整体分析及总体刚度矩阵的性质

整体分析及总体刚度矩阵的性质整体分析图示结构的网格共有四个单元和六个节点。在节点1、4、6共有四个支杆支承。结构的载荷已经转移为结点载荷。整体分析的四个步骤：1、建立整体刚度矩阵；2、根据支承条件修改整体刚度矩阵；3、解方程组，求节点位移；4、根据节点位移求出应力。单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成结构，进行整体分析。整体分析1、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵)上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量和12个节点力分量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时，转换关系为：分块形式为：其中子向量和都是二阶向量，子矩阵是二行二列矩阵。整体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵。整体分析2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。建立整体刚度矩阵时，每个节点的位移当作未知量看待，没有考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以处理。在上图的结构中，支承条件共有四个，即在节点1、4、6的四个支杆处相应位移已知为零：建立节点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。3、解方程组，求出节点位移。通常采用消元法和迭代法两种方法。4、根据节点位移求出应力。整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。1、刚度集成法的物理概念：刚度矩阵中的元素，即由节点作单位位移时引起的节点力。在单元刚阵中，示j节点单位位移，其他节点位移为零时，单元e在i节点引起的节点力；类似，在整体刚阵中，表示j节点单位位移，其他节点位移为零时，整体结构在i节点引起的节点力（由于结构已被离散为一系列单元，即所有与i、j节点相关的单元在i节点引起的节点力之和）。如上图结构，计算时，与节点2和3相关的单元有单元①和③，当节点3发生单位位移时，相关单元①和③同时在节点2引起节点力，将相关单元在节点2的节点力相加，就得出结构在节点2的节点力。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块的集成。整体刚度矩阵的形式2、刚度矩阵的集成规则：1）在整体离散结构变形后，应保证各单元在节点处仍然协调地相互连接，即在该节点处所有单元在该节点上有相同位移，2）整体离散结构各节点应满足平衡条件。即环绕每个节点的所有单元作用其上的节点力之和应等于作用于该节点上的节点载荷Ri，整体刚度矩阵的形式 2、整体刚度矩阵的集成方法 具体集成方法是：先对每个单元求出单元刚度矩阵，然后将其中的每个子块送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵[K]的子块，从而得出结构刚度矩阵[K]。 关键是如何找出中的子块在[K]中的对应位置。这需要了解单元中的节点编码与结构中的节点编码之间的对应关系。整体刚度矩阵的形式结构中的节点编码称为节点的总码，各个单元的三个节点又按逆时针方向编为i,j,m,称为节点的局部码。单元刚度矩阵中的子块是按节点的局部码排列的，而结构刚度矩阵中的子块是按节点的总码排列的。因此，在单元刚度矩阵中，把节点的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新排列。整体刚度矩阵的形式以单元②为例，局部码i,j,m对应于总码5,2,4，因此子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵为：而相应的单元刚度方程为（或节点力表达式）：整体刚度矩阵的形式 用同样的方法可得出其他单元的扩大的单元刚度方程: 据节点力平衡，各个单元相应节点力叠加： 整理可得，整体平衡方程：整体刚度矩阵的形式整体平衡方程：1）其中[K]为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩阵：集成包含搬家和迭加两个环节：A、将单元刚度矩阵中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵。B、将各单元的扩大刚度矩阵迭加，得出结构刚度矩阵[K]。2）为节点载荷向量，为节点位移向量。2.整体刚度矩阵的特点在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。1、对称性。只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。2、稀疏性。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。整体刚度矩阵的特点2、稀疏性。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。节点5只与周围的六个节点(2、3、4、6、8、9)用三角形单元相连，它们是5的相关节点。只有当这七个相关节点产生位移时，才使该节点产生节点力，其余节点发生位移时并不在该节点处引起节点力。因此，在矩阵[K]中，第5行的非零子块只有七个(即与相关节点对应的七个子块)。整体刚度矩阵的特点2、稀疏性。一般，一个节点的相关结点不会超过九个，如果网格中有200个节点，则一行中非零子块的个数与该行的子块总数相比不大于9/200，即在5%以下，如果网格的节点个数越多，则刚度矩阵的稀疏性就越突出。利用矩阵[K]的稀疏性，可设法只存贮非零元素，从而可大量地节省存贮容量。整体刚度矩阵的特点3、带形分布规律。上图中，矩阵[K]的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中(包括对角线元素在内)，每行具有的元素个数叫做半带宽，用d表示。半带宽的一般计算公式是：半带宽d=(相邻结点码的最大差值+1)*2上图中相邻节点码的最大差值为4，故d=(4+1)*2=10利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的元素，叫半带存贮。整体刚度矩阵的特点图(a)中的矩阵[K]为n行n列矩阵，半带宽为d。半带存贮时从[K]中取出上半带元素，按图(b)中的矩阵的排列方式进行存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量n*d，存贮量与[K]中元素总数之比为d/n，d值越小，则存贮量约省。整体刚度矩阵的特点同一网格中，如果采用不同的节点编码，则相应的半带宽d也可能不同。如图，是同一网格的三种节点编码，相邻节点码的最大差值分别为4、6、8，半带宽分别为10、14、18。因此，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带宽，从而节省存贮容量。此课件下载可自行编辑修改，供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！