不定积分公式

不定积分小结一、不定积分基本公式xa+111xadx=一+CaH—1(2)-dx=lnx+Ca+1x3axdx=-^+C4sinxdx=—cosx+Clna5cosxdx=sinx+C6tanxdx=—lncosx+C7cotxdx=lnsinx+C8secxdx=lnsecx+tanx+C9cscxdx=lncscx—cotx+C10sec2xdx=tanx+C11csc2xdx=-cotx+C12dx—arctanx+C1+x213dx=1arctanx+C14dx—1lna—x+Cx2+a2aax2—a22aa+x15dx=1ina+x+C16dx—arcsin%+Ca2-x22aa-x1—x217dx=arcsinx+C18dx—lnr+x2±a2+Ca2—x2ax2±a2xa2x19a2—x2dx=-a2—x2+—arcsin-+C22axa220x2±a2dx=-x2±a2±—lnx+x2±a2+C22、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）D九=sinnxdx(详情请查阅教材166页)—cosxsinn-1xn—1“一「、…八则D=+D2(求三角数积分)nnnn—2易得Dn:n为奇数时，可递推至D]=sinxdx=-cosx+C；n为偶数时，可递推至D=sin2xdx=x-如空+C；224d,/=—-—详情请查阅教材173页nX2+a2n1x2n—1贝弭=+1n+12na2(x2+a2)n2na2n易得/可递推至人=-d^=1arctanx+Cn1x2+a2aa这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法（一）换元积分法第一类换元积分法（凑微分法）这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就我们熟悉常见函数的导数。首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子x例1：dx5+x—X2注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正好就是一次，通过凑微分和配方可以得到解决。xdx=5+x—X21dx5+x—x2例2：x3x4+x2+1dx——22dx5+x—X2d(5+x—x2)1I—5+x—x22dx=—5+x—x2+(旦)2—(x—丄)2222x—1=—5+x—X2+arcsin()+C—2x+1+丄与例1类似，我们有：X314x3+2x—ixdx=4—dxx4+x2+1x4+x2+11dx4+x2+114x4+x2+14dx2+12后面套公式就好啦x2+12dx1+sin2xdxdxd(tanx)cos2x+2sin2xcos2x1+2tan2x1+2tan2xarctan(tanx)+Cd(tanx)(-a2x2±a.2±ln)2+tan2x2接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。xx例4：dx=dQa3—x3332322xa2—x22—1d3x22至此可以套用公式了33232a2—x21131例5：dx=-2x+32x1+dx，注意到少的导数为-2x-3ln22，2x至此可以用凑微分法了xxsinx例6：dx=dx1-xcotxsinx-xcosx注意至Usinx—xcosx的导数为xsinx第二类换元积分法（1）利用三角函数进行代换：sin2x+cos2x=1tan2x+1=sec2xcot2x+1=csc2x换元时必须要注意变量的范围，保证范围的等价性（通过例题体会）例如以下两个基本积分公式xa2—x2dx=-2a2xa2—x2+arcsin_+C2ax2±a.2%x2±a.2dx=-_2例：dx(X2+9)3利用tan2x+1=sec2x,令x=3tant,这里x可以取到全体实数，那么t取J-?n就可以保证x取到全体实数，因为t的范围直接影响到三角函数的正负，所以这一点在涉及至开根号的三角函数表达式时尤为重要dx3则：=COS4tdt（X2+9）393至此，cos4tdt有多种求法，比如说直接用递推公式，见第五页：sinnxdx求得ncosnxdx利U用cosx=sin&—x)和2令一种解法：cos4tdt=cos2t(1-sin2t)dt=cos2tdt-cos2tsin2tdt利用倍角公式可以解出。(2)倒代换，经常用在分母多项式次数较高的情况下TOC\o"1-5"\h\za2—X2人1例：dx，令x=7，容易求出原函数x4t分部积分法|idv=|iv—vdp.应用分部积分法时，需要把被积函数看作两个因式|1及dv之积，如何选取这两者是很关键的，选取不当，将使积分愈化愈繁.积分时应注意dv比较好积，同时|1的选取应使其倒数比|1简单，两者应兼顾。例：xearctanxdx=earctanxi+x221+X2earctanxdxi+x22=earctanx1+X2earctanx1+X2-xearctanxdxi+x22x-1=earctanx―「1+x2xearctanxdxi+x22则：xearctanxdx=i+x22x-1earctanx+C21+x2这个函数就有多种拆分方法，需要我们多尝试几次才能解出，并且用到了轮换，应注意。其实sinlnxdx也用到了轮换，详情请查阅教材165页。一般情况下，被积函数形如eaxsinbx，eaxcosbx，Pmxeax，由xsinbx，Pxcosbx，Px(lnx)n，pxarctanx，…就可以尝试分部积分法轻松mmm求得原函数，其中Pmx表示m次多项式。JXexdx例(1+X)2xex(x+1)2dxTOC\o"1-5"\h\zJ(x+1)ex一exJexex—Jdx—Jdx(x+1)2x+1(x+1)2—Jdx-Jdx—Jdx+Jexdx+1(x+1)2x+11+xJdx+-Jdexx+11+x1+xex1+x（三）特殊函数积分法1、有理函数的不定积分参考教材171页有关有理函数分解定理的说明，比较繁琐，但要掌握。关键在于将有理函数分解为要求的形式，并会解决分解后的各种函数的积分，其实我们可以将其归结为两种形式：b1x-am当m=1时,当m丰1时，cx+dbdx=blnx—a+Cx-ambdx=-x-am-m+1b(x—a)-m+i*(x2+ax+bndx（其中a，b，C，d为常数，n为正整数）dx（其中a,b为常数，m为正整数）对于分子，我们可以将其凑为x2+ax+b的导数和某一常数之和，第一部分容易求得，第二部分利用第一页的递推公式：dxX2+Q2n详情请查阅教材173页1x2n—1贝"九+12na2(x2+a2)n+2na2仃易得/可递推至人=—^=1arctanx+Cn1x2+a2aa以下几例用于练习有理式的分解和计算：例1：dxx3+1dxdxdxX4+1(x2+1)2—(2x)2(x2+1+2x)(x2+1—2x)dxF(教材175页的方法较为简便)x6+12、三角函数有理式的积分常用技巧：(1)凑微分例1：sinmxcosnxdx若m和n都是偶数，利用sin2x+cos2x=1将其化为同名函数。若m或n为奇数，则拆开一个凑成微分,然后再化为同名函数，之后再利用(二、中的递推公式。cosx1例2：dx=d(tanx)sin3x+cos3x1+tan3xdx利用已经解得的x?TI的结果n、补充一点：cos九xdx利用cosx=sin(^—x)和sinnxdx求得21tann—1%tannxdx=tann—2x(—1)dx=—tann—2xdxcos2n—1这就得到了tannxdx的递推公式，事实上还可以将其看作sinmxcosnxdx的特殊形式，只不过m=-n罢了，当然可以用sinmxcosnxdx的求解方法。(2)倍角公式、积化和差例：sin5xsin7xdx(3)分项技巧1例1：dx=sin4xcos2xsin2x+cos2xdx=sin4xcos2x11dx+dxsin2xcos2xsin4x至此第一项可以继续分项或者利用倍角公式，第二项可以直接套用(二、)中的递推公式或者利用分部积分求解，实际上递推公式也是由分部积分法得到的。dx1sinx+a—(x+B)例2:=dx=例:sinigx+a)sin(x+B)sinP(a—B)sin(x+a)sin(x+B)1cosP(x+B)cosP(x+a)頁•「口丄Q、一•％丄、dx，这里利用了二角和公式，sin(a—B)sin(x+B)sin(x+a)至此可以直接套用基本积分表了。(aHB)12sinx+cosx+—3sinx+cosx—d(cosx—sinx)(cosx—sinx)2+1dxsin3x+cos3xdx2+—2cos(x—n)34ndxsin2x—sinxcosx+cos2xn2二—=lnsec(x—4)+tan(x—牙)—3arctan(cosx—sinx)+C此题较为复杂，大家需要认真看)（4）配凑法例I=Jcoxdxacox+bsin假设I=J沁dx,1acosx+bsinxsinxdxacox+bsiixal+bl得到12al+bl-Idx=x+C1211）bI-aI得到12bcosx一asinx,bl-al=dx12acosx+bsinx-d（acosx+bsinx）acosx+bsinx2）=InIacosx+bsinxI+C2由（1）与（2）解得：I=lnIacosx+bsinxI+x+C.a2+b2a2+b2I=lnIacosx+bsinxI+x+C.a2+b2a2+b2（5）万能公式：（1）令|i=tanx，则sinx=-^cosx=口221+卩21+卩22u2tanx=dx=（三角函数次数较低时效果较好）1一p.21+p.22令P=tanx，则Sinx=±审C0Sx1注意正负号的判断dx=1_—（三角函数次数较高时效果较好）dx例：（用第一种变换）2+sinx=色（转化为容易的有理积分）p2+p+13、简单无理函数的积分（D当被积函数是x与n（ax+b）（cx+d）的有理式时，采用变换pn（ax+b）（cx+d），就可化为有理函数的积分例：1+xdx=x3±dx，设t=土代换即可xx(2)当被积函数是x与ax2+bx+c的有理式时，通常先将ax2+bx+c配方，再用三角变换化为三角有理式的积分或直接利用积分公式计算。dxdx例：=，令x+1=tant即可1+x2+2x+21+(x+1)2+1附：另类题目：确定A和B,使下式成立dx(a+bcosx)2Asinxa+bcosx+Bdxa+bcosx解：两边同时求导，化简整理可得：Ab+Ba+Aa+Bbcosx=1从而有：Ab+Ba=1Aa+Bb=0当a2丰b2时，解得A=九，B=a2-b2aa2-b2当a2=b2时,无解。221