赫尔德不等式和闵科夫斯基不等式的证明完整版

标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]赫尔德不等式和闵科夫斯基不等式的证明Holder不等式与Minkowski不等式的证明赫德(Holder)不等式是通过Young不等式来证明的,而闵可夫斯基(Minkowski)不等式是通过赫德(Holder)不等式来证明的.Young不等式如果x,y>0,实数p>1以及实数q满足1p+1q=1,那么有1pxp+1qyq≥xyYoung不等式的证明证明:注意到1p+1q=1,所以(xyq1)p=xpyq,于是原不等式两边同时除以yq,再令t=xyq1,显然t>0原不等式等价为1ptp+1q≥t令f(t)=1ptp+1qt,求导得f′(t)=tp11因为p>1,所以f′(t)=tp11在(0,1]上递减,在(1,+∞)上递增,所以f(t)的最小值在t=1时取到,即f(t)≥f(1)=1p+1q1=0,t>0于是,Young不等式得证,等号成立条件x=yq1.赫德不等式(Holder)如果a1,a2,,an,b1,b2,,bn都是非负实数,实数p>1以及实数q满足1p+1q=1,那么有(∑i=1napi)1p(∑i=1nbqi)1q≥∑i=1naibi赫德不等式的证明证明:记S=(∑i=1napi)1p,T=(∑i=1nbqi)1q,那么我们有Sp=∑i=1napi,Tq=∑i=1nbqi由此得∑i=1napiSp=1,∑i=1nbqiTq=1对于给定的i∈{1,2,,n},利用Young不等式,可得aibiST≤1papiSp+1qbqiTq将i取遍1,2,,n并求和,得到∑i=1naibiST≤1p∑i=1napiSp+1q∑i=1nbqiTq=1p+1q=1即得∑i=1naibi≤ST=(∑i=1napi)1p(∑i=1nbqi)1q闵可夫斯基不等式(Minkowski)如果a1,a2,,an,b1,b2,,bn都是非负实数且实数p>1,那么有(∑i=1napi)1p+(∑i=1nbpi)1p≥(∑i=1n(ai+bi)p)1p闵可夫斯基不等式的证明证明:令正实数q满足1p+1q=1,由Holder不等式,我们有∑i=1nai(ai+bi)p1≤(∑i=1napi)1p(∑i=1n(ai+bi)(p1)q)1q注意到1p+1q=1,可得q(p1)=p,于是由上面的不等式得∑i=1nai(ai+bi)p1≤(∑i=1napi)1p(∑i=1n(ai+bi)p)1?1p同理可得∑i=1nbi(ai+bi)p1≤(∑i=1nbpi)1p(∑i=1n(ai+bi)p)1?1p两不等式相加,即得∑i=1n(ai+bi)p≤((∑i=1napi)1p+(∑i=1nbpi)1p)(∑i=1n(ai+bi)p)1?1p两边同时除以(∑i=1n(ai+bi)p)1?1p,便得(∑i=1napi)1p+(∑i=1nbpi)1p≥(∑i=1n(ai+bi)p)1p