随机过程例题(课堂PPT)

例1已知随机相位正弦波X(t)=acos(t+)，其中a>0，为常数，为在（0,2）内均匀分布的随机变量。求随机过程{X(t),t(0,)}的均值函数mX(t)和相关函数RX(s,t)。2随机过程的基本概念例2设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，则W(t)的均值函数为其相关函数为2随机过程的基本概念例求在[0,1]区间均匀分布的独立随机序列的均值向量、自相关阵和协方差阵，设N=3。解：Xi的一维概率密度函数为：Xi的均值：Xi的自相关函数：均值向量自相关阵协方差阵2随机过程的基本概念例3设复随机过程，其中A1,A2,…,An是相互独立且服从N(0,)的随机变量，1,2,…,n为常数，求{Zt,t0}的均值函数mZ(t)和相关函数RZ(s,t)。2随机过程的基本概念例1设有随机相位过程X(t)=asin(t+)，a,为常数，为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程X(t)的平稳性。[解]因此X(t)是平稳随机过程。3平稳过程例2（白噪声序列）设{Xn,n=0,1,2,}是实的互不相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn]=2，试讨论随机序列的平稳性。[解]因为:(1)E[Xn]=0故随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关，因此它是平稳随机序列。3平稳过程例3设有随机相位过程X(t)=acos(t+)，a,为常数，为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，试问X(t)是否为各态历经过程。故X(t)是为各态历经过程。3平稳过程[例4]设有两个随机过程X(t)=acos(t+)和Y(t)=bsin(t+)，其中a,b,为常数，为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，分析X(t)和Y(t)是否联合平稳。[解]故X(t)和Y(t)均是平稳过程。所以X(t)和Y(t)是联合平稳的。3平稳过程[解][例1]设有随机过程X(t)=acos(0t+)，其中a,0为常数，在下列情况下，求X(t)的平均功率：(1)是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量；(2)是在(0,/2)上服从均匀分布的随机变量。(1)随机过程X(t)是平稳过程，相关函数：平均功率：(2)平均功率：X(t)是非平稳过程4谱分析例2[解]已知平稳过程的相关函数为，其中a>0,0为常数，求谱密度GX().4谱分析[解]例3设随机序列X(n)=W(n)+W(n-1)，其中W(n)是高斯随机序列，mW=0,RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关函数和谱密度GX().4谱分析[例4]如图所示X(t)是平稳过程，过程Y(t)=X(t)+X(tT)也是平稳的，求Y(t)的功率谱。[解]X(t)Y(t)延迟T4谱分析例1（h(t)的估计）设线性系统输入一个白噪声过程X(t)，其自相关函数为RX()=N0()，则通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。假定过程X(t)和Y(t)是各态历经的，5随机信号通过线性系统的分析[例2]如图RC电路，若输入白噪声电压X(t)，其相关函数为RX()=N0()，求输出电压Y(t)的相关函数和平均功率。[解]X(t)Y(t)RC5随机信号通过线性系统的分析[例3]如图有两个LTI系统H1()和H2()，若输入同一个均值为零的平稳过程X(t)，它们的输出分别为Y1(t)和Y2(t)。如何H1()和H2()才能使Y1(t)和Y2(t)互不相关？[解]X(t)Y1(t)H1()H2()Y2(t)互不相关协方差为零当两个LTI系统的幅频特性互不重叠时，则它们的输出Y1(t)和Y2(t)互不相关。5随机信号通过线性系统的分析[例1]已知仪器在[0,t]内发生振动的次数X(t)是具有参数的泊松过程。若仪器振动k(k1)次就会出现故障，求仪器在时刻t0正常工作的概率。[解]故仪器在时刻t0正常工作的概率为:故障时刻就是仪器发生第k振动的时刻Wk，服从分布:6泊松过程参数为n和s/t的二项分布[例2]设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0