概率论第三版第2章答案详解

第二章作业解:2.1掷一颗匀称的骰子两次,以X示前后两次出现的点数之和,求X的概率分布,并验证其满足(2.2.2)式.解：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格知X的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。并且，P(X2)P(X12)13)P(X11)2；P(X；3636P(X4)P(X10)35)P(X9)4；P(X；36365；P(X7)6。P(X6)P(X8)3636即P(Xk)6|7k|k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)36(2.2设离散型随机变量的概率分布为{k}aek,k1,2,试确定常数a.PX解：根据P(Xk)1，得aek1，即ae11。k0k01e1故ae12.3甲、乙两人投篮时,命中率分别为0.7和0.4,今甲、乙各投篮两次,求下列事件的概率：两人投中的次数相同;(2)甲比乙投中的次数多.解：分别用Ai,Bi(i1,2)表示甲乙第一、二次投中，则P(A1)P(A2)0.7,P(A1)P(A2)0.3,P(B1)P(B2)0.4,P(B1)P(B2)0.6,两人两次都未投中的概率为：P(A1A2B1B2)0.30.30.60.60.0324，两人各投中一次的概率为：P(A1A2B1B2)P(A1A2B2B1)P(A2A1B1B2)P(A1A2B2B1)40.70.30.40.60.2016两人各投中两次的概率为：P(A1A2B1B2)0.0784。所以：（1）两人投中次数相同的概率为0.03240.20160.07840.3124甲比乙投中的次数多的概率为：P(A1A2B1B2)P(A1A2B2B1)P(A1A2B1B2)P(A1A2B1B2)P(A1A2B1B2)20.490.40.60.490.3620.210.360.56282.4设离散型随机变量X的概率分布为P{Xk}k,k1,2,3,4,5，求15(1)P(1X3)(2)P(0.5X2.5)解：(1)P(1X3)12321515155121(2)P(0.5X2.5)P(X1)P(X2)15155X的概率分布为12.5设离散型随机变量P{Xk}2k,k1,2,3,,，求(1)P{X2,4,6};(2)P{X3}解：(1)P{X2,4,6}1111(1111222426222224)13(2)P{X3}1P{X1}P{X2}42.6设事件A在每次试验中发生的概率均为0.4,当A发生3次或3次以上时,指示灯发出信号,求下列事件的概率：(1)进行4次独立试验,指示灯发出信号;(2)进行5次独立试验,指示灯发出信号.解：(1)P(X3)P(X3)P(X4)C430.430.60.440.1792(2)P(X3)P(X3)P(X4)P(X5)C530.430.62C540.440.60.450.31744.2.7某城市在长度为t(单位：小时)的时间间隔内发生火灾的次数X服从参数为0.5t的泊松分布,且与时间间隔的起点无关,求下列事件的概率：某天中午12时至下午15时未发生火灾;(2)某天中午12时至下午16时至少发生两次火灾.k0.531.5,k0，所求事件的概率为e1.5.解：(1)P(Xk)e，由题意，k!0(2)P(X2)10!ee1ee,由题意，0.541.5，所求事1!件的概率为13e2.2.8为保证设备的正常运行,必须配备一定数量的设备维修人员.现有同类设备180台,且各台设备工作相互独立,任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员,才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备名设备维修人员。又设发生故障的设备数为，则X~B(180,0.01)。mX依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即P(Xm)0.99，也即P(Xm1)0.01因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为1800.011.8的泊松分布。查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。故应至少配备6名设备维修人员。2.9某种元件的寿命X(单位：小时)的概率密度函数为：1000f(x)x2,x10000,x1000求5个元件在使用1500小时后,恰有2个元件失效的概率。解：一个元件使用1500小时失效的概率为150010001000P(1000X1500)x2dxx10001500100013设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则Y~B(5,1)。所求的概率为3P(Y2)C52(1)2(2)380。332432.10设某地区每天的用电量X(单位：百万千瓦时)是一连续型随机变量,概率密度函数为：12x(1x)2,0x1,f(x)0,其他假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦时,求该地区每天供电量不足的概率.若每天的供电量上升到90万千瓦时,每天供电量不足的概率是多少?解：求每天的供电量仅有80万千瓦时,该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区用电量超过80万千瓦时（亦即X0.8百万千瓦时）的概率：XP(X0.8）=1-P(X0.8）=1-0.810.8x)2dxf(x)dx12x(101(6x28x33x4)00.80.0272若每天的供电量上升到90万千瓦时,每天供电量不足的概率为：P(X0.910.9x)2dx0.9）=1-P(X0.9）=1-f(x)dx12x(101(6x28x33x4)00.90.00372.11设随机变量K~U(2,4),求方程x22Kx2K30有实根的概率.解：方程x22Kx2K30有实根，亦即4K28K124(K3)(K1)0,显然，当K3K1时，方程x22Kx2K30有实根；又由于K~U(2,4),所求概率为：1(2)431。4(2)32.12某型号的飞机雷达发射管的寿命(单位：小时)服从参数为0.005的指数分布,求下X列事件的概率：发射管寿命不超过100小时;发射管的寿命超过300小时;一只发射管的寿命不超过100小时,另一只发射管的寿命在100至300小时之间.解：(1)发射管寿命不超过100小时的概率：P(X100)1000.005xdxe0.005x1001e0.5=0.390.005e00发射管的寿命超过300小时的概率：P(X300)1P(x300)1(1e1.5)e1.50.223一只发射管的寿命不超过100小时,另一只发射管的寿命在100至300小时之间.(1e0.5)(e0.5e1.5)0.15。2.13设每人每次打电话的时间(单位：分钟)服从参数为0.5的指数分布.求282人次所打的电话中,有两次或两次以上超过10分钟的概率.解：设每人每次打电话的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为P(X10)0.5e0.5xdxe0.5xe51010又设282人中打电话超过10分钟的人数为，则~(282,5)Y。YBe因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为282e51.9的泊松分布。所求的概率为P(Y2)1P(Y0)P(Y1)1e1.91.9e1.912.9e1.90.566252.14某高校女生的收缩压X(单位：毫米汞柱)服N(110,122),求该校某名女生：收缩压不超过105的概率;收缩压在100至120之间的概率.解：(1)P(X105)(105110)(0.42)1(0.42)1210.66280.3372(2)P(100X120)(120110)(100110)1212(0.83)(0.83)2(0.83)120.796710.5934。2.15公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01的,设成年男性的身高X(单位：厘米)服从正态分布N(170，622),问车门的最低高度应为多少?解：设车门高度分别为x。则：P(Xx)10.010.99(x170)0.99，因此x1706查表得，(2.33)2.33，由此求得车门的最低高度应为184厘米。62.16已知20件同类型的产品中有2件次品,其余为正品.今从这20件产品中任意抽取4次,每次只取一件,取后不放回.以X表示4次共取出次品的件数,求X的概率分布与分布函数.解：X的可能取值为0,1,2。因为P(X0)1817161512,；P(X2)C1823；2019181719C20495P(X1)112332199595所以X的分布律为X012P12323199595的分布函数为0x01219F(x)92950x11x21x22.17袋中有同型号小球5只,编号分别为1,2,3,4,5.今在袋中任取小球3只,以X表示取出的3只中的最小号码,求随机变量X的概率分布和分布函数.解：X的可能取值为1,2,3。C4260.6；11因为P(X1)；10P(X3)0.1C53C5310P(X2)10.60.10.3所以X的分布律为X123P0.60.30.1的分布函数为x10.61x2F(x)0.92x31x32.18设连续型随机变量X的分布函数为：0,x1,F(x)lnx,1xe,1,xe求（1）P{X2}，P{0X3}，P{2X2.5}.（2）求X的概率密度函数f(x)。解：(1)P(X2)F(2)ln2P(0X3)F(3)F(0)101P(2X2.5)F(2.5)F(2)ln2.5ln2ln1.25x11xe(2)f(x)F(x)其它2.19设连续型随机变量X的分布函数为：x2abe2,x0,F(x)0,x0.（1）求常数a,b（2）求X的概率密度函数f(x)。（3）求P{ln4Xln16}.解：(1)由F()1及limF(x)F(0)a1，得，故a=1,b=-1.x0ab0x2(2)f(x)F(x)xe2x00x0(3)P(ln4Xln16)F(ln16)F(ln4)ln16ln41(1e2)(1e2)0.25。42.20设随机变量X的概率分布为：X03220.30.20.40.1pk解：(1)Y的可能取值为0,π2,4π2。因为P(Y0)P(X)0.2；2(2)(X0)()0.7；PYPPXP(Y42)P(X3)0.1所以Y的分布律为2Y0π24π2P0.20.70.1Y的可能取值为-1,1。因为P(Y1)P(X0)P(X)0.7；P(Y1)P(X)P(X3)0.322所以Y的分布律为Y-11P0.70.32.21设随机变量X的分布函数为0x10.31x1F(x)1x20.81x2（1）求X的概率分布；（2）求YX的概率分布。解：(1)X的可能取值为()的分界点，即-1,1,2。Fx因为P(X1)0.3；P(X1)0.80.30.5；P(X2)10.80.2所以X的分布律为X-112P0.30.50.2Y的可能取值为1,2。因为P(Y1)P(X1)P(X1)0.8；P(Y2)P(X2)0.2所以Y的分布律为Y12P0.80.22.22设随机变量X~N(0,1)，求下列随机变量Y概率密度函数：（1）Y2X1;（2）YeX；(3)YX2.1x2解：(1)已知fX(x)e22因为FY(y)P(Yy)P(2X1y)P(Xy1)FX(y1)22求导得fY(y)y21y11y1)fX()(2)2fX(2(y12)11222e2(y1)21e822所以Y参数分别为-1,22服从正态分布。1x2(2)已知fX(x)e22FY(y)P(Yy)P(eXy)P(Xlny)因为t2lnye2P(Xlny)1P(Xlny)1FX(lny)1dt211ln2xe2,y0fY(y)y2求导得0,y0;1x2(3)已知fX(x)e22F(y)P(Yy)P(X2y)P(yXy)YFX(y)FX(y)1ye2,y0fY(y)2y求导得0,y0;1x2.23解：(1)已知fX(x)00其他yyFY(y)P(Yy)P(2lnXy)P(Xe2)FX(e2)yy1yy求导得fY(y)fX(e2)(e2)e2fX(e2)2yy1y因为当0e2，即y2ln时，fX(e2)；当y取其他值时fX(e2)0。y12所以fY(y)2ey2ln为所求的密度函数。其他二、第二章定义、定理、公式、公理小结及补充：（1）离散设离散型随机变量Xk)且取各个值的概率，即事的可能取值为X(k=1,2,型随机变件(X=Xk)的概率为量的分布P(X=xk)=pk，k=1,2,，X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形律则称上式为离散型随机变量式给出：X|x1,x2,,xk,P(Xx)p,p,,p,k12k。显然分布律应满足下列条件：k0，k1,2,，pk1（1）p（2）k1。（2）连续设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有型随机变F(x)x量的分布f(x)dx，密度则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1°f(x)0。2°f(x)dx1。（3）离散P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx与连续型随机变量积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)pk在离的关系散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布设X为随机变量，x是任意实数，则函数函数F(x)P(Xx)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)F(b)F(a)可以得到X落入区间(a,b]的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。分布函数具有如下性质：1°0F(x)1,x；2°F(x)是单调不减的函数，即x1x2时，有F(x1)F(x2)；3°F()limF()0，F()limF(x)1；xxx4°F(x0)F(x)，即F(x)是右连续的；5°P(Xx)F(x)F(x0)。对于离散型随机变量，F(x)pk；xkxx对于连续型随机变量，F(x)f(x)dx。（5）八大0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q分布二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,,n。P(Xk)Pn(k)Cnkpkqnk，其中q1p,0p1,k0,1,2,,n，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为X~B(n,p)。当n1时，P(Xk)pkq1k，k0.1，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布超几何分布几何分布均匀分布设随机变量X的分布律为kP(Xk)e，0，k0,1,2，k!则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X~()或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。knkk0,1,2,lP(Xk)CMCNM,min(M,n)CNnl随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。P(Xk)qk1p,k1,2,3,，其中p≥0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f(x)在[a，b]1上为常数，即ba1,a≤x≤bf(x)ba0,其他，则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。分布函数为0，xb。当a≤x1