2021-2022学年北京人大附中分校九年级(下)限时练习数学试卷(4)(附答案详解)

好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》2021-2022学年北京人大附中分校九（下）限时练习数学试卷（4）1.冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办.下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为()A.B.C.D.2.据《央视网》2021年10月26日报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”.截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，将数字0.00000023用科学记数法表示应为()A.2.3×10−6B.2.3×10−7C.0.23×10−6D.23×10−83.小明想在2个“冰墩墩”和1个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是()A.1B.1C.2D.123364.大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10ᵅᵅ，像距为15ᵅᵅ，蜡烛火焰倒立的像的高度是6ᵅᵅ，则蜡烛火焰的高度是()A.3ᵅᵅB.4ᵅᵅC.6ᵅᵅD.9ᵅᵅ5.如图，∠ᵯ的顶点位于正方形网格的格点上，若ᵆ
ᵄᵅᵯ=2，则满足条件的∠ᵯ是()3谋事在人，成事在天！——《增广贤文》第1页，共26页先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。——范仲淹A.B.C.D.6.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为ᵅ的⊙ᵄ六等分，依次得到ᵃ，ᵃ，ᵃ，ᵃ，ᵃ，ᵃ六个分点；②分别以点ᵃ，ᵃ为圆心，ᵃᵃ长为半径画弧，ᵃ是两弧的一个交点；③连结ᵄᵃ．问：ᵄᵃ的长是多少？大臣给出的正确应是()A.√3ᵅB.(1+√2)ᵅC.(1+√3)ᵅD.√2ᵅ227.在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为ᵄ，篮框中心点为ᵄ，他可以选择让篮球在运行途中经过ᵃ，ᵃ，ᵃ，ᵃ四个点中的某一点并命中ᵄ，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是()先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。——范仲淹第2页，共26页海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐A.ᵄ→ᵃ→ᵄB.ᵄ→ᵃ→ᵄC.ᵄ→ᵃ→ᵄD.ᵄ→ᵃ→ᵄ8.如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的ᵃ处，需要步行到对于乙路口东北角ᵃ处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间与小宇的步行时间如下表所示：人行横道交通信号灯的切换时间小宇的步行时间甲路口每1ᵅᵅᵅ沿人行横道穿过一条马路0.5ᵅᵅᵅ乙路口每2ᵅᵅᵅ在甲、乙两路口之间(ᵃᵃ段)5ᵅᵅᵅ假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计．若小宇在ᵃ处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从ᵃ处到达ᵃ处所用的最短时间为()A.6.5ᵅᵅᵅB.7ᵅᵅᵅC.8ᵅᵅᵅD.9ᵅᵅᵅ9.若√1−ᵆ在实数范围内有意义，则实数ᵆ的取值范围是______．ᵆ2+310.如图是由哪个立体图形展开得到的______．11.如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架ᵃᵃ，ᵃᵃ与桌面构成如图2，已知ᵄᵃ=ᵄᵃ=ᵄᵃ=ᵄᵃ=20√3ᵅᵅ，∠ᵃᵄᵃ=60°，则点ᵃ到地面(ᵃᵃ所在的平面)的距离是______ᵅᵅ．百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。——汉乐府《长歌行》第3页，共26页天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《易经》12.斛是中国古代的一种量器．据《汉书⋅律历志》记载：“斛底，方而圜(ℎᵆáᵅ)其外，旁有庣(ᵆ
ᵅāᵅ)焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的边长为______尺．13.在同一平面直角坐标系ᵆᵄᵆ中，若函数ᵆ=ᵆ与ᵆ=ᵅ(ᵅ≠0)的图象有两个交点，则ᵆᵅ的取值范围是______．14.为了疫情防控工作的需要，枣庄某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ᵄᵃ=7.5米，学生身高ᵃᵃ=1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点ᵃ时测得摄像头ᵄ的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点ᵃ时测得摄像头ᵄ的仰角为60°，则体温监测有效识别区域ᵃᵃ的长是______.(结果保留根号)15.小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中，为区别口味，他打算制作“∗∗饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°(如图).已知该款圆柱形盒子底面半径为6ᵅᵅ，则标签长度ᵅ应为______ᵅᵅ.(ᵰ取3.1)16.为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一(9)班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备第4页，共26页云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名(没有并列)，对应名次的得分都分别为ᵄ，ᵄ，ᵅ(ᵄ>ᵄ>ᵅ且ᵄ，ᵄ，ᵅ均为正整数).选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，小奕同学第三轮的得分为______分．第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮最后得分小恩ᵄᵄ27小地ᵄᵄᵅ11小奕ᵅᵄ1017.计算：(1)−1+√18+|−2|−6ᵆᵅᵅ45°．33(ᵆ−1)<5ᵆ+118.解不等式组{，并求它的整数解．ᵆ−1≥2ᵆ−4219.如果ᵄ2+3ᵄ+1=0，求代数式(ᵄ2+9+6)⋅2ᵄ2的值．ᵄᵄ+320.下面是小晗同学的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：在△ᵃᵃᵃ中，ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃ平分∠ᵃᵃᵃ交ᵃᵃ于点ᵃ.求作：∠ᵃᵄᵃ，使∠ᵃᵄᵃ=∠ᵃᵃᵃ．作法：①分别以点ᵃ和点ᵃ为圆心，大于1ᵃᵃ的长为半径2作弧，两弧交于点ᵃ和点ᵃ，连接ᵃᵃ交ᵃᵃ于点ᵄ；②以点ᵄ为圆心，ᵄᵃ的长为半径云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》第5页，共26页丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。——《顾炎武》作⊙ᵄ；③在劣弧ᵃᵃ上任取一点ᵄ(不与点ᵃ、ᵃ重合)连接ᵃᵄ和ᵃᵄ.所以∠ᵃᵄᵃ=∠ᵃᵃᵃ.根据小玟设计的尺规作图过程．(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接ᵄᵃ、ᵄᵃ.∵ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃ平分∠ᵃᵃᵃ，∴ᵃᵃ⊥ᵃᵃ且ᵃᵃ=ᵃᵃ，(______)(填推理的依据)．∴ᵄᵃ=ᵄᵃ．∵ᵃᵃ是线段ᵃᵃ的垂直平分线，∴ᵄᵃ=______.(______)∴ᵄᵃ=ᵄᵃ.⊙ᵄ为△ᵃᵃᵃ的外接圆．∵点ᵄ在⊙ᵄ上，∴∠ᵃᵄᵃ=∠ᵃᵃᵃ(______)(填推理的依据)．21.已知关于ᵆ的一元二次方程ᵆ2−2ᵄᵆ+ᵄ2−1=0．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个根均为负数，求ᵄ的取值范围．22.如图，一次函数ᵆ=−ᵆ+2的图象与反比例函数1ᵆ=ᵅ的图象相交于ᵃ，ᵃ两点，点ᵃ的坐标为2ᵆ(2ᵅ,−ᵅ)．(1)求出ᵅ值并确定反比例函数的表达式；(2)请直接写出当ᵆ<ᵅ时，ᵆ的取值范围．2好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》第6页，共26页老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃23.如图，在△ᵃᵃᵃ中，ᵃ为ᵃᵃ边上一点、ᵃ为ᵃᵃ的中点，过点ᵃ作ᵃᵃ//ᵃᵃ交ᵃᵃ的延长线于点ᵃ，连结ᵃᵃ．(1)求证：四边形ᵃᵃᵃᵃ为平行四边形．(2)若ᵃᵃ=2√2，∠ᵃᵃᵃ=30°，∠ᵃᵃᵃ=45°，求ᵃᵃ的长．24.如图，△ᵃᵃᵃ中，ᵃᵃ=ᵃᵃ，点ᵃ为ᵃᵃ上一点，且ᵃᵃ=ᵃᵃ，过ᵃ，ᵃ，ᵃ三点作⊙ᵄ，ᵃᵃ是⊙ᵄ的直径，连结ᵃᵃ．(1)求证：ᵃᵃ是⊙ᵄ的切线；(2)若ᵆᵅᵅᵃ=4，ᵃᵃ=6，求⊙ᵄ的直径．525.为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成ᵃ、ᵃ两组，每组100只，其中ᵃ组白鼠给服甲离子溶液，ᵃ组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同，经过一段老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃第7页，共26页穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比．按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如表：离子残百分比2.5～3.53.5～4.54.5～5.55.5～6.56.5～7.57.5～8.5分组给服甲离子白鼠(1827302212只数)给服乙离子白鼠(5ᵄ15ᵄ2015只数)(注：表中ᵃ～表示实验数据ᵆ的范围为ᵃ≤ᵆ<ᵃ)1ᵃ212若记ᵃ为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到ᵄ(ᵃ)的估计值为0.70．(1)ᵄ=______；ᵄ=______．(2)实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：(3×0.01)+(4×0.08)+(5×0.27)+(6×0.30)+(7×0.22)+(8×0.12)=6.00，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值；(3)甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．离子残百分比中位数众数方差分组给服甲离子白鼠的实验组5.96.01.38给服乙离子白鼠的实验组6.36.21.826.在平面直角坐标系ᵆᵄᵆ中，已知抛物线ᵆ=−ᵆ2+2ᵅᵆ−ᵅ2+4．(1)将ᵆ=−ᵆ2+2ᵅᵆ−ᵅ2+4写成ᵆ=ᵄ(ᵆ−ℎ)2+ᵅ的形式为______；(2)当−1≤ᵆ≤2时，求ᵆ=−ᵆ2+2ᵅᵆ−ᵅ2+4的最大值；(3)已知ᵃ(ᵅ−1,ᵆ)，ᵃ(3,ᵆ)是抛物线ᵆ=−ᵆ2+2ᵅᵆ−ᵅ2+4上两点．12①若ᵅ=0，比较ᵆ，的大小，并说明理由；1ᵆ2忍一句，息一怒，饶一着，退一步。——《增广贤文》第8页，共26页人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。——《顾炎武》②若ᵆ<ᵆ，求的取值范围．12ᵅ27.在△ᵃᵃᵃ中，∠ᵃᵃᵃ=90°，ᵃᵃ=ᵃᵃ，点ᵃ为线段ᵃᵃ上一点，将线段ᵃᵃ绕点ᵃ逆时针旋转90°，得到线段ᵃᵃ，连接ᵃᵃ．(1)①请补全图形；②写出ᵃᵃ，ᵃᵃ，ᵃᵃ之间的数量关系，并证明；(2)取ᵃᵃ中点ᵃ，连接ᵃᵃ、ᵃᵃ，猜想ᵃᵃ与ᵃᵃ的位置关系与数量关系，并证明．28.对于平面直角坐标系内的点ᵄ和点ᵄ，若点ᵄ能绕着点ᵄ旋转ᵯ°之后(0<ᵯ<180)，落在ᵆ轴上，则称ᵄ是ᵄ的转换点．(1)已知点ᵃ(2,1)．①如图，在ᵃ(4,2)，ᵃ(3,0)，ᵃ(2,−2)中，是ᵃ的转换点的是______；123②ᵄ(3,ᵅ)是点ᵃ的转换点，则ᵅ的取值范围是______；(2)已知直线ᵆ=3ᵆ+3上所有点都是ᵄ
(ᵆ
,0)的转换点，直接写出ᵆ
的取值范围．42百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。——汉乐府《长歌行》第9页，共26页志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》第10页，共26页云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》答案和解析1.【答案】ᵃ【解析】解：ᵃ、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：ᵃ．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】ᵃ【解析】解：0.00000023=2.3×10−7．故选：ᵃ．科学记数法的表示形式为ᵄ×10ᵅ的形式，其中1≤|ᵄ|<10，ᵅ为整数．确定ᵅ的值时，要看把原数变成ᵄ时，小数点移动了多少位，ᵅ的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，ᵅ是正整数；当原数的绝对值<1时，ᵅ是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为ᵄ×10ᵅ的形式，其中1≤|ᵄ|<10，ᵅ为整数，正确确定ᵄ的值以及ᵅ的值是解决问题的关键．3.【答案】ᵃ【解析】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的情况数，其中选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的有4种，则小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”额概率是4=2．63故选：ᵃ．画树状图，共有6种等可能的结果，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”结果有4种，再由概率公式求解即可非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮第11页，共26页勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4.【答案】ᵃ【解析】解：设蜡烛火焰的高度是ᵆᵅᵅ，由相似三角形的性质得到：10=ᵆ．156解得ᵆ=4．即蜡烛火焰的高度是4ᵅᵅ．故选：ᵃ．直接利用相似三角形的对应边成比例解答．本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．5.【答案】ᵃ【解析】解：ᵃ.观察图形可得ᵆ
ᵄᵅᵯ=3，不符合题意；2B.观察图形可得ᵆ
ᵄᵅᵯ=2，符合题意；3C.观察图形可得ᵆ
ᵄᵅᵯ=1，不符合题意；2D.观察图形可得ᵆ
ᵄᵅᵯ=1，不符合题意．3故选：ᵃ．根据正切的定义分别求出每个图形中的ᵯ的正切值可得答案．本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中的灵活应用是解题的关键．6.【答案】ᵃ【解析】【分析】本题考查作图−复杂作图，正多边形与圆的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中档题．如图连接ᵃᵃ，ᵃᵃ，ᵃᵃ，ᵃᵃ，在直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图连接ᵃᵃ，ᵃᵃ，ᵃᵃ，ᵃᵃ．云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》第12页，共26页穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》∵ᵃᵃ是⊙ᵄ直径，∴∠ᵃᵃᵃ=90°，在ᵄᵆ
△ᵃᵃᵃ中，ᵃᵃ=2ᵅ，∠ᵃᵃᵃ=30°，∴ᵃᵃ=√3ᵅ，∵ᵃᵃ=ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵄᵃ=ᵄᵃ，∴ᵄᵃ⊥ᵃᵃ，∴∠ᵃᵄᵃ=90°，∴ᵄᵃ=√ᵃᵃ2−ᵄᵃ2=√(√3ᵅ)2−ᵅ2=√2ᵅ，故选：ᵃ．7.【答案】ᵃ【解析】解：ᵃ，ᵃ两点，横坐标相同，而ᵃ点的纵坐标大于ᵃ点的纵坐标，显然，ᵃ点上升阶段的水平距离长；ᵃ，ᵃ两点，纵坐标相同，而ᵃ点的横坐标小于ᵃ点的横坐标，等经过ᵃ点的篮球运行到与ᵃ点横坐标相同时，显然在ᵃ点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知ᵃ点路线优于ᵃ点路线，综上：ᵄ→ᵃ→ᵄ是被“盖帽”的可能性最大的线路．故选：ᵃ．分类讨论投篮线路经过ᵃ，ᵃ，ᵃ，ᵃ四个点时篮球上升阶段的水平距离求解．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．8.【答案】ᵃ【解析】解：由已知得：0.5+0.5+0.5+5+0.5=7(ᵅᵅᵅ)故选：ᵃ．(1)甲路口出发向北走0.5ᵅᵅᵅ(2)等红灯0.5ᵅᵅᵅ(3)向东走0.5ᵅᵅᵅ(4)走过ᵃᵃ5ᵅᵅᵅ常将有日思无日，莫待无时思有时。——《增广贤文》第13页，共26页非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮(5)乙路口向东走0.5ᵅᵅᵅ本题考查有理数的加法运算．9.【答案】ᵆ≤11−ᵆ≥0【解析】解：由题意可得{，ᵆ2+3≠0解得：ᵆ≤1，故答案为：ᵆ≤1．根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)，分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．10.【答案】三棱柱【解析】解：如图，是三棱柱的展开图，故答案为：三棱柱．根据三棱柱的特征进行分析解答．本题考查几何体的展开图，理解三棱柱的特征是解题关键．11.【答案】60【解析】解：连接ᵃᵃ，过点ᵃ作ᵃᵃ⊥ᵃᵃ，垂足为ᵃ，∵ᵄᵃ=ᵄᵃ，∠ᵃᵄᵃ=60°，∴△ᵃᵄᵃ是等边三角形，∴∠ᵄᵃᵃ=60°，在ᵄᵆ
△ᵃᵃᵃ中，ᵃᵃ=ᵄᵃ+ᵄᵃ=40√3ᵅᵅ，∴ᵃᵃ=ᵃᵃᵆᵅᵅ60°=40√3×√3=60(ᵅᵅ)，2∴点ᵃ到地面(ᵃᵃ所在的平面)的距离是60ᵅᵅ，故答案为：60．连接ᵃᵃ，过点ᵃ作ᵃᵃ⊥ᵃᵃ，垂足为ᵃ，先证明△ᵃᵄᵃ是等边三角形，从而求出∠ᵄᵃᵃ=60°，然后在ᵄᵆ
△ᵃᵃᵃ中，利用锐角三角函数进行计算即可解答．老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃第14页，共26页万两黄金容易得，知心一个也难求。——《曹雪芹》本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．12.【答案】√2【解析】解：如图，∵四边形ᵃᵃᵃᵃ为正方形，∴∠ᵃ=90°，ᵃᵃ=ᵃᵃ，∴ᵃᵃ为直径，∠ᵃᵃᵃ=45°，由题意得ᵃᵃ=2.5，∴ᵃᵃ=2.5−0.25×2=2，∴ᵃᵃ=√2ᵃᵃ=√2．2故答案为：√2．根据正方形性质确定△ᵃᵃᵃ为等腰直角三角形，ᵃᵃ为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径ᵃᵃ，求出ᵃᵃ，问题得解．本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．13.【答案】ᵅ>0ᵆ=ᵆ【解析】解：联立两解析式得：{ᵆ=ᵅ，ᵆ消去ᵆ得：ᵆ2−ᵅ=0，∵两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点，∴△=ᵄ2−4ᵄᵅ=4ᵅ>0，即ᵅ>0．故ᵅ的取值范围是ᵅ>0．故答案为：ᵅ>0．联立两函数解析式，消去ᵆ得到关于ᵆ的一元二次方程，由两函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点得到根的判别式大于0，列出关于ᵅ的不等式，求出不等式的解集即可得到ᵅ的范围．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌万两黄金容易得，知心一个也难求。——《曹雪芹》第15页，共26页忍一句，息一怒，饶一着，退一步。——《增广贤文》握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．14.【答案】4√3米【解析】解：根据题意可知：四边形ᵃᵃᵃᵃ和ᵃᵃᵃᵃ是矩形，ᵄᵃ=7.5米，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ=ᵃᵃ=1.5米，ᵃᵃ=ᵃᵃ，设ᵃᵃ=ᵆ，在ᵄᵆ
△ᵄᵃᵃ中，∵∠ᵄᵃᵃ=60°，∴∠ᵃᵄᵃ=30°，∴ᵄᵃ=2ᵃᵃ=2ᵆ，ᵄᵃ=√3ᵆ，∵∠ᵄᵃᵃ=30°，∴∠ᵃᵄᵃ=60°−30°=30°，∴ᵃᵃ=ᵃᵄ=2ᵆ，∵ᵄᵃ=ᵄᵃ+ᵃᵃ，∴√3ᵆ+1.5=7.5，解得：ᵆ=2√3，∴ᵄᵃ=2ᵆ=4√3(米)，答：体温监测有效识别区域ᵃᵃ的长为4√3米．故答案为：4√3米．首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．15.【答案】9.3【解析】解：标签长度ᵅ=90⋅ᵰ⋅6=3ᵰ=9.3(ᵅᵅ)，180故答案为：9.3．利用弧长公式求解即可．本题考查弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式ᵅ=ᵅᵰᵅ．18016.【答案】2【解析】解：由题意可得：(ᵄ+ᵄ+ᵅ)×6=27+11+10=48，∴ᵄ+ᵄ+ᵅ=8，∵ᵄ，ᵄ，ᵅ均为正整数，一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。——《增广贤文》第16页，共26页常将有日思无日，莫待无时思有时。——《增广贤文》若每轮比赛第一名得分ᵄ为4，则最后得分最高的为4×6=24<27，∴ᵄ必大于4，又∵ᵄ>ᵄ>ᵅ，∴ᵄ+ᵅ最小取3，∴4<ᵄ<6，∴ᵄ=5，ᵄ=2，ᵅ=1，∴小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二；小地同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三；又∵中第二轮比赛，小地第一，小奕第三，∴第二轮比赛中小恩第二，∴第三轮中小恩第一，小地第三，小奕第二，∴小奕的第三轮比赛得2分，故答案为：2．根据三维同学的最后得分情况列出关于ᵄ，ᵄ，ᵅ的等量关系式，然后结合ᵄ>ᵄ>ᵅ且ᵄ，ᵄ，ᵅ均为正整数确定ᵄ，ᵄ，ᵅ的值，从而确定小奕同学第三轮的得分．本题考查方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键．17.【答案】解：原式=3+3√2+2−6×√22=3+3√2+2−3√2=5．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．3(ᵆ−1)<5ᵆ+1 ①18.【答案】解：{，ᵆ−1≥2ᵆ−4 ②2由①得：ᵆ>−2，由②得：ᵆ≤7，3∴不等式组的解为−2<ᵆ≤7，3∴其整数解为：ᵆ=−1，0，1，2．【解析】首先计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《易经》第17页，共26页非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮大小小大中间找；大大小小找不到．19.【答案】解：原式=(ᵄ2+9+6ᵄ)⋅2ᵄ2ᵄᵄᵄ+3=ᵄ2+6ᵄ+9⋅2ᵄ2ᵄᵄ+3=(ᵄ+3)2⋅2ᵄ2ᵄᵄ+3=2ᵄ(ᵄ+3)=2ᵄ2+6ᵄ．∵ᵄ2+3ᵄ+1=0，∴ᵄ2+3ᵄ=−1，∴原式=2×(−1)=−2．【解析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据ᵄ2+3ᵄ+1=0，即可求得所求式子的值．本题考查分式的化简求值，解题关键是明确分式化简求值的方法．20.【答案】等腰三角形的性质ᵄᵃ线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)同弧所对的圆周角相等【解析】(1)解：如图，(2)怎么：连接ᵄᵃ、ᵄᵃ，∵ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃ平分∠ᵃᵃᵃ，∴ᵃᵃ⊥ᵃᵃ且ᵃᵃ=ᵃᵃ，(等腰三角形的性质)∴ᵄᵃ=ᵄᵃ．∵ᵃᵃ是线段ᵃᵃ的垂直平分线，∴ᵄᵃ=ᵄᵃ.(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)∴ᵄᵃ=ᵄᵃ.⊙ᵄ为△ᵃᵃᵃ的外接圆．∵点ᵄ在⊙ᵄ上，∴∠ᵃᵄᵃ=∠ᵃᵃᵃ(同弧所对的圆周角相等)．故答案为：等腰三角形的性质；ᵄᵃ，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；同弧所对的圆周角相等．(1)根据几何语言画出对应的几何图形即可；勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备第18页，共26页良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。——《汤显祖》(2)先根据等腰三角形的性质得到ᵃᵃ⊥ᵃᵃ且ᵃᵃ=ᵃᵃ，再根据线段垂直平分线的性质得到ᵄᵃ=ᵄᵃ，ᵄᵃ=ᵄᵃ，所以ᵄᵃ=ᵄᵃ.则⊙ᵄ为△ᵃᵃᵃ的外接圆，然后根据圆周角定理得到∠ᵃᵄᵃ=∠ᵃᵃᵃ．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质和圆周角定理．21.【答案】(1)证明：依题意，得ᵮ=(−2ᵄ)2−4(ᵄ2−1)=4ᵄ2−4ᵄ2+4=4，∵ᵮ>0，∴该方程总有两个不相等的实数根；(2)解：解方程ᵆ2−2ᵄᵆ+ᵄ2−1=0，得ᵆ=ᵄ−1，ᵆ=ᵄ+1，12∵方程的两个根均为负数，ᵄ−1<0,∴{ᵄ+1<0.解得ᵄ<−1．【解析】(1)求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△≥0，根据判别式的意义即可证明；(2)根据题意得不等式组，解不等式组求得ᵄ的取值范围即可．本题考查了一元二次方程ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ=0根的判别式，用到的知识点：(1)ᵮ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)ᵮ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)ᵮ<0⇔方程没有实数根．22.【答案】解：据题意，点的坐标为且在一次函数=−ᵆ+2的图象(1)∵ᵃ(2ᵅ,−ᵅ)ᵆ1上，代入得−ᵅ=−2ᵅ+2．∴ᵅ=2．∴ᵃ点坐标为(4,−2)，把ᵃ(4,−2)代入ᵆ=ᵅ得ᵅ=4×(−2)=−8，2ᵆ∴反比例函数表达式为ᵆ=−8；2ᵆ(2)当0<ᵆ<2时，ᵆ的取值范围是<−4，当ᵆ<0时，ᵆ>0．2ᵆ22【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．(1)把ᵃ的坐标代入ᵆ=−ᵆ+2求得ᵅ的值，得出ᵃ(4,−2)，再代入入ᵆ=ᵅ即可求得ᵅ的12ᵆ值；大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？——《罗贯中》第19页，共26页万两黄金容易得，知心一个也难求。——《曹雪芹》(2)根据图象即可求得．23.【答案】(1)证明：∵ᵃᵃ//ᵃᵃ，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，∵ᵃ为ᵃᵃ的中点，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ在△ᵃᵃᵃ和△ᵃᵃᵃ中{ᵃᵃ=ᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ∴△ᵃᵃᵃ≌△ᵃᵃᵃ(ᵃᵄᵃ)，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ．∵ᵃᵃ//ᵃᵃ，∴四边形ᵃᵃᵃᵃ为平行四边形．(2)作ᵃᵃ⊥ᵃᵃ于点ᵃ，∵四边形ᵃᵃᵃᵃ为平行四边形，∴ᵃᵃ//ᵃᵃ，ᵃᵃ=ᵃᵃ=2√2，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ=45°．在ᵄᵆ
△ᵃᵃᵃ中，∠ᵃᵃᵃ=90°，ᵃᵃ=2√2，∠ᵃᵃᵃ=45°，∴sin∠ᵃᵃᵃ=ᵃᵃ=√2，得ᵃᵃ=2，ᵃᵃ2tan∠ᵃᵃᵃ=ᵃᵃ=1，得ᵃᵃ=2．ᵃᵃ在ᵄᵆ
△ᵃᵃᵃ中，∠ᵃᵃᵃ=90°，ᵃᵃ=2，∠ᵃᵃᵃ=30°，∴ᵃᵃ=2ᵃᵃ=4．由勾股定理，得ᵃᵃ=√ᵃᵃ2−ᵃᵃ2=√42−22=2√3．∴ᵃᵃ=ᵃᵃ+ᵃᵃ=2+2√3．【解析】本题是平行四边形的判定方法，勾股定理和全等三角形的判定的综合应用，正确作出辅助线是关键．(1)首先证明△ᵃᵃᵃ≌△ᵃᵃᵃ，则ᵃᵃ=ᵃᵃ，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得；(2)作ᵃᵃ⊥ᵃᵃ于点ᵃ，在ᵄᵆ
△ᵃᵃᵃ中利用三角函数求得ᵃᵃ的长，在ᵄᵆ
△ᵃᵃᵃ中利用勾股定理即可求解．24.【答案】(1)证明：∵ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃ=ᵃᵃ，∴∠ᵃ=∠ᵃ，∠1=∠ᵃ，∴∠1=∠ᵃ，又∵∠ᵃ=∠ᵃ，∴∠1=∠ᵃ，∵ᵃᵃ是⊙ᵄ的直径，∴∠ᵃᵃᵃ=90°，志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟第20页，共26页谋事在人，成事在天！——《增广贤文》∴∠ᵃ+∠ᵃᵃᵃ=90°，∴∠1+∠ᵃᵃᵃ=90°，即∠ᵃᵃᵃ=90°，∴ᵃᵃ⊥ᵃᵃ，∴ᵃᵃ是⊙ᵄ的切线；(2)解：过点ᵃ作ᵃᵃ⊥ᵃᵃ于点ᵃ，如图，∵ᵃᵃ=ᵃᵃ，∴ᵃᵃ=1ᵃᵃ=3，2在ᵄᵆ
△ᵃᵃᵃ中，∵ᵆᵅᵅᵃ=ᵃᵃ=4，ᵃᵃ5设ᵃᵃ=4ᵆ，ᵃᵃ=5ᵆ，∴ᵃᵃ=√ᵃᵃ2−ᵃᵃ2=3ᵆ，∴3ᵆ=3，解得ᵆ=1，∴ᵃᵃ=5，∴ᵃᵃ=5，∵∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ=90°，∠ᵃ=∠ᵃ，∴△ᵃᵃᵃ∽△ᵃᵃᵃ，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ，即ᵃᵃ=5，解得ᵃᵃ=25，ᵃᵃᵃᵃ544即⊙ᵄ的直径为25．4【解析】(1)根据等腰三角形的性质，由ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃ=ᵃᵃ得∠ᵃ=∠ᵃ，∠1=∠ᵃ，则∠1=∠ᵃ，根据圆周角定理得∠ᵃ=∠ᵃ，∠ᵃᵃᵃ=90°，所以∠1+∠ᵃᵃᵃ=90°，然后根据切线的判定定理即可得到ᵃᵃ是⊙ᵄ的切线；(2)过点ᵃ作ᵃᵃ⊥ᵃᵃ于点ᵃ，如图，根据等腰三角形的性质得ᵃᵃ=1ᵃᵃ=3，在ᵄᵆ
△ᵃᵃᵃ2中，利用正弦定义得ᵆᵅᵅᵃ=ᵃᵃ=4，则设ᵃᵃ=4ᵆ，ᵃᵃ=5ᵆ，利用勾股定理得ᵃᵃ=3ᵆ，ᵃᵃ5所以3ᵆ=3，解得ᵆ=1，于是得到ᵃᵃ=ᵃᵃ=5，然后证明△ᵃᵃᵃ∽△ᵃᵃᵃ，再利用相似比可计算ᵃᵃ即可．本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．25.【答案】1035【解析】解：(1)根据题意知，ᵄ+0.2+0.15=0.7，0.05+ᵄ+0.15=0.3，100100解得ᵄ=10，ᵄ=35，故答案为：10、35；(2)估计乙离子残留百分比的平均值为(3×0.05)+(4×0.10)+(5×0.15)+(6×0.35)+(7×0.20)+(8×0.15)=6.00；良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。——《汤显祖》第21页，共26页人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语》(3)甲离子溶液待检药物相对更安全，理由：服用甲、乙离子溶液残留百分比的平均值相同，但服用甲离子溶液残留的中位数和方差均小于乙种溶液，即服用甲离子溶液残留的百分比超过5.9的少于乙溶液，且百分比稳定．(1)根据ᵄ(ᵃ)的估计值为0.70得出ᵄ+0.2+0.15=0.7，0.05+ᵄ+0.15=0.3，解之100100可得答案；(2)分别用组中值乘以对应频率，再相加即可；(3)在残留百分比的平均值相同的前提下，比较中位数和方差即可得出答案．本题主要考查方差，解题的关键是掌握频率、加权平均数的定义及中位数和方差的意义．26.【答案】ᵆ=−(ᵆ−ᵅ)2+4【解析】解：(1)ᵆ=−ᵆ2+2ᵅᵆ−ᵅ2+4=−(ᵆ2−2ᵅᵆ+ᵅ2)+4=−(ᵆ−ᵅ)2+4，故答案为：ᵆ=−(ᵆ−ᵅ)2+4；(2)ᵆ=−(ᵆ−ᵅ)2+4−1≤ᵆ≤2时抛物线开向下，对称轴为ᵆ=ᵅ．时，当ᵆ=−1时，ᵆ=−(−1−ᵅ)2+4=−(ᵅ+1)2+4①ᵅ<−1最大．时，ᵆ=4②ᵅ=−1最大．时，在顶点处取得最大值，ᵆ=4③−1<ᵅ<2最大．时，ᵆ=4④ᵅ=2最大．时，当ᵆ=2时，ᵆ=−(2−ᵅ)2+4=−(ᵅ−2)2+4⑤ᵅ>2最大．ᵆ=−(ᵅ+1)2+4给上所述，当ᵅ<−1时，最大．ᵆ=4当−1≤ᵅ≤2时，最大．ᵆ=−(ᵅ−2)2+4当ᵅ>2时，最大．(3)①ᵆ>ᵆ，理由如下：12若ᵅ=0，则对称轴是ᵆ轴，∵ᵃ(−1,ᵆ)，ᵃ(3,ᵆ)，12∴ᵃ到ᵆ轴的距离大于ᵃ到ᵆ轴的距离．∵ᵄ<0，∴ᵆ>ᵆ．12②ᵆ=−(ᵅ−1−ᵅ)2+41=−1+4=3．ᵆ=−(3−ᵅ)2+4=−ᵅ2+6ᵅ−5．2∵ᵆ<ᵆ12∴3<−ᵅ2+6ᵅ−5好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》第22页，共26页志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟ᵅ2−6ᵅ+8<0(ᵅ−2)(ᵅ−4)<0∴2<ᵅ<4．(1)利用配方法化简即可．(2)根据对称轴ᵅ在ᵆ的取值范围的哪一侧即可求出最值．(3)①ᵅ=0代入到抛物线的解析式和ᵃ点中，根据ᵆ离对称轴的远近，就可以得到ᵆ的大小．把两个点的横坐标代入到抛物线的解析式得到、的解析式，解不等式即可求②ᵆ1ᵆ2得．本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．27.【答案】解：(1)①补全图形如下：②ᵃᵃ，ᵃᵃ，ᵃᵃ之间的数量关系是ᵃᵃ2+ᵃᵃ2=ᵃᵃ2，证明如下：连接ᵃᵃ，如图：∵∠ᵃᵃᵃ=90°，ᵃᵃ=ᵃᵃ，∴∠ᵃ=∠ᵃᵃᵃ=45°，∵线段ᵃᵃ绕点ᵃ逆时针旋转90°，得到线段ᵃᵃ，∴∠ᵃᵃᵃ=90°−∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，ᵃᵃ=ᵃᵃ，在△ᵃᵃᵃ和△ᵃᵃᵃ中，ᵃᵃ=ᵃᵃ{∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，ᵃᵃ=ᵃᵃ∴△ᵃᵃᵃ≌△ᵃᵃᵃ(ᵄᵃᵄ)，人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语》第23页，共26页丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃ=45°，ᵃᵃ=ᵃᵃ，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ+∠ᵃᵃᵃ=90°，∴ᵃᵃ2+ᵃᵃ2=ᵃᵃ2，∵ᵃᵃ=ᵃᵃ，∴ᵃᵃ2+ᵃᵃ2=ᵃᵃ2；(3)ᵃᵃ=2ᵃᵃ，ᵃᵃ⊥ᵃᵃ，证明如下：设ᵃᵃ交ᵃᵃ于ᵃ，延长ᵃᵃ至ᵃ，使ᵃᵃ=ᵃᵃ，连接ᵃᵃ，如图：∵ᵃ是ᵃᵃ中点，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ，∵ᵃᵃ=ᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，∴△ᵃᵃᵃ≌△ᵃᵃᵃ(ᵄᵃᵄ)，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，ᵃᵃ=ᵃᵃ，∵ᵃᵃ=ᵃᵃ，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ，∵∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ+∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ+45°，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ+45°，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ+∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ+45°+45°=∠ᵃᵃᵃ+90°，∵∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ+∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ+90°，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，∵ᵃᵃ=ᵃᵃ，∴△ᵃᵃᵃ≌△ᵃᵃᵃ(ᵄᵃᵄ)，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，∵ᵃᵃ=2ᵃᵃ，∴ᵃᵃ=2ᵃᵃ，∵∠ᵃᵃᵃ+∠ᵃᵃᵃ=90°，∴∠ᵃᵃᵃ+∠ᵃᵃᵃ=90°，∴∠ᵃᵃᵃ=90°，∴ᵃᵃ⊥ᵃᵃ．以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》第24页，共26页云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》【解析】(1)①根据题意补全图形即可；②连接ᵃᵃ，根据∠ᵃᵃᵃ=90°，ᵃᵃ=ᵃᵃ，得∠ᵃ=∠ᵃᵃᵃ=45°，由线段ᵃᵃ绕点ᵃ逆时针旋转90°，得到线段ᵃᵃ，可得∠ᵃᵃᵃ=90°−∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，ᵃᵃ=ᵃᵃ，即可得△ᵃᵃᵃ≌△ᵃᵃᵃ(ᵄᵃᵄ)，有∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃ=45°，ᵃᵃ=ᵃᵃ，故∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ+∠ᵃᵃᵃ=90°，可得ᵃᵃ2+ᵃᵃ2=ᵃᵃ2，从而ᵃᵃ2+ᵃᵃ2=ᵃᵃ2；(3)设ᵃᵃ交ᵃᵃ于ᵃ，延长ᵃᵃ至ᵃ，使ᵃᵃ=ᵃᵃ，连接ᵃᵃ，根据ᵃ是ᵃᵃ中点，可证明△ᵃᵃᵃ≌△ᵃᵃᵃ(ᵄᵃᵄ)，得∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，ᵃᵃ=ᵃᵃ，可得ᵃᵃ=ᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ+90°，又∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ+∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ+90°，得∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，知△ᵃᵃᵃ≌△ᵃᵃᵃ(ᵄᵃᵄ)，故BG=ᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，从而ᵃᵃ=2ᵃᵃ，可证ᵃᵃ⊥ᵃᵃ．本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及勾股定理、角的和差等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．28.【答案】，或ᵃ1ᵃ3ᵅ≥1+√3ᵅ≤1−√3【解析】解：=√5，ᵃᵃ=√2，ᵃᵃ=3．(1)①ᵃᵃ123ᵃᵃ>2，ᵃᵃ<2，ᵃᵃ>2．123∴ᵃ的转换点的是ᵃ，．1ᵃ3②如图，点ᵄ轨迹为直线ᵆ=3．ᵃᵄ=√ᵃᵃ2+ᵃᵄ2=√(3−2)2+(ᵅ−1)2．当ᵃᵄ=2时解得ᵅ=1±√3．∴ᵅ≥1+√3或ᵅ≤1−√3．(2)如图，作ᵄ
ᵄ⊥直线ᵆ=3ᵆ+3于点ᵄ.直线交ᵆ轴ᵆ轴于点ᵃ，ᵃ．42以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。——《管子·牧民》第25页，共26页志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟∴0ᵃ=2，ᵄᵃ=3，ᵃᵃ=5．22∴sin∠ᵃᵃᵄ=ᵄᵃ=ᵄᵄ
=3．ᵃᵃᵃᵄ
5即ᵄᵄ
=3ᵃᵄ
=3|ᵆ
+2|．55由题意得ᵄ
到直线距离≥ᵄ
到ᵆ轴距离，即3|ᵆ
+2|≥|ᵆ
|，5①ᵆ
≥0时，0≤ᵆ
≤3．②−2<ᵆ
<0时，−3≤ᵆ
<0．4③ᵆ
≤−2时无解．故答案为：−3≤ᵆ
≤3．4(1)求出点与点距离进行比较．(2)构造直角三角形，通过相似求线段长度，再通过不等式求解．本题考查一次函数综合应用，解题关键是理解题意，数形结合通过构造线段长度作差求解．其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》第26页，共26页