2021年高中数学 第三章 直线与方程章末综合检测（A）新人教A版必修2

可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档2019年高中数学第三章直线与方程章末综合检测（A）新人教A版必修2一、选择(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若直线过点(1,2)，(4,2＋eq\r(3))，则此直线的倾斜角是(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为(　　)A．－3B．－6C．－eq\f(3,2)D．eq\f(2,3)3．下列叙述中不正确的是(　　)A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．每一条直线都有唯一对应的倾斜角C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα4．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是(　　)5．若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于(　　)A．2B．3C．9D．－96．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是(　　)A．x＋y＋1＝0B．4x－3y＝0C．4x＋3y＝0D．4x＋3y＝0或x＋y＋1＝07．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)A．4B．eq\r(13)C．eq\r(15)D．eq\r(17)8．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(　　)A．k≥eq\f(3,4)或k≤－4B．－4≤k≤eq\f(3,4)C．－3eq\f(3,4)≤k≤4D．以上都不对9．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)A．－4B．20C．0D．2410．如果A(1,3)关于直线l的对称点为B(－5,1)，则直线l的方程是(　　)A．3x＋y＋4＝0B．x－3y＋8＝0C．x＋3y－4＝0D．3x－y＋8＝0可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档11．直线mx＋ny＋3＝0在y轴上截距为－3，而且它的倾斜角是直线eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)倾斜角的2倍，则(　　)A．m＝－eq\r(3)，n＝1B．m＝－eq\r(3)，n＝－3C．m＝eq\r(3)，n＝－3D．m＝eq\r(3)，n＝112．过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,3)))与B(7,0)的直线l1与过点(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于(　　)A．－3B．3C．－6D．6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知l1：2x＋my＋1＝0与l2：y＝3x－1，若两直线平行，则m的值为________．14．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq\r(2)，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号)①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°．15．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．16．已知直线l经过点E(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，则直线l的方程为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为x＋y＋1＝0及3x－4＝0，其对角线的交点是D(3,3)，求另两边所在的直线的方程．18．(12分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．若点A(5,0)到l的距离为3，求直线l的方程．19．(12分)已知△ABC的两条高线所在直线方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A(1,2)．求(1)BC边所在的直线方程；(2)△ABC的面积．可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档20．(12分)如图，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．21．(12分)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1m2)．22．(12分)三角形ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|．求证：△ABC为等腰三角形．可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档第三章　直线与方程(A)答案1．A　[利用斜率公式k＝eq\f(2＋\r(3)－2,4－1)＝eq\f(\r(3),3)＝tanθ，可求倾斜角为30°．]2．B　[当两直线平行时有关系eq\f(a,3)＝eq\f(2,－1)≠eq\f(2,－2)，可求得a＝－6．]3．D　[α＝90°时，斜率不存在．∴选D．]4．C5．D　[由kAB＝kAC得b＝－9．]6．D　[当截距均为0时，设方程为y＝kx，将点(3，－4)代入得k＝－eq\f(4,3)；当截距不为0时，设方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，将(3，－4)代入得a＝－1．]7．D8．A　[如图：kPB＝eq\f(3,4)，kPA＝－4，结合图形可知k≥eq\f(3,4)或k≤－4．]9．A　[垂足(1，c)是两直线的交点，且l1⊥l2，故－eq\f(a,4)·eq\f(2,5)＝－1，∴a＝10．l：10x＋4y－2＝0．将(1，c)代入，得c＝－2；将(1，－2)代入l2：得b＝－12．则a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4．]10．A11．D　[依题意－eq\f(3,n)＝－3，－eq\f(m,n)＝tan120°＝－eq\r(3)，∴m＝eq\r(3)，n＝1．故选D．]12．B　[由题意知l1⊥l2，∴kl1·kl2＝－1．即－eq\f(1,3)k＝－1，k＝3．]13．－eq\f(2,3)14．①⑤解析　两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0之间的距离为eq\f(|3－1|,\r(2))＝eq\r(2)．又动直线被l1与l2所截的线段长为2eq\r(2)，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．15．－eq\f(2,3)解析　设P(x,1)则Q(2－x，－3)，将Q坐标代入x－y－7＝0得，2－x＋3－7＝0．∴x＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝－eq\f(2,3)．16．4x＋2y－8＝0解析　设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1．由题意，得eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，①可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档eq\f(1,2)ab＝4．②联立①，②，得a＝2，b＝4．∴l的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,4)＝1，即4x＋2y－8＝0．17．解　由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1＝0，,3x－y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,4)，,y＝\f(1,4)，))即平行四边形给定两邻边的顶点为为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，\f(1,4)))．又对角线交点为D(3,3)，则此对角线上另一顶点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)，\f(23,4)))．∵另两边所在直线分别与直线x＋y＋1＝0及3x－y＋4＝0平行，∴它们的斜率分别为－1及3，即它们的方程为y－eq\f(23,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(29,4)))及y－eq\f(23,4)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(29,4)))，∴另外两边所在直线方程分别为x＋y－13＝0和3x－y－16＝0．18．解　方法一　联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0))得交点P(2,1)，当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，∴eq\f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(4,3)，∴l的方程为y－1＝eq\f(4,3)(x－2)，即4x－3y－5＝0．当直线斜率不存在时，直线x＝2也符合题意．∴直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2．方法二　经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴eq\f(|52＋λ－5|,\r(2＋λ2＋1－2λ2))＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或eq\f(1,2)，∴直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2．19．解　(1)∵A点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设kAB＝－eq\f(3,2)，kAC＝1．∴AB、AC边所在的直线方程为3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－7＝0,x＋y＝0))得B(7，－7)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0,2x－3y＋1＝0))得C(－2，－1)．∴BC边所在的直线方程2x＋3y＋7＝0．(2)∵|BC|＝eq\r(117)，A点到BC边的距离d＝eq\f(15,\r(13))，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×d×|BC|＝eq\f(1,2)×eq\f(15,\r(13))×eq\r(117)＝eq\f(45,2)．20．解　设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－8,2)，\f(y0＋2,2)))，由条件可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－5y0＋8＝0,\f(x0－8,2)＋2·\f(y0＋2,2)－5＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－5y0＋8＝0,x0＋2y0－14＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝6,y0＝4))，即B(6,4)，同理可求得C点的坐标为(5,0)．故所求直线BC的方程为eq\f(y－0,4－0)＝eq\f(x－5,6－5)，即4x－y－20＝0．21．解　在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线划出一块长方形土地，以BC，EA的交点为原点，以BC，EA所在的直线为x，y轴，建立直角坐标系，则AB的方程为可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档eq\f(x,30)＋eq\f(y,20)＝1，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，20－\f(2x,3)))，则长方形的面积S＝(100－x)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(80－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(2x,3)))))(0≤x≤30)．化简得S＝－eq\f(2,3)x2＋eq\f(20,3)x＋6000(0≤x≤30)．当x＝5，y＝eq\f(50,3)时，S最大，其最大值为6017m2．22．证明　作AO⊥BC，垂足为O，以BC边所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系，如右图所示．设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由两点间距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)·(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即c＝－b，所以△ABC为等腰三角形．.