【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 7.5 直接证明与间接证明导学案 理

直接证明与间接证明导学目标：1.了解直接证明的两种基本方法——法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点．自主梳理1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．②框图示：→→→…→(其中P表示已知条件，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．②框图表示：→→→…→.2．间接证明反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．自我检测1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的(　　)A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．(2011·揭阳模拟)用反证法证明“如果a>b，那么>”的假设内容应是(　　)A.＝B.0，证明：＋＋≥a＋b＋c.探究点二　分析法例2　(2011·马鞍山月考)若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.变式迁移2　已知a>0，求证：－≥a＋－2.探究点三　反证法例3　若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2与<2中至少有一个成立．变式迁移3　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.转化与化归思想的应用例　(12分)(2010·上海改编)若实数x、y、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m.(1)若x2－1比1远离0，求x的取值范围．(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab.多角度审题　(1)本题属新定义题，根据“远离”的含义列出不等式，然后加以求解．(2)第(2)小题，实质是证明不等式|a3＋b3－2ab|>|a2b＋ab2－2ab|成立．证明时注意提取公因式及配方法的运用．【答题模板】(1)解　由题意得＞1，即x2－1＞1或x2－1＜－1.[2分]由x2－1＞1，得x2＞2，即x＜－或x＞；由x2－1＜－1，得x∈∅.综上可知x的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．[4分](2)证明　由题意知即证＞成立．[6分]∵a≠b，且a、b都为正数，∴＝＝＝(a－b)2，＝＝ab(－)2＝(a－b)2，[8分]即证(a－b)2－(a－b)2＞0，即证(a－b－a＋b)(a－b＋a－b)＞0，需证＞0，[10分]即证(a＋b)(a－b)2＞0，∵a、b都为正数且a≠b，∴上式成立．故原命题成立．[12分]【突破思维障碍】1．准确理解题意，提炼出相应不等式是解决问题的关键．2．代数式|a3＋b3－2ab|与|a2b＋ab2－2ab|中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便．【易错点剖析】1．推理论证能力较差，绝对值符号不会去．2．运用能力较差，不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错．1．综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论．即由因导果．2．分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．即执果索因，用分析法寻找解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法．3．用反证法证明问题的一般步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，即结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．(结论成立)(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是(　　)A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数2．(2011·济南模拟)a，b，c为互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是(　　)A．a>b>cB．b>c>aC．b>a>cD．a>c>b3．设a、b、c∈(0，＋∞)，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件4．(2010·上海普陀2月统考)已知a、b是非零实数，且a>b，则下列不等式中成立的是(　　)A.<1B．a2>b2C．|a＋b|>|a－b|D.>5．(2011·厦门月考)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(　　)A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·江苏前黄高级中学模拟)某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<.那么他的反设应该是______________________________．7．对于任意实数a，b定义运算a*b＝(a＋1)(b＋1)－1，给出以下结论：①对于任意实数a，b，c，有a*(b＋c)＝(a*b)＋(a*c)；②对于任意实数a，b，c，有a*(b*c)＝(a*b)*c；③对于任意实数a，有a*0＝a.则以上结论正确的是________．(写出你认为正确的结论的所有序号)8．(2011·揭阳模拟)已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题：①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中命题正确的是________(填序号)．三、解答题(共38分)9．(12分)已知非零向量a、b，a⊥b，求证：≤.10．(12分)(2011·宁波月考)已知a、b、c>0，求证：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．11．(14分)(2011·宁波月考)已知a、b、c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.学案38　直接证明与间接证明自主梳理1．(1)①推理论证　成立　(2)①要证明的结论　充分条件2．不成立　矛盾自我检测1．A　[由分析法的定义可知．]2．D　[因为>的否定是≤，即＝或<.]3．D　[D选项成立时需得证a－b>0.A中|a－b|＋|c－b|≥|(a－b)－(c－b)|＝|a－c|，B作差可证；C移项平方可证．]4．A　[由所给的定义运算知a⊕c＝c，d⊗c＝a.]5．C　[a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，因此a、b、c至少有一个不小于2.]课堂活动区例1　解题导引　综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，再进一步得出结论．证明　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∴3a2＋3b2＋3c2≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.∴a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2；∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥ab＋bc＋ca＋2(ab＋bc＋ca)，∴(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)．∴原命题得证．变式迁移1　证明　∵a，b，c>0，根据基本不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．即＋＋≥a＋b＋c.例2　解题导引　当所给的条件简单，而所证的结论复杂，一般采用分析法．含有根号、对数符号、绝对值的不等式，若从题设不易推导时，可以考虑分析法．证明　要证lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc，只需证lg>lg(a·b·c)，只需证··>abc.(中间结果)因为a，b，c是不全相等的正数，则≥>0，≥>0，≥>0.且上述三式中的等号不全成立，所以··>abc.(中间结果)所以lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.变式迁移2　证明　要证－≥a＋－2，只要证＋2≥a＋＋.∵a>0，故只要证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只要证2≥，只要证4≥2，即a2＋≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．例3　解题导引　(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．(2)利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误．证明　假设<2和<2都不成立，则有≥2和≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2相矛盾，因此<2与<2中至少有一个成立．变式迁移3　证明　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.∵a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，∴x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)≤0，①又∵(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，π－3>0，∴(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)>0.②①式与②式矛盾，∴假设不成立，即a，b，c中至少有一个大于0.课后练习区1．B2．C　[由a2＋c2>2ac⇒2bc>2ac⇒b>a，可排除A、D，令a＝2，c＝1，可得b＝，可知C可能成立．]3．C　[必要性是显然成立的，当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P>0，Q<0，R<0，则Q＋R＝2c<0，这与c>0矛盾，即充分性也成立．]4．D　[<1⇔<0⇔a(a－b)>0.∵a>b，∴a－b>0.而a可能大于0，也可能小于0，因此a(a－b)>0不一定成立，即A不一定成立；a2>b2⇔(a－b)(a＋b)>0，∵a－b>0，只有当a＋b>0时，a2>b2成立，故B不一定成立；|a＋b|>|a－b|⇔(a＋b)2>(a－b)2⇔ab>0，而ab<0也有可能，故C不一定成立；由于>⇔>0⇔(a－b)a2b2>0.∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有D正确．]5．D　[由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形，由得那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为π相矛盾，所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形．]6．“∃x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，则|f(x1)－f(x2)|≥”7．②③解析　按新定义，可以验证a*(b＋c)≠(a*b)＋(a*c)；所以①不成立；而a*(b*c)＝(a*b)*c成立，a*0＝(a＋1)(0＋1)－1＝a.所以正确的结论是②③.8．①解析　由三视图知，在三棱锥S—ABC中，底面ABC为直角三角形且∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又SA⊥底面ABC，∴BC⊥SA，由于SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC.所以命题①正确．由已知推证不出②③命题正确．故填①.9．证明　∵a⊥b，∴a·b＝0.(2分)要证≤，只需证：|a|＋|b|≤|a－b|，(4分)平方得：|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，(8分)只需证：|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，(10分)即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证.(12分)10．证明　∵a2＋b2≥2ab，a、b、c>0，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，(3分)∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2，∴a3＋b3≥a2b＋ab2.(6分)同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，将三式相加得，2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.(9分)∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．(12分)11．证明　方法一　假设三式同时大于，即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，(3分)∵a、b、c∈(0,1)，∴三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a>.(8分)又(1－a)a≤2＝，(10分)同理(1－b)b≤，(1－c)c≤，∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤，(12分)这与假设矛盾，故原命题正确．(14分)方法二　假设三式同时大于，∵00，(2分)≥>＝，(8分)同理>，>，(10分)三式相加得>，这是矛盾的，故假设错误，∴原命题正确．(14分)