高考数学复习三角函数解三角形课时达标检测二十一三角函数的图象与性质理

课时达标（二十一） 三角函数的图象与性质 [练基础小题——强化运算能力] 1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　) A．y＝cos B．y＝sin C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 解析：选A　y＝cos＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；y＝sin＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B不正确；C，D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，D不正确． 2．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：选B　由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)． 3．已知函数y＝sin ωx(ω>0)在区间上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为(　　) A. B. C. D. 解析：选A　由题意知即其中k∈Z，则ω＝，ω＝或ω＝1，即ω的取值集合为. 4．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________． 解析：∵对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，∴f(x1)，f(x2)分别为函数f(x)的最小值和最大值，∴|x1－x2|的最小值为T＝×＝2. 答案：2 5．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sin＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________． 解析：令y1＝2sin，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示．若2sin＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝(　　) A. B. C. D. 解析：选A　由题意得＝，T＝π，则ω＝2.由2x0＋＝kπ(k∈Z)，得x0＝－(k∈Z)，又x0∈，所以x0＝. 5．设函数f(x)＝(x∈R)，则f(x)(　　) A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 解析：选B　由f(x)＝可知，f(x)的最小正周期为π.由kπ≤x＋≤＋kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上单调递增；由＋kπ≤x＋≤π＋kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上单调递减．将各选项逐项代入验证，可知B正确． 6．(2017·安徽江南十校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心的坐标是(　　) A. B. C. D. 解析：选A　由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为，故选A. 二、填空题 7．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________． 解析：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)． ∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是，k∈Z.　　 答案：，k∈Z 8．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________. 解析：∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点， ∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数； 当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数． 由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增， 在上单调递减知，＝，∴ω＝. 答案： 9．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________． 解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，当x∈时，－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，故f(x)∈. 答案： 10．已知函数f(x)＝cos，其中x∈m∈R且m>，若f(x)的值域是，则m的最大值是________． 解析：由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，∵f＝cos＝－，且f＝cos π＝－1，∴要使f(x)的值域是，需要π≤3m＋≤，解得≤m≤，即m的最大值是. 答案： 三、解答题 11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π. (1)求当f(x)为偶函数时φ的值； (2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间． 解：∵f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，∴ω＝2， ∴f(x)＝sin(2x＋φ)． (1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．即sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，展开整理得sin 2xcos φ＝0，由已知，上式对任意x∈R都成立，∴cos φ＝0.∵0<φ<，∴φ＝. (2)由f(x)的图象过点，得sin＝， 即sin＝. 又∵0<φ<，∴<＋φ<π， ∴＋φ＝，则φ＝.∴f(x)＝sin. 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. ∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 12．已知函数f(x)＝a＋b. (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间； (2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值． 解：f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b ＝asin＋a＋b. (1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1， 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)的单调增区间为，k∈Z. (2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤， ∴－≤sin≤1，依题意知a≠0. ①当a>0时，∴a＝3－3，b＝5. ②当a<0时，∴a＝3－3，b＝8. 综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.