《完美长方形》PPT课件

完美長方形葉芳如曾冠霖劉俊言製作傅淑婷老師指導壹、研究動機　　七年級下學期時，老師曾經讓我們觀摩以前的科展作品「完美正方形」，我們對此很有興趣，決定著手研究相關的問題：將原本的正方形拼正方形改成用正方形拼長方形，試觀察結果的變化與奧妙。貳、研究目的　　「完美長方形」是指，將一個邊長為整數的長方形切割成不同大小、邊長為整數的正方形，且這些切割出的正方形，均不能全等。而我們的研究，則放寬條件，允許每一種同樣大小的正方形不超過兩個，試看哪些長與寬有解？如果有解，結果又是否有奇特之處？參、研究過程一、我們決定用土法鍊鋼的方式，做完20×20　　以內的長方形。　※圖裡正方形內的數字為其邊長※正方形暫不列入考慮之中　　寬為1的有一種：1×2　　寬為2的有四種：2×1，2×3，2×4，2×5　　寬為3的有四種：3×2，3×5，3×6，3×8　　寬為4的有三種：4×2，4×6，4×8　　寬為5的有四種：5×2，5×3，5×7，5×8　　寬為6的有四種：6×3，6×4，6×7，6×9　寬為7的有三種：7×5，7×6，7×8　寬為8的有五種：8×3，8×4，8×5，8×7，8×9　　　　　　寬為9的有兩種：9×6，9×8　寬為10的有十種：10×4，10×5，10×6，10×9，10×11，10×14，10×15，10×16，10×19，10×20　　　　　　　　　　　寬為11的有六種：11×8，11×10，11×12，11×13，　　　　　　　　11×15，11×19　寬為12的有十二種：12×5，12×6，12×7，12×8，12×11，12×13，12×14，12×15，12×17，12×18，12×19，12×20　　　　　　　　　　　寬為13的有十一種：13×5，13×6，13×7，13×8，13×11，13×12，13×16，13×17，　　　　　　　　　　13×18，13×19，13×20　寬為14的有五種：14×7，14×10，14×12，14×16，　　　　　　　　　14×17　寬為15的有八種：15×6，15×9，15×10，15×11，　　　　　　　　　15×12，15×17，15×19，15×20　寬為16的有八種：16×6，16×8，16×10，16×13，　　　　　　　　　16×14，16×17，16×18，16×19　寬為17的有六種：17×12，17×13，17×14，17×15，　　　　　　　　　17×16，17×20　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　寬為18的有六種：18×9，18×12，18×13，18×16，　　　　　　　　　18×19，18×20　寬為19的有十一種：19×6，19×7，19×8，19×9，　　　　　　　　　　19×10，19×11，19×12，　　　　　　　　　　19×13，19×15，19×16，19×18　寬為20的有七種：20×8，20×10，20×12，20×13，　　　　　　　　　20×15，20×17，20×18二、（一）根據土法煉鋼的方式，我們發現當長方　　　形的長、寬差距太大時，就一定拼不出　　　來，所以，我們假設寬為b，尋找對應　　　長a的限制範圍。三、我們在做2020的完美長方形，發現很多長方形是由一邊長為a、b的完美長方形擴展出的，即是在a、b邊上加上邊長相等的正方形。例如：或（三）我們利用excel運算，在上中分別代入　　　a、b的值，得到很多擴展的解。　　　舉例如下：四、我們在一個偶然的情況下，看到一個奇妙的對稱矩形，於是決定從對稱研究。134654651先將中間的正方形邊長設為x，兩旁則是對稱的矩形邊長為1的正方形：接下來，我們將上面的想法延伸因x+3+1=x+(x+1)解出x=3邊長為15×11接著，考慮將上圖中邊長為1的正方形改為2：發現只是把原來的圖形全部放大2倍因x+6+2=x+(x+2)解出x=6邊長為30×22(二)考慮將1個邊長為x的正方形放中間，改　　變兩個邊長為1的正方形的位置，可以　　拼成下列圖形：共有7種拼法(翻轉、鏡射的不算)其中，找到有解的僅以下兩組：邊長為8×5，22×13第一個：第二個：x-2+x-3=xx=5邊長8×5紅線=2(x-3)=x+2x=8邊長22×13（三）接下來，我們將中間的圖形改為兩個邊長為x的正方形，將2個邊長為x的正方形放中間，改變兩個邊長為1的正方形的位置，可以拼成下列圖形：共有23種拼法(翻轉、鏡射的不算)x-2=2x=4邊長為7×81.2.x-3=2x=5邊長為5×13x+3=2x-2x=5邊長為13×223.x+4=2x-2x=6邊長為16×194.5.(x+4)/2=2x-2x+4=4x-4x=8/3利用前面倍數的性質，我們將整張圖乘以3倍，以得到整數邊長，得到x=8，邊長為28×2733(x+6)/2=2x-1，x+6=4x-2，x=8/3利用前面倍數的性質，我們將整張圖乘以3倍，以得到整數邊長，得到x=8，邊長為34×236.337.x+3=3xx=3/2利用前面倍數的性質，我們將整張圖乘以2倍，以得到整數邊長，得到x=3，邊長為21×16五、我們重新檢視2020以內的所有完美長方形，發現1517的圖形其實是610的擴展。(一)設原來有一完美長方形邊長為x、y，上圖中的小正方形邊長為z，將每個正方形邊長列出如下：可列式y-3z=x+z化簡可得y=x+4z得知當原來完美長方形邊長為(x+4z)(x)時，可將圖形加大為(2x+5z)(2x+3z)。利用excel表格，將所有符合條件(x+4z)(x)的長方形套入公式，得到可以放大的邊長(2x+5z)(2x+3z)列表如下：(二)我們繼續改變小正方形的位置，例如以下方式：按照上面的方式列式，假設原邊長為x、y，圖中的小正方形邊長為z可列式y-4z=x+2z化簡可得y=x+6z得知當原來完美長方形邊長為(x+6z)(x)時，可將圖形加大為(2x+8z)(2x+5z)利用excel表格，將所有符合條件(x+6z)(x)的長方形套入公式，得到可以放大的邊長(2x+8z)(2x+5z)列表如下：(三)我們繼續改變小正方形的位置，例如以下方式：按照上面的方式列式，假設原邊長為x、y，圖中的小正方形邊長為z可列式y-4z=x+z化簡可得y=x+5z得知當原來完美長方形邊長為(x+5z)(x)時，可將圖形加大為(3x+7z)(2x+3z)利用excel表格，將所有符合條件(x+5z)(x)的長方形套入公式，得到可以放大的邊長(3x+7z)(2x+3z)列表如下：肆、研究結果一、綜合土法鍊鋼的表格，我們可將一個長方形藉由以下方法檢視：令長方形兩邊為a和b，且a>b，a減去一倍或兩倍的b看是否已進入2020以內的範圍，若無，則重複相減動作至進入範圍為止。對照表格，推知結果。二、我們發現當長方形的長、寬差距太大時，就一定拼不出來。長寬a、b的關係式：三、我們發現一完美長方形在同樣的正方形不超過兩個的情況下，可以作無限的擴展。擴展方式即是在原來的長寬上再加上一個至兩個邊長相等的正方形。四、　（一）我們將1個邊長為x的正方形放中間，　　　　改變兩個邊長為1的正方形的位置，　　　　列式解出邊長，有解的有兩組，邊長　　　　為8×5，22×13。　（二）我們將2個邊長為x的正方形放中間，　　　　改變兩個邊長為1的正方形的位置，　　　　列式解出邊長，有解的有七組，邊長為　　　　7×8，5×13，13×22，16×19，28×27，　　　　34×23，21×16。五、我們將已知的完美長方形作擴展，發現當原長為y，寬為x，且y為x+4z時，可擴大為(2x+5z)(2x+3z)的完美長方形；當原長為y，寬為x，且y為x+6z時，可擴大為(2x+8z)(2x+5z)的完美長方形；當原長為y，寬為x，且y為x+5z時，可擴大為(3x+7z)(2x+3z)的完美長方形。我們並且利用excel表格得到可以放大的邊長。伍、參考資料一、迷宮‧黃金比‧索馬立方體　　　天下文化出版社p.218二、第45屆全國科展「完美正方形」陸、附錄謝謝觀賞！x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E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