带根号的数未必是无理数
第二课堂
带根号的数未必是无理数 带根号的数未必是无理数
鹿泉市获鹿镇第三中学
崔怀平
在新教材七年级数学下册第十章第三节讲到:“很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。”接着引出定义:“无限不循环小数又叫无理数。”例如:2 , ,是无理数, =3.14159265......,也是无理数。时间一长,,3
有的学生把无理数和带根号的数混淆起来,误认为带根号的数就是无理数。其实带根号的数不一定是无理数,无理数也不一定都是带根号的数得来的。
无理数的定义是:“无限不循环小数叫无理数”。最本质特征是无限不循环。
我们知道,开方开不尽的数,开方后可以得到无限不循环小数,既无理数。但是无限不循环小数不一定非得由开方得来,例如圆周率 =3.14159265((((((,它不是开放得来的,它是圆的周长除以直径得到的,它是一个比值。还有自然对数的底数e=2.718……也是无理数;它是通过求极限的
得到的。还有我们也可以有意识地构造一些无理数,如:0.101001000…..,(构成的规律是1后面0的个数逐次增加一个),显然这个数是无限不循环的小数,也是一个无理数。就是说无理数并不都是开方开不尽而得来,还有其他方式可以形成无理数。
342另一方面,虽然很多带根号的数都是无理数,例如:、、等,53
332,52,5但不是带根号的数就一定是无理数。例如:+,从感觉上看,这个数很像无理数,但是他确实是一个有理数。现在证明一下:
332,52,5设 x= +
3333,,两边3次方得:= 2,5,2,5x,,,,
32233333,,,,,,,2,5,2,5=+3+3+2,5,2,5,2,5,,,,,,,,,,,,
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33,, 2,5,,,,
333,(2,5)(2,5),(2,5=2++3++2 2,5)5,5
3=4 ,3,4,5,x
=4 ,3x
3即 x,4,3x
3 x,3x,4,0
3分解因式: x,x,4x,4,0
2 ,,,,xx,1,4x,1,0
,,,,,,xx,1x,1,4x,1,0
,,,,,,x,1xx,1,4,0
2 ,,,,x,1x,x,4,0
2在实数内无解 x,x,4,0
所以,x=1
332,52,5也就是说 +=1 ,它是一个有理数。
当然,让我们去判断一个较复杂的数是不是无理数是困难的,就是圆周率 也是经过很多数学家的努力,才用微分学证明了它是一个无理数。现在新课标,新教材对根式运算降低了
,不必去运算和判断,但是我们要知道 :一是无理数不是开方才能得到~其他方式也可能产生无理数,二是很多带根号的数或式子是无理数~但是有些带根号的数却是有理数。
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