计算方法 常微分方程初值问题数值解法-Euler公式-龙格-库塔法课件PPT

第12次常微分方程初值问题数值解法计算方法(NumericalAnalysis)内容常微分方程初值问题解的存在性定理Euler公式梯形公式两步Euler公式欧拉法的局部截断误差改进型Euler公式龙格-库塔法算法实现常微分方程初值问题解的存在性定理第9章常微分方程初值问题数值解法包含自变量、未知函数及未知函数的导数的方程称为微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。§9.1引言自变量个数只有一个的微分方程称为常微分方程。如下是一些典型方程求解析解的基本方法可分离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主要依靠数值解法来解决。定理1：如果函数f(x,y)在带形区域则方程(9.1)在a,b上存在唯一的连续可微分的解的解y=y(x)。内连续，且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L(它与x,y无关)使推论：如果函数f(x,y)对y的偏导数在带形区域对R内的所有x，y都成立。即存在常数L(它与x,y无关)使则方程(9.1)在a,b上存在唯一的连续可微解y=y(x)。内有界。HomeEuler公式本章假设微分方程初值问题(9.1)有解常微分方程初值问题(9.1)的数值解法的基本思想：算出精确解y(x)在区间a,b上的一系列离散节点的近似值处的函数值y=y(x)a=x0xn=bx1x2x3(未知)……相邻两个节点的间距称为步长，步长可以相等，也可以不等。数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值解。常微分方程数值解法的基本出发点：离散化。采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序逐步向前推进。中的导数进行离散化处理。以便对初值问题欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。§9.2简单的数值方法与基本概念的解y=y(x)代通过点的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点的切线的斜率等于函数在这点的函数值。9.2.1Euler公式初值问题Euler法的求解过程:从初始点P0(即点(x0,y0))出发，作积分曲线y=y(x)在P0点上切线，其斜率为y=y(x)x0xix1yx2P1(x1,y1)P0Pnxi+1xnP2(x2,y2)Pi(xi,yi)Pi+1(xi+1,yi+1)y(x1)y(x2)y(xi)y(xi+1)y(xn)y(x0)这样就获得了P1点的坐标：(x1,y1)。将y1作为y(x1)的近似值(想象(x1,y1)在积分曲线y=y(x)上)当时，得过点P1(x1,y1)，作积分曲线y=y(x)的切线交直线x=x2于P2点。注意切线的斜率(近似)为直线方程为:当时,得由此获得了P2的坐标。直线的方程为：当时,得重复以上过程,对已求得点,以为（近似）斜率作直线y=y(x)x0xix1yx2y1P0Pnxi+1xny2yiyi+1y(x1)y(x2)y(xi)y(xi+1)y(xn)y(x0)yn微分方程(9.1)的精确解y=y(x)的近似解为：y1，y2，…,yn注：还可用数值积分法和泰勒展开法推导Euler公式（略）。Euler公式解：取h=0.1，根据Euler公式，得例9.1：利用Euler公式求解微分方程的初值问题由x0=0,y0=1，代入以上公式，得y1=1.1*y0-0.2*x0/y0=1.1课堂练习：计算出x2,y2；x3,y3x0=0,y0=1x1=0.1,y1=1.1计算结果比较：初值问题有解：可以由此公式计算出准确解：y(xn)欧拉法准确值xnyny(xn)0.11.10001.09540.21.19181.18320.31.27741.26490.41.35821.34160.51.43511.41420.61.50901.48320.71.58031.54920.81.64981.61250.91.71781.67331.01.78481.7321y=y(x)的近似解010.10.20.30.40.50.60.70.80.9Home11.52梯形公式9.2.2梯形公式(9.4)改用梯形方法计算其积分项，即为了提高精度,对方程的两端在区间上积分得，(9.5)式的右端含有未知的yi+1,它是一个关于yi+1的函数方程,这类数值方法称为隐式方法。相反地,欧拉法是显式方法。代入(7.4)式,并用近似代替式中即可得到梯形公式(9.5)由于数值积分的梯形公式比矩形公式的精度高，所以梯形公式（9.5）比欧拉公式(9.2)的精度高。求解困难Home两步Euler公式对方程两端在区间上积分得(9.6)改用中矩形公式计算其积分项，即代入上式,并用yi近似代替式中y(xi)即可得到(9.7)9.2.3两步欧拉公式两步欧拉公式2个区间【注】欧拉方法和梯形方法，都是单步法,其特点是在计算yi+1时只用到前一步的信息yi;而两步欧拉公式(9.7)中除了yi外,还用到更前一步的信息yi-1,即调用了前两步的信息。Home欧拉法的局部截断误差9.2.4．欧拉法的局部截断误差定义9.1在yi准确的前提下,即时,用数值方法计算yi+1的误差：衡量求解公式好坏的一个主要是求解公式的精度,因此引入局部截断误差和阶数的概念。称为该数值方法计算时yi+1的局部截断误差。欧拉公式的截断误差推导：定义9.2若数值方法的局部截断误差为，则称这种数值方法的精度阶数是P。步长(h<1)越小，P越高，则局部截断误差越小。计算精度越高。评论：欧拉公式的精度讨论两步欧拉公式的局部截断误差为：从而两步欧拉公式的阶数是2.推导过程省略。欧拉公式的局部截断误差为：y(xi+1)–yi+1=O(h2)欧拉方法仅为一阶方法。Home改进的Euler公式9.2.5改进的欧拉公式欲综合欧拉公式和梯形公式，得到改进的欧拉公式。计算工作量小，但精度低。显式欧拉公式(9.10)预测：校正：改进的思路：这种预测-校正方法称为改进的欧拉公式：可以证明,公式(9.10)的精度为二阶。(9.11)通常表示成下列平均化形式(9.12)(9.10)可以改写为如下的一步显式格式：例9.2用改进欧拉法解初值问题区间为0,1，取步长h=0.1解:改进欧拉法公式课堂练习：x0=0,y0=1计算出计算结果比较(Matlab)：初值问题有解：按照此公式计算出：y(xn)并且和由欧拉方法计算结果进行比较。与改进的欧拉方法计算结果进行比较对比结果：改进欧拉方法精确度更高改进欧拉法欧拉法准确值Homexnynyny(xn)0.11.10001.09591.09540.21.19181.18411.18320.31.27741.26621.26490.41.35821.34341.34160.51.43511.41641.41420.61.50901.48601.48320.71.58031.55251.54920.81.64981.61651.61250.91.71781.67821.67331.01.78481.73791.7321龙格-库塔法9.3.1龙格-库塔(Runge-Kutta)法的基本思想§9.3龙格-库塔（Runge-Kutta）法Euler公式可改写成(*)改进的Euler公式又可改写成欧拉公式与改进欧拉公式在形式上有一个共同点:都是用f(x,y)在某些点上值的线性组合得出y(xi+1)的近似值yi+1,而且增加计算f(x,y)的次数,可提高截断误差的阶。欧拉公式:每步计算一次f(x,y)的值,局部截断误差为于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式。如此，可以构造出更高精度的计算格式，这就是龙格-库塔法的基本思想。改进欧拉公式：需计算两次f(x,y)的值，它是2阶方法，局部截断误差为。事实上，将方程的两端在区间上积分得，针对右端的积分可以使用不同的积分公式进行近似求解。和号中f(x)的取值节点越多，就越精确。Simpson公式：积分区间[a,b]划分为2等分，3个节点牛顿—柯特斯：将积分区间[a,b]划分为n等分,n+1个节点。在上取两点，经过精心构造，得到如下的2阶龙格-库塔格式(有2阶精度)9.3.2二阶龙格-库塔法（9.14）其中（9.17）满足条件(9.17)的格式(9.14)的局部截断误差为此条件保证了(9.14)近似效果最好。式(9.17)中有三个未知量,但只有两个方程,因而有无穷多解。若取,则p=1，将以上所解的值代入式(9.14)并改写可得不难发现，上面的格式就是改进的欧拉格式。9.3.4四阶龙格—库塔法如果需要再提高精度，用类似上述的处理方法，只需在区间上用四个点处的斜率加权平均作为平均斜率k*的近似值，构成一系列四阶龙格-库塔公式。具有四阶精度，即局部截断误差是。（9.20）经过精心的推导与构造（过程从略）得到最常用的一种4阶经典龙格-库塔公式。例9.3取步长h=0.2，用经典龙格-库塔公式求解初值问题。解:由四阶龙格-库塔公式可得：课堂：取h=0.2,计算y1取h=0.2,计算y1;x0=0,y0=1,取n=0取h=0.2,计算y2;x1=0.2,y1=1.1832,取n=1改进欧拉法欧拉法准确值四阶龙格-库塔法xnynynyny(xn)0.11.10001.09591.09540.21.19181.18411.18321.18320.31.27741.26621.26490.41.35821.34341.341621.34160.51.43511.41641.41420.61.50901.48601.48331.48320.71.58031.55251.54920.81.64981.61651.61251.61250.91.71781.67821.67331.01.78481.73791.73211.7321龙格-库塔方法的推导基于Taylor展开方法，因而它所求的解具有较好的光滑性。如果解的光滑性差，那么，使用四阶龙格—库塔方法求得的数值解，其精度可能反而不如改进的欧拉方法。在实际计算时，应当针对问题的具体特点选择合适的算法。龙格-库塔方法：算法实现这部分不会出现在笔试卷子中；只作为Matlab编程的参考使用。（1）计算步骤①输入②使用以下改进欧拉法公式进行计算③输出，并使转②直至n>N结束。9.2.6改进欧拉法算法实现（2）改进欧拉法的(3)程序实现(改进欧拉法计算常微分方程初值问题)clearx=0,yn=1%初始化forn=1:10yp=yn+0.1*(yn-2*x/yn);%预测x=x+0.1;yc=yn+0.1*(yp-2*x/yp);%校正yn=(yp+yc)/2%平均（再矫正）end本题的精确解为改进欧拉法的Matlab程序9.3.5四阶龙格—库塔法算法实现(1) 计算步骤①输入②使用龙格—库塔公式（9.20）计算出y1③输出，并使转到②直至n>N结束。(2)四阶龙格—库塔算法流程图程序实现(4阶龙格-库塔法计算常微分方程初值问题)作业习题九P3161、2、5(1)Home