3.2线性方程组的一般解法

3.2线性方程组的一般解法 一般地，个未知量，个方程组成的线性方程组可以示为：　　　　　　　　（1）其中是方程组的个未知量，是第个方程中第个未知量的系数，是第个方程的常数项.若记，，则按矩阵乘法和矩阵相等的定义(1)式可写成其中矩阵称为线性方程组（1）的系数矩阵，矩阵称为未知量矩阵，矩阵称为常数项矩阵.显然,线性方程组解的情况取决于未知量的系数和常数项.矩阵称为线性方程组（1）的增广矩阵，可以表示为则线性方程组(1)与其增广矩阵是一一对应的.如果用常数依次代替线性方程组（1）中的个未知量时,(1)中个方程均成为恒等式,则称为(1)的一个解.此时也称方程组(1)有解,并可表示方程组的解为矩阵形式也称解矩阵为(1)的一个解向量,或者说是的解.那么,方程组解的情况如何？是有解还是无解？有解时是有唯一一组解还是有无穷多组解？就是我们将要解决的问。回想第一章讲到的线性方程组的特殊情形.设,用克莱姆(Cramer)法则求解方程组,若,即方阵可逆,则线性方程组(1)有且仅有一个解,用克莱姆(Cramer)法则只能求解方程的个数与未知量个数相同,并且其系数行列式不为零的线性方程组,随着未知量个数的增加,计算量的增长速度大的惊人.这是该方法的不足之处.在中学,我们已经学会了用高斯(Guass)消元法解二元、三元线性方程组，归纳用高斯(Guass)消元法解线性方程组的过程，也就是对方程组进行同解变换.先给出一个定义定义1若线性方程组的解都是线性方程组的解;反之的解,也都是的解,则称线性方程组与是同解方程组.先举一例来回顾一下解线性方程组的消元法.1.解线性方程组解将第一个方程的倍、倍分别加到第二、第三两个方程上，得到与原方程同解的方程组在上述方程组中,将第三个方程的1倍、－4倍分别加到第一、第二两个方程上，并交换第二、三两个方程的位置，得同解方程组第一个方程两端同乘以，第三个方程两端同乘以，得将第三个方程的倍、1倍分别加到第一、第二两个方程上，得这就是原方程组的解.归纳上述解线方程组的过程,不外乎对方程组施行以下三种变换:1.交换两个方程的位置;2.用一个非零常数乘以一个方程3.把一个方程的若干倍加到另一个方程上.它们统称为线性方程组的初等变换.经过初等变换得到的方程组都与原方程组同解,而解线性方程组的过程,就是利用这三种变换逐次“消元”，使原方程逐步化简为与其同解的、能够直接给出解的方程组。从例1解答过程中，不难发现，在对方程组施行初等变换时，参与变化的仅是未知量的系数和常数项。因此，对线性方程组施行的初等变换，相当于对增广矩阵施行初等行变换，反之依然。那么，求解线性方程组的过程，就是用初等行变换将增广矩阵化为简化的行阶梯型矩阵的过程。这时上面的求解过程可以表示为矩阵形式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　这时已将增广矩阵化为简化的行阶梯型矩阵，它代表线性方程组所以此线性方程组的唯一解为或表示为向量形式值得注意的是,例1也可以利用克莱姆法则或逆矩阵求解,尽管求解过程不同,但结果一定一样.所以，在以后解线性方程组时，为了书写简明，只需写出方程组的增广矩阵的初等行变换过程即可.1.解线性方程组解对增广矩阵进行初等行变换，化为阶梯型矩阵，有　　　　　　　　　　所得的阶梯型矩阵第3行与第3行是零行，它们代表同解方程组的第3与第4个方程这是恒等关系式，对线性方程组的求解不起作用，是多余的方程.这意味着构成此线性方程组的四个方程不是完全有效的,其中的两个方程(如第3个方程与第4个方程)可以去掉,而其余的两个方程(如第1个方程与第2个方程)是有效的方程,而两个有效方程只能求解两个未知量,那么另外的两个未知量可以自由取值,今后对于可以自由取值的未知量称之为自由未知量.不能自由取值的未知量称之为非自由未知量.在方程中的未知量中,如何选择非自由未知量依据的原则是：由克莱姆法则,对于非自由未知量，其系数行列式不为零。当然，符合这一原则的选择不是唯一的，通常将下脚标较小的未知量选作非自由未知量，下脚标较大的未知量选作自由未知量，在本例题中，得到的阶梯型矩阵的第1行与第2行代表着有效方程组将含未知量的项移到等号的右端，得对于未知量，其系数行列式对任给的未知量的一组值，依据克莱姆法则，得到未知量的唯一解，它们构成线性方程组的一组解，由此得出线性方程组有无穷多解.对所得的阶梯型矩阵继续作初等行变换,化为简化的行阶梯型矩阵,有INCLUDEPICTURE"http://cs.scutde.net/t13courses/1308-ugohnweytg/page/img/c030100_clip_image124.gif"\*MERGEFORMATINET　所得的简化的行阶梯型矩阵第1行与第2行代表线性方程组选择为自由未知量,为非自由未知量,则由表示的表达式为当自由未知量取任意常数,取任意常数时,此方程组有无穷组解的一般表达式为 (,为任意常数)若此方程组的一般解改写如下则此方程组的一般解又可表示为向量和的形式求出线性方程组的解之后,应该验算.对于唯一解情况,只需验算一组答数.对于无穷多解情况,可以证明：若无穷多解的一般表达式中含一个任意常数,则只须验算令与得到的两组答数;若无穷多解的一般表达式中含两个任意常数,则只须验算令与及得到的三组答数,如此等等,在例1中,将求得的唯一解回代原线性方程组后,使得等式成立,因此所求得的唯一解正确无误；在例2中,令与及得到的三组答数与及将以上三组答数回代原线性方程组后,使得等式成立,因而所求得的无穷多解表达式正确无误.当然,解线性方程组的过程不是唯一的.例3求解线性方程组解对增广矩阵进行初等行变换.　　　　　　　　　　　　所得的阶梯型矩阵第三行代表第三个方程即有得到的结果出现矛盾,这是由于原线性方程组中存在相互矛盾的方程的反映,说明未知量的任何一组取值都不能满足所有的方程,所以此线性方程组无解.　　视图就是观看工作的一种方式。　　为了便于设计者从不同的方式观看自己设计的幻灯片，PowerPoint提供了多种视图显示模式，可以帮助我们创建演示文稿，包括普通视图、大纲视图、幻灯片视图、幻灯片浏览视图、幻灯片放映视图和备注页视图六种不同的视图。每种视图各有所长，不同的视图方式适用于不同需要的场合。最常使用的两种视图是普通视图和幻灯片浏览视图。