2023年新老高考过渡省份适应性联考数学试卷（无答案）

PAGE\*MERGEFORMAT12023新老高考过渡省份适应性联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本大题包括8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．复数z满足，，则为（）A．1或－1B．或C．或D．2或－22．以下哪个选项是的图像（）A．B．C．D．3．已知平面向量，，，当最小时，则，的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．如果一个几何体的三视图均为下图，则其体积比面积最大为（）A．B．C．D．5．四个半径为1的球两两相切，则他们的外切四面体棱长为（）A．B．C．D．6．将5个小球放入甲乙两个框中，每个框一定要有球，放完后小明等概率从甲乙中依次取出球，若甲框最先被取完且甲框中不为两个球，则甲框中小球个数的期望为（）A．B．C．D．7．已知，，则（）A．B．C．D．8．椭圆E：，过E外一点P作E两条切线PA，PB，，记P的轨迹为T，圆C：，记T与C的交点为，，…，，当的最大值m最大时，，则E的离心率为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数满足：，则以下不正确的有（）A．B．对称轴为C．D．10．麦克斯韦妖（Maxwell＇sdemon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形。可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且（，2，…n），定义X的信息熵，则下列说法正确的有（）A．n＝1时B．n＝2时，若，则与正相关C．若，D．若n＝2m，随机变量Y的所有可能取值为1，2…m，且（j＝1，2…m）则11．若，x，y，．，则以下说法正确的有（）A．的最大值为B．的最大值为C．的最大值为0D．恒小于012．如图，已知正方体的棱长为2，P为空间中一点且满足，则以下说法正确的有（）A．若P在面上，则其轨迹周长为B．若，则的最小值为C．P的轨迹围成的封闭曲线体积为D．四棱锥P-ABCD体积最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的定义，，定义集合，且，则B中所有元素之和为奇数的概率为．14．若，则的最大值为．15．数列满足，，为的前n项和，若，则k的范围为．16．若，设的零点分别为，，…，，则n＝；．（其中为a向上取整，例如：，）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）在线性回归是利用数理统计中回归，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛．回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．一般来说，线性回归都可以通过最小二乘法求出其方程，可以计算出对于的直线．残差是真实值和预测值间的差值，对于一组数据，其残差可以表示为其中为真实值，为估计值对于我们数据中的每个点如此计算一遍，再将所有的相加，就能量化出拟合的直线和实际之间的误差．其公式为：．这个公式是残差平方和，对于回归直线的确定，普通最小二乘法给出的判断标准是：残差平方和的值达到最小．在数学中，处理多个参数的函数的极值时，我们可以采用偏导法，即单独对某个参数求导，将其他参数视为常数．根据以上信息，请推导公式：（其中，）18．（本题满分12分）已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外心．，（1）证明：BC⊥AD；（2）E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥ABCD的外接球表面积为20π，求二面角E-CO-B的余弦值．19．（本题满分12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，且A，．且（1）求C；（2）若a＝b＝2，BC上有一动点P，将△ABP沿AP折起使BP与CP夹角为，求AB与平面ACP所成角正弦值的范围．20．（本题满分12分）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：且．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为（1）证明是卡特兰数；（2）求的通项公式．21．（本题满分12分）已知椭圆E：，的右焦点，过F作直线AB交E于A，B两点，E上有两点M，N满足：MF，NF分别为∠AMB，∠ANB的角平分线．当直线AB斜率为时，△MNF的外接圆面积为9π（1）求E的标准方程；（2）设直线MN：，求k和b的代数关系．22．（本题满分12分）在数学中常有“数形结合”的思想，即找到代数式的几何意义，比如：的几何意义便是抛物线上的点P到点和点的距离之和，进而可以简化计算．现在，已知函数的两个零点分别为，．（1）当a＝1时，证明：；（2）当a≥1时，证明：．