[doc] 探究共点共线的射影几何学方法

[doc] 探究共点共线的射影几何学方法 探究共点共线的射影几何学方法 第7卷第1期杨凌职业技术学院2008年3月 JournalofYanglingVocationsl&TechnicalCollegeVo1.7No.1 Mar.2008 探究共点共线的射影几何学方法 宋占奎,於全收,燕嫫,胡杰军 (湖北十堰职业技术学院数学教研室,湖北十堰442000) 摘要:由完全四点形,调和点列或调和线束的定义,Desargues命 题,Desargues逆命题或调和共轭定理,解决了三 线共点,四线共点,三点共线,四点共线,五点共线或六点共线的问题. 同时还应用上述定义,命题或定理解决了求 定点问题,轨迹问题及作图问题. 关键词:共点;共线;无穷远点;无穷远直线;调和共轭;完全四点形 中图分类号:0185.1文献标识码:B文章编 号:1671—9131(2008)01—0055—02 TheProjectionGeometryMethodtoProbeinConcurrenceandCollineation SONGZhan-kui,YUQuan-shou,YANYan,HUJie-jun (TeachingandResearchSectionofMaths,ShiyanInstituteofVocationalTechnology,Shiyan442000,China) AbstractlAccordingtOdefinitionsofthecompletequadrangle,theharmonic pointrangeandtheharmoniclinepencil,thepropo- sitionofDesargues,theconversepropositionofDesarguesandthepropositionofharmonicconjugatescansolvetheproblemsof 3-lineconcurrence,4-lineconcurrence,3一 pointcollineation,4-pointcollineation,5-pointcollineation,and6-pointcollineation.At thesametime,byuseoftheabove-mentioneddefinitions,propositionsandtheorems.theproblemsofseekingfixedpoints,locu— se8andplottingcanalsobesolved. Keywords:concurrence;collineation;infinitepoint;infiniteline;harmonicconjugates;completequadrangle 0引言 要用射影几何学的方法去探究共点共线问题,其 关键是如何找出两个三点形,两个三线形或完全四点 形,若经分析找到三点形,三线形或完全四点形,便可 用完全四点形或调和共轭的定义,Desargues命题, Desargues逆命题或调和共轭定理去解决点列或线束 的共线或共点问题,求定点问题,轨迹问题及作图问 题.下面通过实例来说明射影几何学方法在探究共点 共线问题中的应用.不当之处,多蒙指教. 1预备知识 定义1:平面上四点,其中无三点共线,每两点 的连线构成的图形叫做一个完全四点形.这四点叫 做顶点,六条直线叫做边,通过不同顶点的两条边 叫做对边,对边的交点叫做对角点,两对角点的连线 叫做对角线,三对角点构成对角三点形. 定义2:如果(AB,CD)一一1,则称此交比为四 点的调和比,并称点对A,B与点对C,D互相调和 分隔,或称二点对调和共轭.而称A,B,C,D为调和 点列,D叫做A,B,C三个点的第四调和点. 定义3:如果(ab,cd)一一1,则称此交比为四直 线的调和比,并称线对a,b与线对c,d互相调和分 割或称二线对调和共轭.而称口,6,c,d为调和线束, d叫做n,6,c三直线的第四调和直线. Desargues命题两个三点形对应顶点的连线交 于一点,那么,对应边的交点在一直线上. Desargues逆命题两个三线形对应边的交点在 - 收稿日期:2006-11—16 作者简介:宋占奎(1947-),男,教授,主要从事应用数学方面的研究工 作. 56杨凌职业技术学院第7卷 一 直线上,那么,对应顶点的连线交于一点. 定理一线段的中点关于两端点的调和共轭点必 为该直线上的无穷远点.反之,若成调和共轭的四个点 中有一点为无穷远点,则另一个点对的两点与此无穷 远点的第四调和点为此二点所确定的线段的中点. 2应用举例 2.1设两个完全四点形的五条对应边的交点共线, 试用Desargues命题证明第六条对应边的交点也在 这条直线上. 如图1,设ABCD及EFGH是两个完全四点 形,AB×EF—U,DC×HG=S,AC×EG=V, BCXFG=P,AD×EH—Q五点共线m. 应用Desargues逆命题于?ABC及?EFG.因 为,对应边的交点U,P,共线m,所以,A,BF, CG共点O. 同理,因为?ADC及?EHG的对应边交点Q, S,V共线m,所以AE,DH,CG共点O. 图2三点D,E.F共线结构图 2.2设P,Q,尺,S是完全四点形的顶点,A—PS× Q尺,B—PR×QS,C—PQ×RS,求证:D—BC× Q尺,E—CAxRP,F—AB×PQ三点共线. 如图2,在AABC及?PQR中,因为AP,BQ,CR 共点S.所以据Desargues命题得,对应边的交点:F— AB~PQ,E=CAXRP,D=BCXRQ三点共线. 2.3已知线束中的三直线a,b,c,求作直线d,使 (ab,cd)一一1. 如图3,设线柬中心为S,以直线m分别截a,b, C于A,B,C.在直线C上任取一点Q,联AQ交b于 尺,联BQ交a于P,联PR与交于D,则直线— SD即为所求.因为,SPQR构成一完全四点形,所 以据定义得,(AB,CD)=一1,从而(ab,cd)一(AB, CD)一一1. . 图3完全四点形SPQR及亘线SD结构图 2.4设AC,BE,DF为?ABD的三高线,EF× BD—C,求证(BD,CC1)一一1,在等腰三角形AB — AD的情况,这命题给出什么结论? 如图4,设O为?ABD的垂心,据完全四点形 AFoE的性质,得(BD,CC.)一一1.在?ABD中, 若AB=AD,C为垂足,因而C为BD的中点.因为 (BD,CC)=一1, 所以由定理知C.为BD直线上的无穷远点 C..因而当FE//BD时,则有FE×BD=C.所 以在等腰三角形中,底边的顶点到两腰的垂足的联 线平行于底边. 图4两平行线共点C及C的轨迹c】G结构示意图 2.5已知?ABC及平面上一点0(Tg在任一边上) 联A0,BO,CO与对边交于D,E,F且 n=BC×EF,2=CA×FD,—AB×DE 1)(BC,rD)一一1,(CA,r2E)=一1,(AB, F)一一1;2)n,r2,r.三点共线,若O为重心,由 初等几何验证上述定理;3)若O为内心,试问得什 么定理? 如图5,由已知条件得,在完全四点形AF0lE 中,(BC,nD)=一1;在完全四点形BDoF中, (CA,r2E)=一l;在完全四点形CEOD中,(AB, F)=一1. (下转第73页) 第1期张锦青:斯特林堡的厌女情结——《朱丽小姐》的圣经原型解 读73 的劣等形式一一置身于创世的主人,文化的创造者 即男人中间,妄想与男人平等,或者可以变得与男人 平等,就会陷入一种荒谬的追求,从而堕落.”[8此 外,斯特林堡还断言说女人”永远赶不上”男人.他 在《结婚》一剧前言谈及女人和男人的权利时,更是 对女性充满了偏见,”两性之间会产生友谊吗?友谊 能持续下去吗?只能说是面的,因为两性问天生 彼此为敌;’+’和’一’永远是矛盾的,正电和负电是 敌对的,但又要凑在一起,互相弥补.只有在兴趣大 体相同和看法大体一致的人之间才能产生友谊.”E93 由此可见,斯特林堡的厌女情结是多么的根深蒂固. 4结论 弗莱曾从文学的形式和类型的角度出发提出原 型的定义,原型是一种象征,是”典型或重复出现的 意象”,”可交流的单位”,”可被辨认出作为一个人的 整个文学经验的一个组成部分”ElO3是人类文学的 深层结构和基本因素.其中基本的文学原型就是神 (上接第56页) 图5三点rl.r2.r3共线t结构示意图 如图5,在?ABC及/kDEF中,对应顶点的联 线AD,BE,CF共点O,所以由Desargues命题知,对 应边的交点r一13(2×EF,r2一CA×FD,ra=AB~DE 三点共线t. 如图6,若O为/kABC的重心,则D,E,F分别为 BC,CA,AB边的中点.所以据定理知,BC×EF— r,AC×DF—rz,AB×DE—ra.因而,由Desargues 命题知,r,r2,ra在平面上的无穷远直线to.上. 并且,(BC,Drl)一(BCD)一一1;(CA,Er2)一 (CAE)一一1;(BA,Fr3)一(BAF)一一1. 图6三点r.r2.r3..共线t结构示意图 如图7,若O是/kABC的内心,则AD,BE,CF 分别是A,B,C的内角平分线.由此得定理:三 角形三内角平分线与对边的交点分别为D,E,F,则r 话.斯特林堡这位剧作家正是在《圣经》施洗约翰神 话的叙事结构的启迪下,结合自己的生活经历,融入 内心厌女因子,从而创作了《朱丽小姐》这部着名的 自然主义独幕剧. 参考文献: Eli诺思罗普?弗莱.诺罗斯普.弗莱文论选集[M].北 京:中国社会科学出版社,1997. [2]宋兆霖.尔文学奖文库[M].杭州:浙江文艺出版社, 1998. [3,4,8,9]斯特林堡.斯特林堡文集[M].北京:人民文学 出版社,2005. [53立元.当代西方文艺理论[M].上海:华东师范出版社, 2005. [6]荣格.荣格文集EM].北京:改革出版社,1997. E73叶舒宪.探索非理性的世界[M].成都:四川人民出版 社,1988. [1O]诺思罗普?弗莱.批评的剖析[M].天津;百花文艺 出版社,1998. 一BC×EF,r2一AC×DF,ra—AB×DE三点共线t. 这时r,rz,ra是AABC的三外角平分线交其对边之 点,推导出的定理是rl,r2,r3这三点共线t. ,3 图7三点rl.r2.rs共线t结构示意图 3结论 综上所述,射影几何学方法是探究共点共线问 题的方法之一.其解题思路对于进一步考察点线之 间的性态关系提供了有效的途径. 参考文献: Eli梅向明,刘增贤,林向岩.高等几何[M].北京:高等教 育出版社,1983.105—106. [2]朱德祥.高等几何[M].北京:高等教育出版社,1983. 58—66. [3]钟集.高等几何[M].北京:高等教育出版社.1983.64 — 67. [4]方德植,陈奕培.射影几何[M].北京:高等教育出版 社,1983.117—136. [5]陈启旭,王大淦,林达坚,陈达惠.高等几何[M].福州: 福建人民出版社,1983.103—108.