X π 【解】令 Y 3, i (i 1,2,3, 4) 0,X π 3. 4 则Y Yi~B(4,p).因为 i 1 p P{X π 1,P{X π及P{X π π/31x 33302cos2dx 1 2, 12 68 u 所以E(Yi) 12 ,D(Yi) 14 ,E(Y) 4 12 12 12 2, 2 2 D(Y) 4 1 E(Y),(EY), 从而E(Y2) D(Y),[E(Y)]2 1,22 5. 26.两台同样的自动仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首 先 开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的 总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E(T)及方差D(T). 【解】由题意知: 5e,5t, fi(t) 0, t 0, t 0. 因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t). 当t<0时，fT(t)=0; 当t?0时，利用卷积公式得 fT(t) , , f1(x) f2(t,x)dx t 5e ,5x 5e ,5(t,x) dx 25te ,5t 故得 25te,5t, fT(t) 0, t 0,t 0. 由于Ti ~E(5),故知E(Ti)= 1525 ,D(Ti)=. 125 (i=1,2) 因此，有E(T)=E(T1+T2)= 又因T1,T2独立，所以D(T)=D(T1+T2)= 225 . 27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机 变 量|X,,Y|的方差. 2 2 , 【解】设Z=X,,Y ，由于X~N 0, ,Y~N 0, 且X和Y相互独立，故Z~N(0，1). 因 D(X,Y) D(Z) E(|Z|),[E(|Z|)] 2 2 E(Z),[E(Z)], 而 E(Z) D(Z) 1,E(|Z|) 2 22 , , |z| ,z/2 2 dz 69 , 0 ze ,z/2 2 dz 2 所以 D(|X,Y|) 1. π 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1)，各产品合格与否相互独立， 当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X， 求E(X)和D(X). i,,1 【解】记q=1,,p,X的概率分布为P{X=i}=qp,i=1,2,…， i,1 故E(X) iq i 1 p p( i 1 q p1 q) p . 2 (1,q)p 1,q i 2 2 又E(X) 2 i i 1 q i,1 p (i i 2 ,i)q i,1 p, iq i 1 i,1 p q2 1 pq( q) , pq , p1,q pi 2 2pq11,q2,p , .322 (1,q)ppp i 1 所以 D(X) E(X2),[E(X)]2 2,pp 2 , 1p 2 1,pp 2 . 题29图 29.设随机变量X和Y的联合分布在点(0，1)，(1，0)及(1，1)为顶点的三角形区域 上服从均匀分布.(如图)，试求随机变量U=X+Y的方差. 【解】 D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2[E(XY),,E(X)?E(Y)]. 由条件知X和Y的联合密度为 2, f(x,y) 0, (x,y) G,t 0. G {(x,y)| 0x 1 1, 0y x1,,y 从而fX(x) 因此 , , f(x,y)dy 1,x 2dy 2x. E(X) 10 xfX(x)dx 10 2xdx 2 32 ,E(X) 2 10 2xdx 3 12 , 70 D(X) E(X),[E(X)] 22 12 , 49 118 . 同理可得 E(Y) 32 ,D(Y) 118 . 1 1 E(XY) 2xydxdy 2 xdx G 1,x ydy 5 491 512 , 136 Cov(X,Y) E(XY),E(X) E(Y) 12 , ,1 , 2 1 .3618 于是 D(U) D(X,Y)30.设随机变量U在区间[,,2,2]上服从均匀分 布，随机变量 1818 ,1,若U ,1， ,1,若U 1， X= Y= 1,若U ,1，1,若U 1. 试求(1)X和Y的联合概率分布;(2)D(X+Y). 【解】(1) 为求X和Y的联合概率分布，就要计算(X，Y)的4个可能取值(,,1,,,1),(,,1,1),(1,,,1) 及(1,1)的概率. P{x=,,1,Y=,,1}=P{U?,,1,U?1} P{U ,1} ,1, dx4 ,1,2 dx4 14 P{X=,,1,Y=1}=P{U?,,1,U>1}=P{ }=0, P{X=1,Y=,,1}=P{U>,,1,U?1} P{,1 U 1} 1,1 dx4 14 2 P{X 1,Y 1} P{U ,1,U 1} P{U 1} dx4 1 14 . 故得X与Y的联合概率分布为 (,1,,1) (X,Y)~ 1 4 2 (,1,1)0 (1,,1)12 2 (1,1) . 1 4 (2) 因D(X,Y) E[(X,Y)],[E(X,Y)],而X+Y及(X+Y)2的概率分布相应 为 ,2 X,Y~ 1 4 012 1412 2 0 2 1, (X,Y)~1 4 2 0, 2, 2 4 1. 2 从而E(X,Y) (,2) E[(X,Y)] 0 2 1412 ,2 ,4 2 所以D(X,Y) E[(X,Y)],[E(X,Y)] 2. 71 31.设随机变量X的概率密度为f(x)=e 2 1 ,x ，(,,?<x<+?) (1) 求E(X)及D(X); (2) 求Cov(X,|X|),并问X与|X|是否不相关, (3) 问X与|X|是否相互独立，为什么, 【解】(1)E(X) , , 1,|x| xedx 0. 2x(, 1 02 2 ,x| D(X) , , ex d | , 0 0x 2,x xe d 2. (2) Cov(X,|X) E(X |X|),E(X) E(|X|) E(X |X|) , , 1,|x| x|x|edx 0, 2 所以X与|X|互不相关. (3) 为判断|X|与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域 ,,?<x<+?中的子区间(0,+?)上给出任意点x0，则有 {,x0 X x0} {|X| x0} {X x0}. 所以0 P{|X| x0} P{X x0} 1. 故由 P{X x0,|X| x0} P{|X| x0} P{|X| x0} P{X x0} 得出X与|X|不相互独立. 32.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N(1，32)和N(0，42)，且X与Y的相关 系数 ρXY=,,1/2，设Z= X3,Y2 . (1) 求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z); (2) 求X与Z的相关系数ρXZ; (3) 问X与Z是否相互独立，为什么, 【解】(1) E(Z) E X 3 , Y 1 . 2 3 X Y XY ,D,2Cov, 3 2 32 14 16, 21 3 12 CoXvY( , ), D(Z) D 而 Cov(X,Y) XY 19 9, 1 , 3 4 ,6 2 4, 1 6 3 ,所以 D(Z) 1 3. 72 (2) 因Cov(X,Z) Cov X, X3 ,12 Y 11 CovX,X,Cov,X,Y, ,, 2 32 9 -3 13 D(X), ,(6 ) 0,3= 所以 XZ 1 0. (3) 由 XZ 0，得X与Z不相关.又因Z~N 相互独立. ,3 ,X~N(1,9)，所以X与Z也 3 33.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相 关系 数 XY. 【解】由条件知X+Y=n，则有D(X+Y)=D(n)=0. 再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q= 12 , n4 D( Y) 从而有 D(X) npq 所以 0 D(X,Y) DX(,)DY(,) XY( n n ,2 XY, 故 XY=,,1. 24 ) 34. 试求X和Y【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为 所以E(XYCov(X,Y)=E(XY),,E(X)?E(Y)=0.12,,0.6×0.2=0 从而 XY=0 35.对于任意两事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<1,则称 ρ= P,AB,,P(A) P(B)P(A)P(B)P(A)P(B) 为事件A和B的相关系数.试证: (1) 事件A和B独立的充分必要条件是ρ=0; (2) |ρ|?1. 73 【证】(1)由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P(AB),,P(A)?P(B)=0. 而这恰好是两事件A、B独立的定义，即ρ=0是A和B独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X与Y为 1,若A发生, 1,若B发生, Y X 0,若A发生; 0,若B发生. 由条件知，X和Y都服从0,,1分布，即 0 X~ 1,P(A) 1P(A) Y~ 01P(B) 1,P(B) 从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B), D(X)=P(A)?P(A),D(Y)=P(B)?P(B), Cov(X,Y)=P(AB),,P(A)?P(B) 所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关 系数的基本性质可得|ρ|?1. 36. 设随机变量X的概率密度为 1 2,,1 x 0, 1 fX(x)= ,0 x 2, 4 其他. 0, 令Y=X2，F(x,y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数，求: (1) Y的概率密度fY(y); (2) Cov(X,Y); (3)F(, 12 ,4). 解: (1) Y的分布函数为 FY(y) P{Y y} P{X 2 y}. 当y?0时， FY(y) 0，fY(y) 0; 当0,y,1时， FY(y) P{ X P{X 0},P{0 X ， fY(y) 12 当1?y<4时， FY(y) P{,1 X 0},P{0 X fY(y) , 74 当y?4时，FY(y) 1，fY(y) 0. 故Y的概率密度为 0 y 1,fY(y) 0 y 4, 0, 其他. (2) 故 (3) E(X)= + xfx 211- X(x)d 12 xdx, -1 4 xdx 4, E(Y)=E(X2)= + 2 12 12 - xfX(x)dx 2 dx, -1 x 250 4 xdx 6 ), E(XY)=E(Y2 )= + 3 23 7, - xfX(x)dx 13 -1 2 xdx, 104 xdx 8 Cov(X,Y) =E(XY)-E(X) E(Y)=23 . F(, 12 ,4) P{X , 12 ,Y 4} P{X , 12 ,X2 4} P{X ,12 ,,2 X 2} P{,2 X ,12 P{,1 X ,1 12 4 . 75 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P{10<X<18}. 4 【解】设Xi表每次掷的点数，则X i 1 Xi E(Xi) 1 16 ,16, 2 1 2 2 1 , ,66 2 111 , , 6661,6 4 2 72 , 916 2 E(Xi) 1 2 16 ,3 2 1 ,612 5, 612 6 , 35 7 从而 D(Xi) E(Xi2),[E(Xi)]2 , . 6 2 12 91 又X1,X2,X3,X4独立同分布. 4 4 从而E(X) E( Xi) i 14 i 14 E(Xi) 4 72 14, D(X) D( Xi) i 1 i 1 D(Xi) 4 3512 353 }P所以 P{10 X 18 {X|, 35/3 1 4| 424 0.271, 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之 间 的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件, 1,若第i个产品是合格品, 【解】令Xi 0,其他情形. 而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且 X1，X2，…，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8. 现要求n,使得 n P{0.76 i 1 Xi 0.84} 0.9. n 即 n P X i ,0.8n 0.9 由中心极限定理得 , 0.9, 76 整理得 1.64, 0.95, 10 10 n?268.96, 故取n=269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响， 开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B(200，0.7), E(X) 140,D(X) 42, . 0.95 P{0 X m} P(X m) 查表知 1.64, ,m=151. 所以供电能151×15=2265(单位). 4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1，2，…，20)，设它们是相互独立的随机变 量， 20 且都在区间(0，10)上服从均匀分布.记V= Vk，求P{V,105}的近似值. k 1 【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=100 12,k=1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量 20 V Z k,20 5 近似的~N(0,1). , 105,20 5 于是P{V 105} P V,100 0.387 1, (0.387) 0.348, P 即有 P{V>105}?0.348 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100 根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少, 77 【解】设100根中有X根短于3m，则X~B(100，0.2) 从而 P{X 30} 1,P{X 30} 1, 1, (2.5) 1,0.99 380 . 6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言. (1) 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少, (2) 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少, 1,【解】Xi 0, 100第i人治愈,其他. Xi. i 1,2, ,100. 令X i 1 (1) X~B(100,0.8)， P{ Xi 75} 1,P{X 75} 1, i 1 100 1, (,1.25) (1.2 5) (2) X~B(100,0.7)， 0 . P{ Xi 75} 1,P{X 75} 1, i 1 100 1, ) ,1 (1.0 9)0. 1379. 7. 用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有 20件废品的概率. 【解】令1000件中废品数X，则 p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05)， E(X)=50，D(X)=47.5. 故 P{X 20} 1 6.895 30 , 6.895 1 6.895 30 ,6 10 . 4.56.8 95 8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，…，T30服从参数λ=0.1[单位:(小时)-1]的指数 78 分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率. 【解】E(Ti) 110.11 10, D(Ti) 2 , 100 E(T) 1 0 故 3 0 D(T) 300 03 0 P{T 350} 1, 1, 1, (0.913) 0.1814. 9. 上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率 保证够用(假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时). 【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100， E(T)=10n，D(T)=100n. n 从而P{ Ti 306 8} 0.95,即0.05 i 1 . 故 10n,24480.95 , 1.64 n,244.8n 272. 所以需272a元. 10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数X超过450的概率, (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 易知E(Xi=1.1),D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400. 400 而X iXi,由中心极限定理得 400 X i,400 1.1 X,400 1.1近似地 ~N(0,1). 450,400 1.1 于是P{X 450} 1,P{X 450} 1, 1, (1.147 ) 30.1 (2) 以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8) 由拉普拉斯中心极限定理得 79 P{Y 340 (2.5) 0.9938. 11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率, 【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则X~B(10000，0.515) 要求女孩个数不少于 男孩个数的概率，即求 P{X?5000}. 由中心极限定理有 P{X 5000} (,3) 1, (3) 0.00135. 12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计， 在一次行动中: (1)至少有多少个人能够进入, (2)至多有多少人能够进入, 【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体(i=1,2,…,1000). 令 Sn=X1+X2+…+X1000. (1) 设至少有m人能够进入掩蔽体，要求P{m?Sn?1000}?0.95，事件 {m Sn} . 由中心极限定理知: P{m Sn} 1,P{Sn m} 1, 0.95. 从而 0.05, 故 m,900 ,1.65, 所以 m=900-15.65=884.35?884人 (2) 设至多有M人能进入掩蔽体，要求P{0?Sn?M}?0.95. P{Sn M} 0.95. 查表知=1.65,M=900+15.65=915.65?916人. 13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年保险公司没 有利润的概率为多大; (2) 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大, 【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B(10000，0.006). 80 (1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”. 于是所求概率为 P{X 120} 4 e 6 9.64 , 12 (6.64) 2 0.051 7 ,30.1811 (2) 因为“公司利润?60000”当且仅当“0?X?60” 于是所求概率为 P{0 X 60} , 0.5. 60 (0), , 14. 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契 比雪夫不等式给出P{|X-Y|?6}的估计. (2001研考)【解】 令Z=X-Y，有 E(Z) 0,D(Z) D(X,Y) D(X),D(Y),2 XP 3. 所以 P{|Z,E(Z)| 6} P{|X,Y| 6} D(X,Y) 6 2 336 112 . 15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查 的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数. (1) 写出X的概率分布; (2) 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值. (1988研考) 【解】(1) X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗 户出现的概率是0.2，因此，X~B(100,0.2)，故X的概率分布是 P{X k} C1000.20.8 k k 100,k ,k 1,2, ,100. (2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14?X?30}的概率.由中心 极限定理，得 P{14 X 30} , (2.5), (,1.5 )0.9,94, ][9 .33 16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差 为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可 以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977. 81 【解】设Xi(i=1,2,…,n)是装运i箱的重量(单位:千克)，n为所求的箱数，由条件知， 可把X1，X2，…，Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知: E(Xi) 50 , E(T ) 50n ,n 5 , .T,50n近似地依中心极限定理，当n ~N(0,1),故箱数n取决于条件 P{TT,50nn 5000} P 100,01n0 0.97 7 <98.0199, 2解出n 即最多可装98箱. ( 2).82