收益和风险：资本资产定价模型

两资产风险溢价的比率等于它们贝塔系数的比例。解：＝+（－），如果风险回报比率相等，两资产贝塔系数的比例等于它们风险溢价的比例。33．组合收益和离差考虑如下关于三只股票的信息：经济状况经济状况发生的概率经济状况发生时的收益率股票A股票B股票C繁荣0.40.200.350.60正常0.40.150.120.05萧条0.20.01－0.25－0.50①如果你的组合中各投资40%于股票A和股票B、投资20%于股票C，组合的期望收益是多少？方差是多少？标准差是多少？②如果国库券的期望收益是3.80%，组合的预期风险溢价是多少？③如果预期的通货膨胀率是3.50%，组合的实际收益的近似值和准确值是多少？预期组合的实际风险溢价的近似值和准确值是多少？解：①＝+（R为收益率，即期望；X为权重）繁荣时：E(Rp)＝40%×0.20+40%×0.35+20%×0.60＝0.3400正常时：E(Rp)＝40%×0.15+40%×0.12+20%×0.05＝0.1180不佳时：E(Rp)＝40%×0.01+40%×(－0.25)+20%×(－0.50)＝－0.1960期望E（X）＝E(Rp)＝0.40×0.3400+0.40×0.1180+0.2×（－0.1960）＝0.1440方差D（X）＝＝0.40×+0.40×+0.2×＝0.03876＝0.1969②风险溢价等于风险资产收益率减去无风险利率，通常国库券的收益率被视为无风险收益率，所以组合的预期风险溢价：0.1440－3.80%＝10.60%③组合的实际收益的近似值＝0.1440－3.50%＝10.9%组合的实际收益的精确值＝－1＝0.1053组合的实际风险溢价的近似值＝10.60%－3.50%＝7.10%组合的实际风险溢价的精确值＝－1＝0.068634．分析组合你想创造一个和市场一样的风险组合，并且你有1000000美元进行投资。根据这些信息，把下面表格的其他部分填满：资产投资额贝塔系数股票A200000美元0.80股票B250000美元1.30股票C3433331.50无风险资产2066670解：股票A的权重是200000/1000000＝0.2，股票B的权重是250000/1000000＝0.25，设股票C的权重是W，则无风险资产的权重是0.55－W，创造一个和市场一样的风险组合，说明贝塔系数为1，所以1＝0.2×0.80+0.25×1.30+W×1.50+（0.55－W）×0，W＝0.343333，即股票C的权重0.343333，股票C的投资额是343333，无风险资产的投资额是20666735．分析组合你有1000000美元，要投资于一个包含股票X、股票Y和无风险资产的组合。你的目标是创造一个期望收益为13.5%且其风险只有市场的70%的投资组合。如果股票X的期望收益是31%、贝塔系数是1.8，股票Y的期望收益是20%、贝塔系数是1.3，无风险利率是7%，你会投资多少钱买股票X?如何理解你的回答？解：风险只有市场的70%→贝塔系数为0.7设股票X的权重为W1，股票Y的权重为W2，则无风险资产的权重为1－W1－W2，0.7＝W1×1.8+W2×1.3+（1－W1－W2）×013.5%＝W1×31%+W2×20%+（1－W1－W2）×7%W1＝－0.0833333，W2＝0.6538462，1－W1－W2＝0.4298472投资组合中负的权重说明卖空该股票，卖空股票是指今天借入该股票并卖出，但是你必须在将来的某个时间再买入该股票以偿还之前借人的，如果这个股票价值下跌，你就获利了。36．协方差和相关系数根据下面的信息，计算下面每一只股票的期望收益和标准差。假设每种经济状况发生的可能性是相同的。两只股票收益的协方差和相关系数是多少？经济状况股票A的收益股票B的收益熊市0.063－0.037正常0.1050.064牛市0.1560.253解：可以分别求出股票A和股票B的期望收益，再分别求出其方差，然后求标准差。根据二者离差来求协方差，再由协方差除以股票A和股票B的标准差来求相关系数。期望E（X）＝方差D（X）＝X与Y的协方差：Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）X与Y的协方差：Cov（X，Y）＝X与Y的相关系数：＝E（A）＝×（0.063+0.105+0.156）＝0.108D（A）＝×+×+×＝0.00145＝0.0380E（B）＝×（－0.037+0.064+0.253）＝0.0933D（B）＝×+×+×＝0.01445＝0.1202股票A和股票B的协方差可以用两种方法来求：法一：Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）E（AB）＝×[0.063×（－0.037）+0.105×0.064+0.156×0.253]＝0.014619E（A）E（B）＝0.108×0.0933所以Cov（A，B）＝0.014619－0.108×0.0933＝0.0045426法二：Cov（X，Y）＝→该法常用些×[（0.063－0.108）×（－0.037－0.0933）+（0.105－0.108）×（0.064－0.0933）+（0.156－0.108）×（0.253－0.0933）]＝0.004539X与Y的相关系数：＝股票A和股票B的相关系数为：＝＝＝0.993137．协方差和相关系数根据下面的信息，计算下面每一只股票的期望收益和标准差。假设每种经济状况发生的可能性是相同的。两只股票收益的协方差和相关系数是多少？经济状况经济状况发生的概率股票A股票B熊市0.25－0.0200.050正常0.600.0920.062牛市0.150.1540.074解：本题跟上题不同之处就是发生的概率不等。解法相似E（A）＝0.25×（－0.020）+0.60×0.092+0.15×0.154＝0.0733D（A）＝0.25×+0.60×+0.15×＝0.00336＝0.0580E（B）＝0.25×0.050+0.60×0.062+0.15×0.074＝0.0608D（B）＝0.25×+0.60×+0.15×＝0.00006＝0.0075Cov（A，B）＝0.25×（－0.020－0.0733）×（0.050－0.0608）+0.60×（0.092－0.0733）×（0.062－0.0608）+0.15×（0.154－0.0733）×（0.074－0.0608）＝0.000425股票A和股票B的相关系数为：＝＝＝0.978338．组合的标准差证券F每年的期望收益是12%、标准差是34%。证券G每年的期望收益是18%、标准差是50%。①由30%证券F和70%证券G组成的投资组合的期望收益是多少？②如果证券F和证券C的相关系数是0.2，那么①中描述的投资组合的标准差是多少？解：①＝+（R为收益率，即期望；X为权重）30%×12%+70%×18%＝16.20%②＝++2（为标准差）＝++2×30%×70%×0.2×34%×50%＝0.14718＝38.36%39．组合的标准差假设股票A和股票B的期望收益和标准差分别是：E（）＝0.15，E（）＝0.25，＝0.40，＝0.65。①当A收益和B收益之间的相关系数为0.5时，计算由40%股票A和60%股票B组成的投资组合的期望收益和标准差。②当A收益和B收益之间的相关系数为－0.5时，计算由40%股票A和60%股票B组成的投资组合的期望收益和标准差。③A收益和B收益的相关系数是如何影响投资组合的标准差的？解：①＝+（R为收益率，即期望；X为权重）＝40%×0.15+60%×0.25＝0.2100＝++2（为标准差）＝++2×40%×60%×0.5×0.40×0.65＝0.24010＝49.00%②＝40%×0.15+60%×0.25＝0.2100＝+－2×40%×60%×0.5×0.40×0.65＝0.11530＝33.96%③随着相关系数的减少，投资组合的标准差会降低。40．相关系数和贝塔系数你有如下有关三家公司证券、市场组合和无风险资产的数据：证券预期收益标准差相关系数*贝塔系数公司A0.130.38（ⅰ）0.9公司B0.16（ⅱ）0.41.1公司C0.250.650.35（ⅲ）市场组合0.150.20（ⅳ）（ⅴ）无风险资产0.05（ⅵ）（ⅶ）（ⅷ）*和市场组合的相关系数。→贝塔系数的实际定义＝＝＝①填写表中缺失的数值。②公司A的股票是否根据资本资产定价模型(CAPM)正确定价？公司B的股票呢？公司C呢？如果这些股票没有正确地定价，你对一个拥有充分多元化投资组合的投资者的投资建议是什么？解：①＝0.9＝→＝0.4737，即（ⅰ）1.1＝→＝0.55，即（ⅱ）＝→＝1.14，即（ⅲ）市场组合的贝塔系数＝1，即（ⅴ）＝1市场组合跟它自己的相关系数为1，即（ⅳ）＝1无风险资产的标准差＝0，即（ⅵ）＝0无风险资产和市场组合的相关系数＝0，即（ⅶ）＝0无风险资产的贝塔系数＝0，即（ⅷ）＝0②资本资产定价模型，＝+（－）A的理论预期收益率＝0.05+0.9（0.15－0.05）＝0.14，而实际上A的预期收益率为0.13，因此A的价格被高估了，应该卖出股票A；B的理论预期收益率＝0.05+1.1（0.15－0.05）＝0.16，而实际上B的预期收益率为0.16，因此B定价合理；C的理论预期收益率＝0.05+1.14（0.15－0.05）＝0.164，而实际上C的预期收益率为0.25，因此C的价格被低估了，应该买进股票C；41．CML市场组合的期望收益是12%、标准差是10%。无风险利率是5%。①一个标准差为7%、充分多元化的组合的期望收益是多少？②一个期望收益为20%、充分多元化的组合的标准差是多少？解：资本市场线CML：＝+×，为应变量，为自变量。为风险溢价，为市场风险。＝5%+×①＝5%+×7%，＝9.90%②20%＝5%+×，＝21.43%42．贝塔系数和CAPM一个由无风险资产和市场组合构成的投资组合的期望收益是12%、标准差是18%。无风险利率是5%，且市场组合的期望收益是14%。假定资本资产定价模型有效。如果一个证券与市场组合的相关系数是0.40、标准差是40%，这个证券的期望收益是多少？解：资本市场线CML：＝+×，为应变量，为自变量。为风险溢价，为市场风险。12%＝5%+×18%，＝23.14%＝＝＝0.6914资本资产定价模型，＝+（－）＝5%+0.6914（14%－5%）＝11.2226%43．贝塔系数和CAPM假设无风险利率是6.3%，且市场组合的期望收益是14.8%、方差是0.0498。组合Z与市场组合的相关系数是0.45，它的方差是0.1783。根据资本资产定价模型，组合Z的期望收益是多少？解：市场组合的方差是0.0498，因此市场组合的标准差是22.32%组合Z的方差是0.1783，因此组合Z的标准差是42.23%＝＝＝0.85资本资产定价模型，＝+（－）＝6.3%+0.85（14.8%－6.3%）＝13.54%44．系统性和非系统性风险考虑如下关于股票ⅰ和股票ⅱ的信息：经济状况经济状况发生的概率经济状况发生时的收益率股票ⅰ股票ⅱ衰退0.150.09－0.30正常0.700.420.12非理性繁荣0.150.260.44市场的风险溢价是10%，无风险利率是4%。哪只股票的系统性风险最大？哪只股票的非系统性风险最大？哪只股票的风险更大一些？解释你的回答。解：系统性风险可以用贝塔系数来衡量；总风险可以用方差来衡量。股票ⅰ的期望收益E（ⅰ）＝0.15×0.09+0.70×0.42+0.15×0.26＝34.65%股票ⅰ的方差D（ⅰ）＝0.15×+0.70×+0.15×＝0.01477资本资产定价模型，＝+（－）34.65%＝4%+（10%），＝3.07股票ⅱ的期望收益E（ⅱ）＝0.15×（－0.1050）+0.70×0.12+0.15×0.44＝0.1050股票ⅱ的方差D（ⅱ）＝0.15×+0.70×+0.15×＝0.04160资本资产定价模型，＝+（－）0.1050＝4%+（10%），＝0.65股票ⅰ的贝塔系数较股票ⅱ的大，因此，股票ⅰ的系统性风险较大些；股票ⅰ的方差较股票ⅱ的小，因此，股票ⅰ的总风险较小些；股票ⅰ的非系统性风险较股票ⅱ的小些。45．SML假设你观察到如下情况：证券贝塔系数期望收益Pete公司1.30.23Repete公司0.60.13假设这些证券定价都正确。根据资本资产定价模型，市场的期望收益是多少？无风险利率是多少？解：资本资产定价模型，＝+（－）0.23＝+1.3（－）0.13＝+0.6（－）解得：＝4.43%，＝18.71%46．协方差和组合的标准差这些是市场上的三种证券，下表显示了它们可能带来的回报状态出现的概率证券1的收益证券2的收益证券3的收益10.100.250.250.1020.400.200.150.1530.400.150.200.2040.100.100.100.25①每种证券的期望收益和标准差是多少？②每对证券之间的相关系数和协方差是多少？③将资金一半投资于证券l、另一半投资于证券2的投资组合的期望收益和标准差是多少？④将资金一半投资于证券1、另一半投资于证券3的投资组合的期望收益和标准差是多少？⑤将资金一半投资于证券2、另一半投资于证券3的投资组合的期望收益和标准差是多少？⑥你对①、②、③和④问题的回答就多元化来说意味着什么？解：①期望E（X）＝，方差D（X）＝E（A）＝0.10×0.25+0.40×0.20+0.40×0.15+0.10×0.10＝0.1750D（A）＝0.10×+0.40×+0.40×+0.10×＝0.00163＝0.0403E（B）＝0.10×0.25+0.40×0.15+0.40×0.20+0.10×0.10＝0.1750D（B）＝0.10×+0.40×+0.40×+0.10×＝0.00163＝0.0403E（C）＝0.10×0.10+0.40×0.15+0.40×0.20+0.10×0.25＝0.1750D（C）＝0.10×+0.40×+0.40×+0.10×＝0.00163＝0.0403②A和B之间的协方差Cov（A，B）＝0.10×（0.25－0.1750）（0.25－0.1750）+0.40×（0.20－0.1750）（0.15－0.1750）+0.40×（0.15－0.1750）（0.20－0.1750）+0.10×（0.10－0.1750）（0.10－0.1750）＝0.000625A和C之间的协方差Cov（A，C）＝0.10×（0.25－0.1750）（0.10－0.1750）+0.40×（0.20－0.1750）（0.15－0.1750）+0.40×（0.15－0.1750）（0.20－0.1750）+0.10×（0.10－0.1750）（0.25－0.1750）＝－0.001625B和C之间的协方差Cov（B，C）＝0.10×（0.25－0.1750）（0.10－0.1750）+0.40×（0.15－0.1750）（0.15－0.1750）+0.40×（0.20－0.1750）（0.20－0.1750）+0.10×（0.10－0.1750）（0.25－0.1750）＝－0.000625A和B之间的相关系数＝＝＝0.3846A和C之间的相关系数＝＝＝－1B和C之间的相关系数＝＝＝－0.3846③＝+（R为收益率，即期望；X为权重）＝++2（为标准差）＝×0.1750+×0.1750＝0.1750＝×+×+2×××0.3846×0.0403×0.0403＝0.001125＝0.0335④＝×0.1750+×0.1750＝0.1750＝×+×+2×××（－1）×0.0403×0.0403＝0＝0⑤＝×0.1750+×0.1750＝0.1750＝×+×+2×××（－0.3846）×0.0403×0.0403＝0.000500＝0.0224⑥只要两种证券收益率的相关系数小于l，实行多元化总是有利的。在保持每只证券的期望收益率不变的情况下，由负相关证券构成的投资组合，通过多元化，其风险下降的幅度要高于由正相关证券构成的投资组合。对于完全负相关的证券，通过赋予各个证券适当的权重，可以把组合的方差降为零。47．SML假设你观察到如下情况：经济状况经济状况发生的概率经济状况发生时的收益率股票A股票B萧条0.25－0.10－0.30正常0.500.100.05繁荣0.250.200.40①计算每只股票的期望收益。②假定资本资产定价模型有效且股票A的贝塔系数比股票B的贝塔系数大0.25，预期的市场风险溢价是多少？解：①期望E（X）＝E（A）＝－0.10×0.25+0.10×0.50+0.20×0.25＝0.0750E（B）＝－0.30×0.25+0.05×0.50+0.40×0.25＝0.0500②资本资产定价模型，＝+（－）0.0750＝+1.25（－）0.0500＝+（－）－＝10%48．标准差和贝塔系数市场上有两只股票，股票A和股票B。股票A今天的价格是50美元。如果经济不景气，股票A明年的价格将会是40美元；如果经济正常，将会是55美元；如果经济持续发展，将会是60美元。不景气、正常、持续发展的可能性分别是0.1、0.8和0.1。股票A不支付股利，和市场组合的相关系数是0.8。股票B的期望收益是9%，标准差是12%，和市场组合的相关系数是0.2，和股票A的相关系数是0.6。市场组合的标准差是10%。假设资本资产定价模型有效。①如果你是一个持有充分多元的、风险规避的典型投资者，你更喜欢哪一只股票，为什么？②由70%股票A、30%股票B构成的投资组合的期望收益和标准差是多少？③②中投资组合的贝塔系数是多少？解：①看它总风险由多大，也即看它方差有多大，故求各自方差。期望E（X）＝，方差D（X）＝E（A）＝0.1×+0.8×+0.1×＝8.00%（因为它不支付股利，因此它的收益率就＝，如果支付股利，则收益率＝）D（A）＝0.1×+0.8×+0.1×＝0.0096＝9.8%，小于，因此选择股票A。（有问题）参考答案这样解释：贝塔系数的实际定义＝＝＝＝＝0.784＝＝0.240股票B的预期收益高于股票A的预期收益，股票B的贝塔系数小于股票A，即股票B的风险更小。因此我更喜欢股票B。，这种情况至少有一只股票被错位定价了，因为题中的情况是较高风险的股票的收益率还低于较低风险的股票的收益率。（疑问：贝塔系数不是仅度量系统性风险的吗？）②＝+（R为收益率，即期望；X为权重）＝++2（为标准差）＝70%×8.00%+30%×9%＝0.083＝×+×+2×70%×30%×0.6×9.8%×12%＝0.00896＝0.0947③＝70%×0.784+30%×0.240＝0.62149．最小方差组合假设股票A和股票B的特征如下所示：股票期望收益(%)标准差(%)A510B1020两只股票收益的协方差是0.001。①假设一个投资者持有仅仅由股票A和股票B构成的投资组合。求使得该组合的方差最小化的投资比重和。（提示：两个比重之和必须等于1。）②最小方差组合的期望收益是多少？③如果两只股票收益的协方差是－0.02，最小方差组合的投资比重又是多少？④③中的组合的方差是多少？解：①＝++2＝×++2××0.001×10%×20%+＝1综合以上二式，运用导数求导，得＝0.8125，＝0.1875②＝+＝0.8125×5%+0.1875×10%＝0.0594③＝×++2××（－0.02）×10%×20%+＝1综合以上二式，运用导数求导，得＝0.6667，＝0.3333④＝×++2××（－0.02）×10%×20%＝0（注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）