平面向量期末复习

LELEwasfinallyrevisedonthemorningofDecember16,2020平面向量期末复习数学必修4平面向量复习一基本概念:1.向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．零向量：长度为的向量．2.单位向量：是模（长度）为1的向量，若其坐标为(x，y)，其中x，y满足x2+y2=13.平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行，．4.相等向量：长度相等且方向相同的向量．5．向量的坐标i、j是与x轴、y轴方向相同的单位向量，若a==xi+yj，则A(x，y)叫做向量a的坐标，记作a==(x，y)．二、向量运算：向量加法运算：=1\*GB2⑴三角形法则的特点：首尾相连．=2\*GB2⑵平行四边形法则的特点：共起点．=3\*GB2⑶三角形不等式：．=4\*GB2⑷运算性质：=1\*GB3①交换律：；=2\*GB3②结合律：；=3\*GB3③．=5\*GB2⑸坐标运算：设，，则．向量减法运算：=1\*GB2⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．=2\*GB2⑵坐标运算：设，，则．设、两点的坐标分别为，，则．注意：正反思维：向量数乘运算：=1\*GB2⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．=1\*GB3①；=2\*GB3②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．=2\*GB2⑵运算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=3\*GB2⑶坐标运算：设，则．平面向量的数量积：1．向量的夹角：向量a和b，作=a，=b，则AOB=(0180)叫做向量a和b的夹角．2.数量积：=1\*GB2⑴．零向量与任一向量的数量积为．坐标运算：设两个非零向量，，则．即3性质：设和都是非零向量，则=1\*GB3①当与同向时即θ=0°，；当与反向时即θ=180°，；=3\*GB2⑶或．=3\*GB3③．4运算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．5.特别注意：①向量的投影：向量b在a方向上的投影是：|b|cos②当为锐角时，且与不同向；当为钝角时，且与不反向；当=90时，③数量积不适合乘法结合律如(ab)ca(bc)(∵(ab)c与c共线，而a(bc)与a共线)．④．数量积的消去律不成立若a、b、c是非零向量且ac=bc，并不能得到a=b．三、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．1．不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底2、分点坐标求法：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，求点P的坐标的方法：设P的坐标为则∴当四、向量的应用：（一）求长度 ①若，则，或②两点间的距离：若，，,（二）证垂直：向量垂直的条件：（三）向量平行(共线)的充要条件： ①向量与共线即，存在唯一实数，使②三点A、B、C共线共线(四).求向量夹角：是与的夹角，设、都是非零向量，，，则．注意：的范围：五、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若与不共线，则对平面内的任意一个向量，有且只有一对实数、；使得。2、向量的模：＝＝；非零向量与的夹角：3、向量平行：∥；向量垂直：⊥三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式1）是的重心;若是的重心，则故;为的重心.2）是的垂心;若是(非直角三角形)的垂心，则故3）是的外心若是的外心,则故是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才是内心的充要条件可以写成　是内心的充要条件也可以是若是的内心，则　故;的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；六、基础训练（1）已知，且，则向量在向量上的投影为（2）已知A（3，y），B（，2），C（6，）三点共线，则y=_________.（3）非零向量和满足：，则与的夹角等于.七、典例讲解.例1.已知，，（1）：三点共线.（2）为何值时，①向量与平行②向量与垂直例2、平面内有向量，点Q为直线OP上一动点，1）求取最小值时，点Q的坐标2）当点Q满足1）的条件和结论时，求的值。例3.已知向量，，（1）若求的值。（2）求的最小值.（3）求函数=·的单调增区间八、巩固练习1．已知平面内三点A（-1，0），B（x，6），P（3，4），且=，x和的值分别为()A．-7，2B．5，2C．-7，D．5，2、向量，满足，，则的取值范围是．3、已知，，，则　　　　　．4、已知+，２－，则向量+2与2－（）A、一定共线B、一定不共线C、仅当与共线时共线D、仅当=时共线5、已知ABC顶点A（―1，），B（2，3）及重心坐标G（1，），则顶点C的坐标为__________6．已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且，又P是线段OB的中点，则点B的坐标是7、已知||=||，，且（+）（k-），则k的值是()A．1B．-1C．0D．-28、已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为_____________________9、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）,为一动点，及，（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。10、已知，，且与的夹角为（1）求，，（2）证明：与垂直11、已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且‖，求的坐标（2）若||=，且+2与2-垂直，求与的夹角.12、已知等边三角形的边长为2，⊙的半径为1，为⊙的任意一条直径，（Ⅰ）判断的值是否会随点的变化而变化，请说明理由；（Ⅱ）求的最大值．平面向量A组（1）如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）(A)(B)(C)(D)（2）在四边形中，若，则四边形的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形（3）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（3，4），则第4个顶点的坐标不可能是（）(A)（12，5）(B)（-2，9）(C)（3，7）(D)（-4，-1）（4）已知正方形的边长为1，，，，则等于()(A)0(B)3(C)(D)（5）已知，，且向量，不共线，若向量与向量互相垂直，则实数的值为．（6）在平行四边形ABCD中，，，O为AC与BD的交点，点M在BD上，，则向量用，表示为；用，表示为．（7）在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h．渡船要垂直地渡过长江，则航向为．（8）三个力，，的大小相等，且它们的合力为0，则力与的夹角为．（9）用向量方法证明：三角形的中位线定理．（10）已知平面内三点、、三点在一条直线上，，，，且，求实数，的值．B组（11）已知点、、不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则()(A)点P在线段AB上(B)点P在线段AB的反向延长线上(C)点P在线段AB的延长线上(D)点P不在直线AB上（12）已知D、E、F分别是三角形ABC的边长的边BC、CA、AB的中点，且，，，则①，②，③，④中正确的等式的个数为()（A）1（B）2（C）3（D）4（13）已知向量，，则向量在方向上的投影为．（14）已知，，点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用、表示为．（15）已知向量，，若向量与的夹角为直角，则实数的值为；若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为．（16）已知，，，点为坐标原点，点是直线上一点，求的最小值及取得最小值时的值．平面向量C组1．下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．B．C．D．2．已知向量＝（1,2），＝（x，－4），若∥，则（）A．4B．－4C．2D．3．设是单位向量，且则的最小值是（）A．B．C．D．4．已知三点、、，则等于（）A．－2B．－6C．2D．35．已知向量，，若∥，则等于（）A．B．C．D．6．若向量，，，则（）A．B．C．D．7．与向量平行的单位向量为（）A．B．C．或D．8．已知向量=（2，3），向量=（-4，7），则在上的投影为（）A．B．C．D．9．已知点为的外心，且则（）A．2B．4C．6D．810．已知平面向量，且∥，则（）A．-3B．-9C．9D．111．已知平面向量的夹角为，（）A．B．C．D．12．定义：，其中为向量与的夹角，若，则等于（）A．8B．－8C．8或－8D．613．已知向量，，，若用和表示，则=．14．向量，满足，且，，则在方向上的投影为．15．若非零向量，满足，且，则与的夹角为__________．16．设非零向量与的夹角是，且，则的最小值是．17．（10分）已知向量（1）求的坐标表示；（2）求的值．18．（10分）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段的比为3∶2，求m的值．19．（12分）在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q,已知:＝1:2,:＝3:2,连结AQ、BP,设它们交于点R,若＝a，＝b．（1）用a与b表示；（2）过R作RH⊥AB,垂足为H,若|a|＝1,|b|＝2,a与b的夹角的范围．20．（12分）设向量满足（1）求的值（2）求与夹角的正弦值．21．（12分）已知向量，，设与的夹角为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的值．22．（14分）已知向量=（3，－4），求：（1）与平行的单位向量；（2）与垂直的单位向量（3）将绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量的坐标．