高等数学(上)第五章定积分总结

第五章  定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 ：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例 1．曲边梯形的面积 设函数 ∈C[a, b], 且 >0. 由曲线 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i个细长条面积 曲边梯形面积: 定积分概念示意图. 定义: 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设 在[a, b]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点 把[a, b]分割成n个小区间: (2) 取点: 在每个小区间 上任取一点i, 做乘积: . (3) 求和: (4) 取极限: 若极限存在, 则其为 在[a, b]上的定积分, 记作: . 即: [a, b]: 积分区间；a：积分下限；b：积分上限； 积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量? 注: (1) 与区间的分割法xi和取点法i有关; 而 与xi和i无关. (2) 与a、b、f 有关，与x无关，即： 2．定积分存在定理 定理  若 在[a, b]上有界且只有有限个间断点，则 在[a, b]上可积. 推论  若 在[a, b]上连续，则 在[a, b]上可积. 例1. 求 解: 在[0, 1]连续, 积分存在. 与[0, 1]的分割法和i的取法无关. 选取特殊的分割法和取点法, 可使计算简便. (1) 将[0, 1]n等分, (2) 取点i= (3) 求和 (4) 取极限 故 3. 定积分的几何意义 若 在[a, b]上非负, 则 =曲边梯形面积; 若 在[a, b]上非正, 则 =曲边梯形面积的负值; 的几何意义是由曲线 围成曲边梯形面积的代数和. 例2. . 三、定积分的性质 1．规定 2．性质 (4) 若在[a, b]上有 ，则 推论1 若 ，则 推论2 (5) 设M、m分别为 在[a, b]上的最大、最小值 ，则 (6) (积分中值定理) 设 , 则 , 使得 将中值定理变形得： 称为 在[a, b]上的平均值. §2. 微积分基本公式 一、变速直线运动中的位置函数与速度函数之间的关系（略） 二、积分上限的函数及其导数 设 在[a, b]上连续, 则x[a, b], 有 在[a, x]上连续. 从而 存在. 在这里, 积分上限x与被积变量x的性质是不同的. 与a、b、f 有关，与x无关. 与a、x、f 有关. 对于[a, b]上的任一点x, 有一个确定的对应值, 故 是x的函数, 记作(x), 即: 称为积分上限的函数. 定理 若 在[a, b]上连续, 则积分上限的函数 在[a, b]上可导, 且 证明: . 注: 若 在[a, b]上不连续, 则最后一个等式不成立. 此定理说明, 是 的一个原函数. 例1. 例2. , 求 例3. 求极限 . 三、牛顿—莱布尼茨公式 定理 若 在[a, b]上连续, 是 的一个原函数，则 证明： 是 的一个原函数, 也是 的一个原函数, 同一个函数的两个原函数之间相关一个常数, 于是有: 例1. 例2. 例3． 例4． 例5. 例6. 注：在数学计算过程中, 要对结论(答案)作合理性检验. §3. 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 定理 若 满足如下条件： (1) 是[α,β](或[β,α])上单值单调函数; (2) 在[α,β](或[β,α])有连续导数; (3) 则: . 例1. 令 . 当x=0时, t=1; 当x=4时, t=3. (若不定积分掌握得很好得话, 可以直接凑微分: ) 与不定积分换元法相比较, 有两点不同: (1) 积分变量由x变为t时, 积分的上下限也要随之改变; (2) 求出关于t的原函数后无须回代成x的函数. 例2. 注：换元积分公式，满足 所要求的条件很重要，如： 而事实上， ，其原因在于 在t=0不可导. 例3. 证明: (1) 若 是[-a, a]上的偶函数, 则 (2) 若证明 是[-a, a]上的奇函数, 则 证明: 此例提示我们, 在计算定积分时, 看到对称的积分限, 要保持敏感. 例 . 例4. , 证明: 并计算 二、定积分的分部积分法 定积分的分部积分法适用的函数类型与不定积分的分部积分法相同. 例1. 例2. 例3. 积分公式： 例4． §4. 反常积分（广义积分） 定义定积分 需满足如下条件: (1) 有界  (2) 只有有限个间断点  (3) a, b为确定的数值, 即积分限是有限值. 反常积分是对无穷积分限和无界函数定义的积分. 一、无穷限的反常积分 定义 设 , 取t>a, 若极限 存在, 则称此极限为 上的反常积分, 记作 , 即: 存在, 也称为 收敛; 若 不存在, 则称 发散. 类似地, 定义: 注: 例1. 例2. 例3. 故 发散. 二、无界函数的反常积分 定义 设 , 取b>t>a, 若极限 存在, 则称此极限为 上的反常积分, 仍记作 , 即: 亦称为 收敛; 否则，称 发散. 类似地, 定义: 注: 例4. 例5. 例6. 故 发散. 注: 计算 前, 首先判断 在[a, b]上是否有无穷点. 定积分小结 一、基本概念 1．定积分 2．变上限积分函数 3．广义积分 （1）无穷积分限 （2）无穷间断点 二、定积分的性质 1．定积分与被积分字母无关 2．积分限的分割 3．积分中值定理 设 , 则 , 使得 4．对称函数在对称区间上的积分 三、定积分的计算 1．牛——莱公式 2．换元积分法 3．分部积分法 四、积分上限函数求导