2019-2020学年高考数学专题复习8解三角形

2019-2020学年高考专题复习8解三角形 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．设 分别是 的三个内角 所对的边，则 是 的（ A ） （A）充分条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件 2．在 中，已知 ，给出以下四个论断： ① ② ③ ④ 其中正确的是（ B ） （A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③ 3．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则 的值为__________ . 4．如果 的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值，则（） A． 和 都是锐角三角形 B． 和 都是钝角三角形 C． 是钝角三角形， 是锐角三角形 D． 是锐角三角形， 是钝角三角形 5．己知A、C是锐角△ABC的两个内角，且tanA, tanC是方程x2- px+1-p＝0 (p≠0，且p∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC的取值范围分别是___ _ 和__ ___，p的取值范围是__________ ；(0， )；(0， )；［ ，1) 6．在ΔABC中，已知 ，AC边上的中线BD= ，求sinA. 【专家解答】 设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且 ， 设BE=x 在ΔBDE中可得 ， ，解得 ， （舍去） 故BC=2，从而 ， 即 又 ，故 ， ★★★高考要考什么 【考点透视】 本专题主要考查正弦定理和余弦定理． 【热点透析】 三角形中的三角函数关系是历年高考的重点之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力： (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化； (3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘 ★★★突破重难点 【范例1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为 。 （1） 判断△ABC的形状； （2） 求△ABC的面积。 解析（1） b=acosC， 由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#） B= , sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC， cosAsinC=0,又A，C EMBED Equation.3 cosA=0，A= ， △ABC是直角三角形。 （2） △ABC的最大边长为12，由（1）知斜边 =12，又 △ABC最小角的正弦值为 ， Rt△ABC的最短直角边为12 =4，另一条直角边为 S△ABC = =16 【点晴】此题主要考查三角函数变换及正弦定理的应用.用正弦定理化边为角，再以角为突破口，判断出△ABC的形状，最后由已知条件求出三条边，从而求面积. 【文】在△ABC中，若tanA︰tanB＝ ，试判断△ABC的形状． 解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得 ∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0． ∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝ ． 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a2＋b2＝c2，　a2＋b2>c2（锐角三角形），a2＋b2＜c2（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索． 【范例2】 中，内角 . . 的对边分别为 . . ，已知 . . 成等比数列，且 EMBED Equation.3 （1）求 的值； （2）若 ，求 的值 解析（1）由 EMBED Equation.3 得 ，由 得 ， （2）由 得： ，因 EMBED Equation.3 ，所以： ，即： 由余弦定理 得 于是： 故 EMBED Equation.3 【点晴】 以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑和计算推理能力是高考命题的一个重要方向，因此要特别关注三角函数在解斜三角形中的灵活应用. 【文】在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边， . (1)求角A的度数； (2)若a= ，b+c=3，求b和c的值. 解析 【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛. 【范例3】已知△ABC的周长为6， 成等比数列，求 （1）△ABC的面积S的最大值； （2） 的取值范围． 解析 设 依次为a，b，c，则a+b+c=6，b²=ac． 在△ABC中得 , 故有 ．又 从而 ． （１） ，即 ． （２） ． 　 ． 【点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元．主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的． 【变式】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, △ABC的外接圆半径R= ，且满足 . (1) 求角B和边b的大小； (2) 求△ABC的面积的最大值。 解析 (1) 由 整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB ∴sin(B+C)= 2sinAcosB ∴sinA=2sinAcosB ∴cosB= ∴B= ∵ b=2RsinB ∴b=3 (2)∵ = ∴当A= 时, 的最大值是 ． 【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用 【范例4】某观测站C在城A的南20˚西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问还需走多少千米到达A城？ 解析 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚． 设∠ACD = α ，∠CDB = β ．在△CDB中，由余弦定理得： ， ． ． 在△ACD中得 ． 所以还得走15千米到达A城． 【点晴】 运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之． 【变式】已知半圆O的直径AB=2，P为AB延长线上一点，OP=2，Q为半圆上任意一点，以PQ为一边作等边三角形PQR（P、Q、R为顺时针排列），问点Q在什么位置时，四边形OPRQ面积最大，并求这个最大面积. 解析 设 面积 ， 而△POQ面积S2= ， ∴四边形OPRQ面积 . 【点睛】三角函数在实际问题中的应用问题. ★★★自我提升 1．在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinA·sinB( B ) （A）.有最大值 和最小值 （B）.有最大值 但无最小值 （C）.既无最大值也无最小值 （D）.有最大值1但无最小值 2．已知非零向量 与 满足 且 则 为（ D ） （A）等边三角形　　　　　　　　　（B）直角三角形 （C）等腰非等边三角形　　　　　　（D）三边均不相等的三角形 3．△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小是 （ A ） （A） （B） （C） 或 （D） 或 4.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( A ) (A)arccos (B)arcsin (C)arccos (D)arcsin 5. 已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 . （0，2） 6．已知定义在R上的偶函数 在区间 上单调递增,若 的内角A满足 ,则A的取值范围是 ___ EMBED Equation.3 7．数列{a n}中，首项a1＝2，前n项和为Sn，且 . （1）判断数列{a n}是否为等比数列，并证明你的结论？ （2）若对每个正整数n，以a n，a n+1，a n+2为边长都能构成三角形，求t的取值范围。 解析 (1)略 （2） 【文】在 中， . . 的对边分别为 . . 。 （1） 若a,b,c 成等比数列，求f(B)=sinB+ cosB的值域。 （2） 若a,b,c 成等差数列，且A-C= ，求cosB的值。 解析 (1) ∵ , 当且仅当 时取等号, ∵f(B)=sinB+ cosB= ∵ ∴ 的值域为 (2) ∵ ∴ sinA+sinC=2sinB ∵ ∴ C= ∴sin( )+sin( )=2sinB 展开,化简,得 , ∵ , ∴ ∴ cosB= 8．在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD∶AB的值. 解析 按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再设AB=a，AD=x， ∴DP=x.在△ABC中，∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ， 由正弦定理知： .∴BP= 在△PBD中， , ∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°， ∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时，sin(60°+2θ)=1， 此时x取得最小值 a，即AD最小， ∴AD∶DB=2 －3. 【文】在 中， 分别为角 的对边，且满足 （１）求角 大小； （２）若 ，当 取最小值时，判断 的形状． 解析（１） ， ， ． ， ， ． （２）由余弦定理 ，得　 ． ， ． 所以 的最小值为 ，当且仅当 时取等号．此时 为正三角形． � EMBED PBrush ��� _1038895697.unknown _1038895707.unknown _1038898744.unknown _1038898756.unknown _1038898772.unknown _1038898788.unknown _1038902549.unknown _1038914604.unknown _1038914632.unknown _1057123812.unknown _1057123903.unknown _1057123972.unknown _1057123986.unknown _1057124046.unknown _1057124183.unknown _1108211159.unknown _1108211279.unknown _1108379854.unknown _1108380895.unknown _1108381215.unknown _1109233549.unknown _1109233572.unknown _1109233579.unknown _1109233602.unknown _1126237326.unknown _1126237581.unknown _1126286917.unknown _1126287118.unknown _1126292594.unknown _1126292750.unknown _1126292784.unknown _1126292956.unknown _1126293135.unknown _1126293252.unknown _1133086196.unknown _1133086239.unknown _1133086250.unknown _1133086293.unknown _1133086316.unknown _1133086344.unknown _1179729301.unknown _1179729302.unknown _1179729303.unknown _1179729304.unknown _1179729305.unknown _1179729306.unknown _1179814230.unknown _1179814257.unknown _1179814264.unknown _1179814271.unknown _1179814325.unknown _1179814331.unknown _1179814336.unknown _1179814359.unknown _1179814360.unknown _1179814361.unknown _1179814392.unknown 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