拉氏变换定义、计算、公式及常用拉氏变换反变换

****拉普拉斯变换及反变换****定义：如果定义:•丿山是一个关于，的函数，使得当—［时候，•「『=厂二心：是•'■是一个复变量•£是一个运算符号,它代表对其对象进行拉普拉斯积分'■':的拉普拉斯变换结果。则丿门:的拉普拉斯变换由下列式子给出：F(s)=C{f(t)}=1表A-1拉氏变换的基本性质1线性定理齐次性L[af(t)]=aF(s)叠加性L[f(t)土f(t)]二F(s)土F(s)1212L[詈]=sF(s)-f(0)dtL[df)]=s2F(s)-sf'(0)-f(0)dt22微分定理一般形式L[dnf(t)]=snF(s)-Xsn-kf(k-1)(0)dtnk=1f(t)dk-if(t)f(k-i)(t)='dtk-1初始条件为0时dnf(t)L[八丿]=snF(s)dtnL[ff(t)dt]=加+ss一般形式L[fff(t)(dt)2]=加++山f(t)(dt)2]t=os2积分定理初始条件为0时r个r•Jf(t)(dt)n]=F(s)3池延迟定理(或称t域平移定理)L[f(t-T)l(t—T)]=e-TsF(s)衰减定理(或称s域平移定理)L[f(t)e-a]=F(s+a)snsn-k+1L[tjf(t)(dt)n]=加+K丄J.jf(t)(dt)n]t=0终值定理初值定理limf(t)=limsF(s)tustOlimf(t)=limsF(s)ttOss卷积定理L[Ff(t-T)f(T)dT]=L[Ff(t)f(t-T)dT]=F(s)F(s)序号拉氏变换E(s)时间函数e(t)z变换E(z)116(t)121S(t)=天S(t-nT)Tz1一e-Tsz-131s1(t)zz-141tTzs2(z-1)251s3t22T2z(z+1)2(z-1)361sn+1tnn!lim(-1)n6n(z)atOn!6anz—e-aT121212012012122.表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表(s+a)2s(s+a)10(s+a)(s+b)11s2+o212s2+o213(s+a)2+o214s+a(s+a)2+o215s—(1/T)lnaz-e-aTte—atTze-aT(z—e-aT)21—e—ate-at—e-btsinotcosote-atsinote-atcosotat/t(1—eaT)z(z—1)(z—e—aT)z—e-aTz—e-bTzsin①Tz2—2zcosoT+1z(z-cosoT)z2—2zcosoT+1ze—aTsinoTz2-2ze—aTcosoT+e—2aTz2-ze-aTcosoTz2—2ze—aTcosoT+e-2aT3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式B(s)bsm+bsm-1++bs+bF(s)二=f1o(n>m)A(s)asn+as«-1++as+ann—110式中系数a,aa,a，b,b，…b,b都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可01n—1n01m—1m将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。①A(s)=0无重根这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。F(s)=7s—s1ccc+2——+….+i——+….+n——s—s2s—sis—sni=1ci—s—siF-1)式中，s,s，…,s是特征方程A(s)=O的根。c为待定常数，称为F(s)在s处的留数，可12nii按下式计算：c二lim(s一s)F(s)iisF-2)式中，B(s)c二iA'(s)s=siF-3)A(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式(F-1)可求得原函数f(t)二L-1[f(s)LL-1£C―is-s1-i=1i」n=乙ce-呼ii=1(F-4)A(s)二0有重根设A(s)—0有r重根s,1F(s)可写为B(s)F(s)=(s一s)r(s一s)•••($—s)1r+1nccccccr+—1+…■+1+r+1+…■+i——+…■+n——(s—s)r(s—s)r-1(s—s)s—ss—ss—s111r+1in式中，s为F(s)的r重根，s，...,s为F(S)的n-r个单根;1r+1n其中，c，…，c仍按式(F-2)或(F-3)计算，c，c，…，c则按下式计算:r+1nrr—11=lim(s—s)rF(s)1sfs]cr—1=lim—[(s-s)rF(s)]ds1sfs1cr—j1d(j)lim一j!sfs1ds(j)(s—s)rF(s)1(F-5)(s—s)rF(s)11d(r—1)lim(r—1)!sfs1ds(r—1)原函数f(t)为f(t)二L-i[F(s)]TOC\o"1-5"\h\z”cccccc=L-1r1r-11111r+111i11n—(s一s)r(s一s)r-1(S一S)S一SS一SS一Sccrtr-1+r-1tr-2+•…+ct+c(r-1)!(r-2)!21L111r+1in」esj+Xces.t(F-6)1iii=r+1