弹性力学与有限元分析试题及参考答案

弹性力学与有限元分析试及参考答案 四、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1） ， ， ； （2） ， ， ； 其中，A，B，C，D，E，F为常数。 解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 ；（2）在区域内的相容方程 ；（3）在边界上的应力边界条件 ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。 （2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量 ， ， ，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程 得 即 由x，y的任意性，得 由此解得， ， ， 3、已知应力分量 ， ， ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。 解：将已知应力分量 ， ， ，代入平衡微分方程 可知，已知应力分量 ， ， 一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。 按应力求解平面应力问题的相容方程： 将已知应力分量 ， ， 代入上式，可知满足相容方程。 按应力求解平面应变问题的相容方程： 将已知应力分量 ， ， 代入上式，可知满足相容方程。 4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。 （1） ， ， ； （2） ， ， ； （3） ， ， ； 其中，A，B，C，D为常数。 解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知： （1）相容。 （2） （1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。 （3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则 ， ， （1分）。 5、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。 解：将应力函数 代入相容方程 可知，所给应力函数 能满足相容方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 ， ， 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为： 上边， ， ， ， ， ； 下边， ， ， ， ， ； 左边， ， ， ， ， ； 右边， ， ， ， ， 。 可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数 能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。 6、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。 解：将应力函数 代入相容方程 可知，所给应力函数 能满足相容方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 ， ， 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为： 上边， ， ， ， ， ； 下边， ， ， ， ， ； 左边， ， ， ， ， ； 右边， ， ， ， ， 。 可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数 能解决矩形板受均布剪力的问题。 7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为 ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。 解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设 。由此可知 将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式 将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得 2.3 直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶的水压力和自重作用，如图2.14所示。若按一个单元计算，水的容重 ，三角形平面构件容重 ,取泊松比 =16，试求顶点位移和固定面上的反力。 解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3 建立坐标 （1） 求形函数矩阵： 图（2.14） 形函数: 所以： 形函数的矩阵为： （2） 刚度矩阵 可得： （3）位移列向量和右端项 由边界条件可确定： 水压力和构件厚分别为： 自重为W与支座反力： 所以： 由 得到下列矩阵方程组： 化简得： 可得： 将 代入下式： 固定面上的反力： 从而可得支座反力为： 这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即 ， 这两个方程要求 ， 代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得 对应应力分量为 以上常数可以根据边界条件确定。 左边， ， ， ，沿y方向无面力，所以有 右边， ， ， ，沿y方向的面力为q，所以有 上边， ， ， ，没有水平面力，这就要求 在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即 将 的表达式代入，并考虑到C=0，则有 而 自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求 在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即 ， 将 的表达式代入，则有 由此可得 ， ， ， ， 应力分量为 , , 虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。 8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为 ， ，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为， ， ， ，试导出相应的相容方程。 证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量 ， ， 应当满足平衡微分方程 （1分） 还应满足相容方程 （对于平面应力问题） （对于平面应变问题） 并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。 首先考察平衡微分方程。将其改写为 这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为 根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得 ， 同样，将第二个方程改写为 （1分） 可见也一定存在某一函数B（x，y），使得 ， 由此得 因而又一定存在某一函数 ，使得 ， 代入以上各式，得应力分量 ， ， 为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数 必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得 简写为 将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得 简写为 9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为 ，试用纯三次的应力函数求解。 解：纯三次的应力函数为 相应的应力分量表达式为 , , 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。 上边， ， ， ，没有水平面力，所以有 对上端面的任意x值都应成立，可见 同时，该边界上没有竖直面力，所以有 对上端面的任意x值都应成立，可见 因此，应力分量可以简化为 ， ， 斜面， ， ， ，没有面力，所以有 由第一个方程，得 对斜面的任意x值都应成立，这就要求 由第二个方程，得 对斜面的任意x值都应成立，这就要求 （1分） 由此解得 （1分）， 从而应力分量为 , , 设三角形悬臂梁的长为l，高为h，则 。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0，沿y方向的分量为 。因此，所求 在这部分边界上合成的主矢应为零， 应当合成为反力 。 可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。 10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角 ，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为 ，液体的密度为 ，试求应力分量。 解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与 成正比（g是重力加速度）；另一部分由液体压力引起，应当与 成正比。此外，每一部分还与 ，x，y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2， 和 的量纲是L-2MT-2， 是量纲一的 量，而x和y的量纲是L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是 ， ， ， 四项的组合，而其中的A，B，C，D是量纲一的量，只与 有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。 其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设 相应的应力分量表达式为 , , 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。 左面， ， ， ，作用有水平面力 ，所以有 对左面的任意y值都应成立，可见 同时，该边界上没有竖直面力，所以有 对左面的任意y值都应成立，可见 因此，应力分量可以简化为 ， ， 斜面， ， ， ，没有面力，所以有 由第一个方程，得 对斜面的任意y值都应成立，这就要求 由第二个方程，得 对斜面的任意x值都应成立，这就要求 由此解得 ， 从而应力分量为 , , 位移边界条件 对称、固定边和简支边上支点的已知位移条件如下： 对称轴: 法线转角=0 固定边: 挠度=0 (或已知值) 边线转角=0 (或已知值) 法线转角=0 (或已知值) 简支边: 挠度=0 (或已知值) 边线转角=0 (或已知值) 计算图示四边固定方板 方板的边长为l，厚度为t，弹性模型量为E，波松比μ=0.3，全板承受均布法向荷载ｑ，求薄板中的挠度和内力。 单元划分： 为了说明解题方法，采用最简单的网络2×2， 即把方板分成四个矩形单元。由于对称性，只需计 算一个单元，例如，计算图中有阴影的单元，单元 的节点编号为１，２，３，４。 此时，单元的a, b是 计算节点荷载: 由前面的均布荷载计算公式得： 边界条件： 边界23和34为固定边，因此节点2, 3, 4的挠度、边线和法线转角均为零。边界12和14为对称轴，因此θx1 =0、θy1 =0。于是，在4个节点和12个位移分量中,只有一个待求的未知量 。 结构的代数方程组： 这是一个单元的计算题目，单元刚度矩阵在此处即为总刚度矩阵。引入支承条件后，在总刚度矩阵中只取第一行、列元素，在方程组右端项中只保留第一个元素。于是结构的代数方程为： 同此解出 。其中 内力: 利用式(4-2-6)可求得方板中点力矩为： 由表看出，网格越密，计算结果越接近于精确答案。还可看出，位移的精度一般比内力的精度高，这是因为在位移法中，位移是由基本方程直接求出的，而内力则是根据位移间接求出的。 第三章 平面问题有限单元法 习题答案 3-2图示等腰直角三角形单元，设 =14，记杨氏弹性模量E，厚度为t，求形函数矩阵[N]、应变矩阵[B]、应力矩阵[S]与单元刚度矩阵[K]e。 【解】： 3-3正方形薄板，受力与约束如图所示，划分为两个三角形单元， =14，板厚为t，求各节点位移与应力。 【解】： 载荷向量： 3-4三角形单元i,j,m的j，m边作用有如图所示线形分布面载荷，求结点载荷向量。 【解】：面力移置公式： 其中： 所以: 载荷分布函数： 积分函数： 所以: 3-5图示悬臂深梁，右端作用均布剪力，合力为P，取 =13，厚度为t，如图示划分四个三角形单元，求整体刚度方程。 【解】： 算例2： 正方形薄板平面应力问题的求解 已知图示正方形薄板，沿其对角线承受压力作用，载荷沿厚度为均匀分布，P=20kNm。设泊松比u=0，板厚t=1m，求此薄板应力。 课本第42页3.7节计算结果如下： 变形： 应力： ； ； ； 1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为 ，弹性模量为 ，泊松比 ；单元的边长及结点编号见图中所示。求 (1) 形函数矩阵 (2) 应变矩阵 和应力矩阵 (3) 单元刚度矩阵 1、解： 设图1所示的各点坐标为 点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0） 于是，可得单元的面积为 ，及 (1) 形函数矩阵 为 (7分) ； (2) 应变矩阵 和应力矩阵 分别为 (7分) ， ， ； ， ， ； (3) 单元刚度矩阵 (6分) 2、图2（a）所示为正方形薄板，其板厚度为 ，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为 ，同时在 方向相应的两顶点处分别承受大小为 且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板的弹性模量为 ，泊松比 。试求 (1) 利用对称性，取图（b）所示 结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小相等、形状相同的直角三角形单元。给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。 (2) 设单元结点的局部编号分别为 、 、 ，为使每个单元刚度矩阵 相同，试在图（b）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度矩阵 。 (3) 计算等效结点荷载。 (4) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。 2、解： (1) 对称性及计算模型正确 (5分) (2) 正确标出每个单元的合理局部编号 (3分) (3) 求单元刚度矩阵 (4分) (4) 计算等效结点荷载 (3分) (5) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。 (5分) 如图3.11所示的平面三角形单元，厚度t=1cm，弹性模量E=2.0*105mpa，泊松比γ=0.3，试求插值函数矩阵N，应变矩阵B，应力矩阵S，单元刚度矩阵Ke。 解：此三角形单元可得： 2△=（10-2）*4=32，故有 a1=132*（8u1-5u2-16u3） a2=132*（4u1-4u2） a3=132*（-8u1+8u3） a4=132*（56v1-8v2-16v3） a5=132*（-4v1+4v2） a6=132*（-8v1+8v3） 而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8 b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0 b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8 b1 0 b2 0 b3 0 -4 0 4 0 0 [B]=12△* 0 c1 0 c2 0 c3 =132* 0 -8 0 0 8 c1 b1 c2 b2 c3 b3 -8 4 0 8 0 1 γ 0 1 0.3 0 [D]=[E(1-γ2)]* γ 1 0 =[E0.91]* 0.3 1 0 0 0 (1-γ)2 0 0 0.35 1 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0 [S]=[D]*[B]={E0.91}* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25 0 0 0.35 -0.25 0.125 0 0.25 0 1.4 0 -1.4 -0.7 0 0.7 0 4 -0.6 -4 0 0 [K]①=BT*D*B①*t*△={E36.4}* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7 -0.7 -4 1.3 -0.6 -1 0.35 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.7 0 0.7 -0.35 0 0 1 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.35 0.7 0 -0.7 -0.35 0 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7 [K]②=BT*D*B②*t*△={E36.4}* 0.6 0 0 4 -0.6 -4 1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.5 3.12 求下图中所示的三角形的单元插值函数矩阵及应变矩阵，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求单元内的应变和应力，求出主应力及方向。若在单元jm边作用有线性分布面载荷（x轴），求结点的的载荷分量。 解：如图2△=643，解得以下参数： a1=19 a2=-2 a3=6； b1=-3 b2=4 b3=-1；c1=-1 c2=-3 c3=4； N1={643}*(19-3x-y) N2={643}*(-2-3x-3y) N3={643}*(6-x+4y) 故N= Ni 0 Nj 0 Nm 0 0 Ni 0 Nj 0 Nm 1 0 1 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1 bi 0 bj 0 bm 0 [B]={12△}* 0 ci 0 cj 0 cm ci bi cj bj cm bm -3 0 4 0 -1 0 ={643}* 0 -1 0 -3 0 4 -1 -3 -3 4 4 -1 1 γ 0 [D]={E(1-γ2)}* γ 1 0 0 0 (1-γ)2 1 γ 0 -3 0 4 0 -1 0 单元应力矩阵[S]=[D]*[B]= {E13(1-γ2)}* γ 1 0 * 0 -1 0 -3 0 4 0 0 (1-γ)2 -1 -3 -3 4 4 -1 2 1.1 -3 -u 4 3u -1 4u 2.4 单元应力[δ]=[S]*[q]= {E13(1-γ2)}* -3u -1 4u -3 -u 4 * 1.2 (u-1)2 (3u-3)2 (3u-3)2 2-2u 2-2u (u-1)2 2.4 1.4 3.13 解：二维单元在x,y坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同，在平面矩阵 180°时变化，单元作上述变化时，应力矩阵不变化。 3.14 解：令 ， ，而 ， ， 单元① 单元②： 由 和 扩充KZ（总刚度阵） 而 ，其中 ， ，化简得： 则， 3.15如图所示有限元网格， ，单元厚度 ，弹性模量 ，泊松比 。回答下述问题： （1）结点如何编号才能使结构刚度矩阵带宽最小？ （2）如何设置位移边界条件才能约束结构的刚体移动？ （3）形成单元刚度矩阵并集成结构刚度矩阵。 （4）如果施加一定载荷，拟定求解步骤。 (1) (2) （3） 解：1、节点编号如图(2)所示； 2、如图(3)设置位移边界条件才能约束结构的刚体移动； 3、如图(2)所示各节点的坐标为(以m为单位)：1(0,0)，2(0.08,0)，3(0,0.04)，4(0.08,0.04 )，5(0,0.08)，6(0.08,0.08)，7(0,0.12)，8(0.08,0.12) 解：单元号 1 2 3 4 5 6 相邻结点 1 3 4 5 5 7 2 2 5 4 6 6 3 4 3 6 7 8 对于单元号1： ； ； ； ； ； ； 对于单元号2： ； ； ； ； ； ； 对于单元号3： ； ； ； ； ； ； 对于单元号4： ； ； ； ； ； ； 对于单元号5： ； ； ； ； ； ； 对于单元号6： ； ； ； ； ； ； 平面三角形单元的面积均为 弹性矩阵均为 EMBED Equation.3 应变矩阵 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 应力矩阵 单元刚度矩阵 结构刚度矩阵为： 若施加一定载荷，求解步骤为： 1、对单元编号，并列出各单元三个结点的结点号； 2、计算外载荷的等效结点力，列出结构结点载荷列阵； 3、计算单元刚度矩阵，组集结构整体刚度矩阵 4、引入边界条件，即根据约束情况修正结构有限元方程，特别是消除整体刚度矩阵的 奇异性，得到考虑约束条件的可解的有限元方程。 5、利用线性方程组的数值解法，对结构的有限元方程进行求解，得到所有各结点的位 移向量。最后根据需要求解单元应力。 3.16一长方形薄板如图所示。其两端受均匀拉伸 。板长12cm,宽4cm，厚1cm。材料 ，泊松比 。均匀拉力 。使用有限元法求解板的内应力，并和精确解比较（提示：可利用结构对称性，并用2个三角形单元对结构进行离散）。 解： 解：结点编号 1 2 3 4 单元号 1 2 X坐标 0 12 0 12 相邻结点 1 3 Y坐标 0 0 4 4 2 2 3 4 平面三角形单元的面积均为 应力矩阵为： 单元1的应变距阵为： 单元1的单元刚度矩阵为： 单元2的应变距阵为： 单元2的单元刚度矩阵为： 总刚度矩阵为： 位移分量为： 载荷列阵为： 因为 可以得 单元1的单元应力： 单元2的单元应力： 长方形薄板内应力的精确解为：拉应力 ，用有限元法求解出的结果与精确解大致相等。 3.17 验证三角形单元的位移差值函数满足 及 。 解：平面三角形形函数为： ，其中， ， 分别是行列式2A中的第一行，第二行和第三行各元素的代数余子式。行列式中，任一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行的元素与其它行对应元素的代数余子式乘积之和为零，故有： 当 ，同时有， 同理也有： ，即 。 3.18 推导如图所示的9节点矩形单元的形函数。 解:三维杆单元的形状函数， ① 在局部坐标系中令节点1,5,2所对应的 带入①式得到节点1,5,2仅在x方向上的形函数： ② 同理可得： 由 ，即节点2,6,3，可得到沿着全局坐标系y轴的形状函数(通过变量轮换)，节点1的形函数即x，y方向的乘积： 由此可得： 同理可整理得： ， ， ， ， ， ， 3.19 如图所示为一个桁架单元，端点力为[U1，U2]，端点位移为[u1，u2]，设内部任一点的轴向位移u是坐标x的线性函数： 推导其形函数矩阵N。 解：轴向位移u是坐标x的线性函数， ，写成向量形式为 ，设两个节点的坐标为 ，代入向量形式的位移函数解 得： 则由位移函数 可得形函数为： 4.1 答：轴对称三角形环单元不是常应变单元，如果弹性体的几何形状、约束条件及载荷都对称于某一轴，则所有的位移应变及应力也是对称于此轴，这样问题称为轴对称。轴对称三角形环单元与平面常应变单元是不同的，轴对称三角形环单元的应变不是常数矩阵，其应变矩阵B=[B B B ],其中B = ， （i,j,m）。应变分量 ， ， 都是常量，但环向应变 不是常量，它与 ， ， 中的r和z有关。 4.2 答：轴对称问题中，刚度自由度：环向位移，径向位移，轴向位移。以三角环单元平均半径、平均高度进行计算的单元刚度矩阵，配合以精确积分所得的等效结点载荷矩阵，计算的结果还是不错的！ 4.3 轴对称问题的两个单元a和b，设材料的弹性模量为E，泊松比为μ = 0.15，试手算这两个单元的刚度矩阵。 解：对于 单元，由题可知： 单元a的截面面积为 单元a的刚度矩阵写成分块矩阵形式为： 其中子矩阵可写为： 所以 的刚度矩阵为 对于 单元，由题可知 单元 的截面面积为 单元 的刚度矩阵写成分块矩阵形式为： 其中子矩阵可写为： 所以单元 的刚度矩阵为 5.1 答：杆件受到纵向（平行于杆轴）载荷的作用，这样杆件的拉压问题；杆件受到横向（垂直于杆轴）载荷的作用，这是梁的弯曲问题。杆件受到力相似到薄板就有，薄板受到纵向载荷的作用，这是平面应力问题；薄板受到横向载荷的作用，这是薄板的弯曲问题。薄板的弯曲可以认为是梁弯曲的推广，是双向的弯曲问题，中面法线在变形后保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线，中面在变形后，其线段和面积的投影形状保持不变（小挠度薄板）。已知中面的挠度 ，而纵向位移 、 ，主要应力分量 ， ， 。 某一点的位移： ， ， 。 某一点的应力： , , 弹性曲面微分方程 ,其中 ……板的抗挠刚度。 5.2 答：矩形薄板单元：薄板单元位移函数并不满足连续性或相容性要求，采用这种位移函数的单元是非协调单元，这种四节点矩形弯曲单元变形后，其挠度面在单元间虽然互相连续，但其法向导数并不连续，单元间在变形后是不连续光滑（有棱）的，当单元逐渐取小的时候，还能够收敛于精确解。 三角形薄板单元：常使用面积坐标，分析表明，只以挠度 及其一阶导数 作为节点的位移函数用一般的形状函数是不可能构造满足相容性的薄板单元，需再加上二阶导数，就可以实现。在相邻单元之间，挠度是连续的，但法向的斜率是不连续的，这种位移模式是非协调单云，收敛不如矩形单元，单元足够小，节点增多，如六节点三角形，九节点三角形等。 5.3谈论在平面应力和弯曲状态组合的情况下，三角形刚度矩阵的特点 （1） 平面内的作用力产生的变形不影响弯曲变形，反之亦然 （2） 节点把转向 在两种应力状态下都不加入到变形中，相应的节点力也不存在，将平面应力状态和弯曲状态加以组合后，单元的每个节点的位移向量和节点力向量是 要指出的是，在局部坐标系中，节点位移不包括 ，但为了下一步将局部坐标系的单元刚度阵换到总体坐标系下进行集成，由于平面应力状态下的节点力 和平面应力状态下的节点位移 互不影响，弯曲应力状态下的节点 与平面应力状态下的节点位移 互不影响，所以组合应力状态下的平板、薄板单元的单元刚度矩阵如下：， = 其中矩阵 和 分别是平面应力问题和薄板弯曲问题的相应子矩阵，三角形单元的单元刚度矩阵是18×18矩阵。 6.1 结构的动态特性：结构的固有频率及其相应的模型，以及在随着时间而变形的外加激振力的激励下，机器或结构被激起的位移，应力或称被激起的动力响应，机械产品的动态性能是其重要的性能指标，尤其对现代复杂、高速、重载精密机械系统，动态性能是影响其工作性能及产品指标的关键技术指标，机械结构的动态特性问题早在上个世纪30年代就引起人们的重视，动态特性的发展为机械动态设计提供了坚实的基础。 6.2 结构离散后，在运动状态各节点的动力平衡为： 其中 , , 分别以惯性力、阻尼力和动力载荷均为矢量， 为弹性力，弹性力矢量可用节点位移 和刚度矩阵 表示为： = 式中刚度矩阵 的元素 为节点j的单位位移在节点i引起的弹性力，根据达朗贝尔原理，可利用质量矩阵和节点加速度 表示惯性如下： = 式中质量矩阵 为节点j的单位加速度在节点i引起的惯性力，设结构阻尼（滞粘），可用阻尼矩阵C和节点速度 ，表示阻尼如下： = ，将各式带入： + + = ，记 = ， = 。则运动方程： + + = 6.3单元的质量矩阵： = 质量矩阵是对称阵，各节点的质量互相耦合，即平动惯性和转动惯性之间耦合，如果把单元的一致质量集中的分配在它们的节点上，则此质量矩阵成为集中质量矩阵质量分配原则：按静力学平行力的分配法则，将单元的一致质量矩阵用集中于节点外的质量来代替，形函数计算所得的[M]称为一致质量矩阵。 6.5 结构阻尼（只与结构本身材料性质有关） 结构在自由振动过程中，如果没有能量的耗散，振动将永远保持由初始条件决定的振幅持续不停，但实际上，结构自由振动的振幅都会随时间而衰减，经过一定时间后，这是因为系统的能量因某些原因而消耗，这种能量的耗散作用称阻尼，由阻尼使振动衰减的系统称为阻尼系统。 在结构内部阻尼是非粘线的，但它近似于线性的，弹性材料，特别是金属材料表示一种结构阻尼的性质，这种阻尼是由于材料受力变形而产生的内摩擦力和变形之间产生了相位滞后。 产生能量耗散的原因有结构的内摩擦（或粘性）构件接口处的摩擦、周围介质（如空气、建筑物地基）的阻尼影响等，但有关阻尼的作用机理，目前尚未完全研究清楚。 1.推导横截面积为A的一维桁架架构单元刚度矩阵。 解：设杆件两端点位i，j，ξ，η为单元局部坐标，ξ表示单元任一截面的位置，则其发生的位移：u=a0+b1ξ，v=b0+b1ξ+b2ξ2+b3ξ3，即： u 1 0 0 ξ 0 0 = *（a0 b0 b1 a1 b2 b3）T v 1 0 ξ 0 ξ2 ξ2 [H] [α] 记{U}=[u,v]=[H]* [α]， 由i，j两端的位移分量可得：{ζ}=[G]*[ α], 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 其中[G]= 0 0 1 0 0 0 给上式左乘[G]-1,则有 1 0 0 L 0 0 0 1 L 0 L2 L3 0 0 1 0 2L 3L2 {u}=[H]* [G]-1*{ζ},令[N]= [H]* [G]-1 N1=[1-ξL 0 0 ξL 0 0], N2=[0 1-3[ξL]2+2[ξL]3 ξ*（1-ξL）2 0 3[ξL]2+2[ξL]3 ξ*（ξL-1）*ξL]， 应用几何物理方程可得：[ε]= ξn = *[ζ]=[B]* [ζ] ζn 利用虚功原理推得：[K]e=E* = EAL 0 12EIZL3 对 0 6EIZL2 4EIZL 称 -EAL 0 0 -EAL 0 -12EIZL3 -6EIZL2 0 -12EIZL3 0 -6EIZL2 2EIZL 0 -6EIZL2 -EAL 2.如图2为一个平面超静定桁架结构，在载荷P的作用下，求各个杆的轴力。此结构可以看成由14,24,34三个杆组成的，每个杆单元的两端为杆单元的结点，各结点的水平，铅直位移分别用u、v表示。 解：由题意可得：各杆件在局部坐标系下的单元刚度矩阵： 1 0 -1 0 0 0 0 0 [k]e=EAL -1 0 1 0 e=(14, 24, 34) 0 0 0 0 图2 桁架超静定结构 ①对于14杆转角γ=π2+θ，cosγ=-cosθ，sinγ=sinθ， sinθ -cosθ 0 0 cosθ sinθ 0 0 故[T]14= 0 0 sinθ -cosθ 0 0 cosθ sinθ sin2θ sinθ* cosθ -sin2θ -sinθ* cosθ 对于[K]14=[T]14 T*[K]14 *[T]14=EAL* -sinθ* cosθ cos2θ sinθ* cosθ -cos2θ -sin2θ -sinθ* cosθ sin2θ sinθ* cosθ sinθ* cosθ -cos2θ -sinθ* cosθ cos2θ ②对于24杆转角γ=90°，则有： 0 0 0 0 0 1 0 -1 [K]24= EAL* 0 0 0 0 0 -1 0 1 ③对于34杆转角γ=π2-θ，cosγ=cosθ，sinγ=-sinθ， cosθ -sinθ 0 0 -sinθ cosθ 0 0 故[T]34= 0 0 -cosθ sinθ 0 0 -sinθ cosθ 对于[K]34=[T]34 T*[K]34 *[T]34 -sin2θ sinθ* cosθ -sin2θ -sinθ* cosθ 0 0 0 0 sinθ* cosθ cos2θ -sinθ* cosθ cos2θ 0 0 0 0 sin2θ sinθ* cosθ 0 0 0 0 -sin2θ -sinθ* cosθ [K]e=[K]14+[K]24+[K]34=EAL* -sinθ* cosθ cos2θ 0 -1 0 -1 -sinθ* cosθ cos2θ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 -sin2θ -sinθ* cosθ 0 0 sin2θ sinθ* cosθ 0 0 -sinθ* cosθ -cos2θ 0 0 sinθ* cosθ cos2θ 利用[K]*{0 0 u v 0 0 0 0}={0 0 0 P 0 0 0 0}，可以解得u，v的值。 对于杆单元14时，{ }14=[K]14*{q}14可以求得； 对于杆单元24时，{ }24=[K]24*{q}24可以求得； 对于杆单元34时，{ }34=[K]34*{q}34可以求得。 3.如图3所示的钢架中，两杆为尺寸相等的等截面杆件，横截面积为A=0.5m2，截面惯性矩为I=124m4，E=3*107kpa，求解此结构。 图3 钢架 解：将杆件单元标出单元号码及结点号码（如图所示），钢架的单元参数如下： 单元数为2，结点数为3，各杆件子局部坐标系下的单元刚度矩阵： -1 0 -1 0 [K]e=EAL* 0 0 0 0 e=1,2 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 对于单元①转角γ=0°，故[K] ①=EAL* 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 对于单元②转角γ=90°，故[K] ②= EAL* 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 [K]=[K] ①+[K] ②=EAL* 0 -1 0 1 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 由[K]*{u v 0 0 0 0}=[14 -22 0 0 0 0],可以求得u，v。 本科生毕业设计（论文）规范化要求 第一部分 学生应遵守以下规范要求 一、毕业设计论文说明 1. 毕业设计论文独立装订成册，内容包括： （1） 封面（题目、学生姓名、指导教师姓名等） （2） 中、外文内容摘要 （3） 正文目录（含页码） （4） 正文（开始计算页码） （5） 致谢 （6） 参考文献 （7） 附录 2. 中、外文内容摘要包括：课题来源，主要设计，实验方法，本人主要完成的成果。要求不少于400汉字，并译成外文。 3. 毕业设计论文页数为45页-50页。 4. 纸张要求：毕业设计说明书（论文报告）应用B5纸单面打字成文。 5. 文字要求：文字通顺，语言流畅，无错别字。 6. 图纸要求：毕业设计图纸应使用计算机绘制。图纸尺寸标注应符合国家标准。图纸应按“规范”叠好。 7. 曲线图表要求：所有曲线、图表、流程图、程序框图、示意图等不得徒手画，必须按国家规定标准或工程要求绘制。 8. 参考文献、资料要求：参考文献总数论文类不少于10篇、，应有外文参考文献。文献应列出序号、作者、文章题目、期刊名、年份、出版社、出版时间等。 二、外文翻译 1. 完成不少于2万印刷符的外文翻译。译文不少于5千汉字。 2. 译文内容必须与题目（或专业内容）有关，由指导教师在下达任务书时指定。 3. 译文应于毕业设计中期2月底前完成，交指导教师批改。 4. 将原文同译文统一印成B5纸规格装订成册，原文在前，译文在后。 三、形式审查 5月15日前，将毕业设计论文上交指导教师，审查不合格者，不能参加答辩。 四、准备答辩 答辩前三天，学生要将全部材料（包括光盘、论文）统一交指导教师。 关于毕业论文格式的要求 为方便统一、规范论文格式，现将学院的相关要求做如下强调、补充： 1. 基本要求 纸型： B5纸（或16开），单面打印； 页边距： 上2.54cm，下2.54cm，左2.5cm，右2.5cm； 页眉：1.5cm，页脚1.75cm，左侧装订 正文字体：汉字和标点符号用“宋体”，英文和数字用“Times New Roman”，字号小四； 图号1-1，指第1章第1个图 在图的前部要有文字说明（如图1-1所示） 表号3-5，指第3章第5个表 在表的前部要有文字说明（如表3-5所示） 图、表的标注字体大小是五号宋体 行距： 固定值20； 页码： 居中、小五、底部。 2. 封面格式 封皮： 大连理工大学城市学院（二号、黑体、居中） 本科生毕业设计（论文）（二号、黑体、居中） 学 院：（四号、黑体、居中、下划线：电子与自动化学院） 专 业：（四号、黑体、居中、下划线、专业名字之间无空格） 学 生：（四号、黑体、居中、下划线，名字是2个字的中间空1个字、3个或3个以上字的中间无空格） 指导教师：（四号、黑体、居中、下划线，名字是2个字的中间空1个字、3个或3个以上字的中间无空格，两位指导教师的中间用顿号“、”） 完成日期：（四号、黑体、居中、下划线，如：2009年5月25日） （注意：5个下划线两端也是对齐的，单倍行距） 内 封：大连理工大学城市学院本科生毕业设计（论文）（四号、黑体） 题目 （二号、黑体、居中）； 总计 毕业设计（论文） 页（五号、宋体） 表（五号、宋体） 插图 幅 （五号、宋体） （注意：页数正常不少于40页，优秀论文原则上不少于45页） 3. 中外文摘要 中文摘要：标题“摘 要” （三号、黑体、居中、中间空1个字） 正文（不少于400字） 关键词 （五号、黑体）：3-5个主题词（五号），中间用分号“；”隔开。 外文摘要 （另起一页）：标题“Abstract” （三号、黑体、居中） 正文 （必须用第三人称） 关键词： Key words（五号、黑体）：3-5个主题词（五号）与中文关键词对应，中间用分号“；”隔开。 4. 目录 标题 “目录”（三号、黑体、居中）； 章标题（四号、黑体、居左）； 节标题（小四、宋体）； 页码 （小四、宋体）； 二、三级目录分别缩近1和2个字； 四级目录不在“目录”中体现，在正文中也不是单独一行，可以黑体（没有句号），然后空2个字接正文； 注意：正文中每章开头要另起一页； “目录”下方中间的页码和摘要一样统一用罗马字，顺接摘要的。 摘要 目录加页眉 5. 论文正文 页眉： 论文题目（居中、小五、黑体）； 章标题（三号、黑体、居中）； 节标题（四号、黑体、居左）； 正文 程序用“Times New Roman”，字号小四； 6. 参考文献 标题：“参考文献”（小四、黑体、居中） 参考文献的著录，按文稿中引用顺序排列，并注意在文内相应位置用上标标注，如：……的函数。 示例如下：（字体为五号、宋体） 期刊类：[序号]作者1，作者2，……作者n。文章名。期刊名（版本），出版年，卷次（期次）。页次 图书类：[序号]作者1，作者2，……作者n。书名。版本。出版地：出版者，出版年。页次 会议论文集：[序号]作者1，作者2，……作者n。论文集名。出版地：出版者，出版年。页次 网上资料：[序号]作者1，作者2，……作者n。文章名。网址。发表时间 7. 其它 量和单位的使用：必须符合国家标准规定，不得使用已废弃的单位（如高斯(G和Gg)、亩、克分子浓度（M）、当量能度（N）等）。量和单位不用中文名称，而用法定符号表示。 图表及公式：插图宽度一般不超过10cm，表名（小四）置上居中，图名（小四）置下居中。标目中物理量的符号用斜体，单位符号用正体，坐标标值线朝里。标值的数字尽量不超过3位数，或小数点以后不多于1个“0”。如用30Km代替30000m，用5µg代替0.005mg等，并与正文一致。图和表的编号从前至后顺序排列，图的编号及说明位于图的下方，居中；表的编号及说明位于表的上方，居中。公式编号加圆括号，居行尾。图表中的字体不应大于正文字体。注意：图表标题中的数字也是“Times New Roman”。 8．论文依次包括：封皮、内封、中文摘要、英文摘要、目录、正文、结论、致谢、参考文献、（附录），不要落项。 9．注意：上面没有说“加粗”的“黑体”，均为“黑体不加粗”。 补充： 1．答辩要求：自述15分钟，回答问题10分钟，自述要求使用PPT 答辩内容: 1）.论文题目 2）.设计内容 3）.#设计# 4）.如何完成设计 工作原理 软件或硬件设计 制作\调试\安装 5）.存在不足,今后努力的方向 6).致谢 3．最后上交学生装订好的论文、光盘、记录表、成绩单 4．光盘里的文件夹命名为：学号_姓名_年级专业班级 文件夹里包括的文件有：论文、ppt、英文翻译 1） 论文的文件名格式：学号_姓名_年级专业班号_题目（论文）_完成日期doc 2） ppt的文件名格式：学号_姓名_年级专业班号_题目（ppt）_完成日期ppt 3) 英文翻译的文件名格式：学号_姓名_年级专业班号_题目（英文翻译）_完成日期doc 例如： 答辩问题5个， 侧重总体思路一个 软件或硬件一个 翻译一个 其他2个 l/2 l/2 h/2 h/2 y x O l/2 l/2 h/2 h/2 y x O O x y b q g O x y  g 2g 1g  y x O � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 图1 （a） （b） � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 图2 对 称 � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 对 称 � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� ① ② ③ ④ （0,1） （2,1） （2,0） （0,0） ② ① y x � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 52 _1234568145.unknown _1234568278.unknown _1234568417.unknown _1234568481.unknown _1234568550.unknown _1234568591.unknown _1234568607.unknown _1234568615.unknown _1234568619.unknown _1234568623.unknown _1234568627.unknown _1234568629.unknown _1234568630.unknown _1234568631.unknown _1234568628.unknown _1234568625.unknown _1234568626.unknown _1234568624.unknown _1234568621.unknown _1234568622.unknown _1234568620.unknown _1234568617.unknown _1234568618.unknown _1234568616.unknown _1234568611.unknown _1234568613.unknown _1234568614.unknown _1234568612.unknown _1234568609.unknown _1234568610.unknown _1234568608.unknown _1234568599.unknown _1234568603.unknown _1234568605.unknown _1234568606.unknown _1234568604.unknown _1234568601.unknown _1234568602.unknown _1234568600.unknown _1234568595.unknown _1234568597.unknown _1234568598.unknown _1234568596.unknown _1234568593.unknown _1234568594.unknown _1234568592.unknown _1234568575.unknown _1234568583.unknown _1234568587.unknown _1234568589.unknown _1234568590.unknown _1234568588.unknown _1234568585.unknown _1234568586.unknown _1234568584.unknown _1234568579.unknown _1234568581.unknown _1234568582.unknown _1234568580.unknown _1234568577.unknown _1234568578.unknown _1234568576.unknown _1234568566.unknown _1234568571.unknown _1234568573.unknown _1234568574.unknown _1234568572.unknown _1234568569.unknown _1234568570.unknown _1234568567.unknown _1234568568.unknown _1234568554.unknown _1234568558.unknown _1234568560.unknown _1234568562.unknown _1234568564.unknown _1234568565.unknown _1234568563.unknown _1234568561.unknown _1234568559.unknown _1234568556.unknown _1234568557.unknown _1234568555.unknown _1234568552.unknown _1234568553.unknown _1234568551.unknown _1234568513.unknown _1234568529.unknown _1234568540.unknown _1234568546.unknown _1234568548.unknown _1234568549.unknown _1234568547.unknown _1234568542.unknown _1234568544.unknown _1234568545.unknown _1234568543.unknown _1234568541.unknown _1234568533.unknown _1234568535.unknown _1234568537.unknown _1234568538.unknown _1234568539.unknown _1234568536.unknown _1234568534.unknown _1234568531.unknown _1234568532.unknown _1234568530.unknown _1234568521.unknown _1234568525.unknown _1234568527.unknown _1234568528.unknown _1234568526.unknown _1234568523.unknown _1234568524.unknown _1234568522.unknown _1234568517.unknown _1234568519.unknown _1234568520.unknown _1234568518.unknown _1234568515.unknown _1234568516.unknown _1234568514.unknown _1234568497.unknown _1234568505.unknown _1234568509.unknown _1234568511.unknown _1234568512.unknown _1234568510.unknown _1234568507.unknown _1234568508.unknown _1234568506.unknown _1234568501.unknown _1234568503.unknown _1234568504.unknown _1234568502.unknown _1234568499.unknown _1234568500.unknown _1234568498.unknown _1234568489.unknown _1234568493.unknown _1234568495.unknown _1234568496.unknown _1234568494.unknown _1234568491.unknown _1234568492.unknown _1234568490.unknown _1234568485.unknown _1234568487.unknown _1234568488.unknown _1234568486.unknown _1234568483.unknown _1234568484.unknown _1234568482.unknown _1234568449.unknown _1234568465.unknown _1234568473.unknown _1234568477.unknown _1234568479.unknown _1234568480.unknown _1234568478.unknown _1234568475.unknown _1234568476.unknown _1234568474.unknown _1234568469.unknown _1234568471.unknown _1234568472.unknown _1234568470.unknown _1234568467.unknown _1234568468.unknown _1234568466.unknown _1234568457.unknown _1234568461.unknown _1234568463.unknown _1234568464.unknown _1234568462.unknown _1234568459.unknown _1234568460.unknown _1234568458.unknown _1234568453.unknown _1234568455.unknown _1234568456.unknown _1234568454.unknown _1234568451.unknown _1234568452.unknown _1234568450.unknown _1234568433.unknown _1234568441.unknown _1234568445.unknown _1234568447.unknown _1234568448.unknown _1234568446.unknown _1234568443.unknown _1234568444.unknown _1234568442.unknown _1234568437.unknown _1234568439.unknown _1234568440.unknown _1234568438.unknown _1234568435.unknown _1234568436.unknown _1234568434.unknown _1234568425.unknown _1234568429.unknown _1234568431.unknown _1234568432.unknown _1234568430.unknown _1234568427.unknown _1234568428.unknown _1234568426.unknown _1234568421.unknown _1234568423.unknown _1234568424.unknown _1234568422.unknown _1234568419.unknown _1234568420.unknown _1234568418.unknown _1234568353.unknown _1234568385.unknown _1234568401.unknown _1234568409.unknown _1234568413.unknown _1234568415.unknown _1234568416.unknown _1234568414.unknown _1234568411.unknown _1234568412.unknown _1234568410.unknown _1234568405.unknown _1234568407.unknown _1234568408.unknown _1234568406.unknown _1234568403.unknown _1234568404.unknown _1234568402.unknown _1234568393.unknown _1234568397.unknown _1234568399.unknown _1234568400.unknown _1234568398.unknown _1234568395.unknown _1234568396.unknown _1234568394.unknown _1234568389.unknown _1234568391.unknown _1234568392.unknown _1234568390.unknown _1234568387.unknown _1234568388.unknown _1234568386.unknown _1234568369.unknown _1234568377.unknown _1234568381.unknown _1234568383.unknown _1234568384.unknown _1234568382.unknown _1234568379.unknown _1234568380.unknown _1234568378.unknown _1234568373.unknown _1234568375.unknown _1234568376.unknown _1234568374.unknown _1234568371.unknown _1234568372.unknown _1234568370.unknown _1234568361.unknown _1234568365.unknown _1234568367.unknown _1234568368.unknown _1234568366.unknown _1234568363.unknown _1234568364.unknown _1234568362.unknown _1234568357.unknown _1234568359.unknown _1234568360.unknown _1234568358.unknown _1234568355.unknown _1234568356.unknown _1234568354.unknown _1234568321.unknown _1234568337.unknown _1234568345.unknown _1234568349.unknown _1234568351.unknown _1234568352.unknown _1234568350.unknown _1234568347.unknown _1234568348.unknown _1234568346.unknown _1234568341.unknown _1234568343.unknown _1234568344.unknown _1234568342.unknown _1234568339.unknown _1234568340.unknown _1234568338.unknown _1234568329.unknown _1234568333.unknown _1234568335.unknown _1234568336.unknown _1234568334.unknown _1234568331.unknown _1234568332.unknown _1234568330.unknown _1234568325.unknown _1234568327.unknown _1234568328.unknown _1234568326.unknown _1234568323.unknown _1234568324.unknown _1234568322.unknown _1234568305.unknown _1234568313.unknown _1234568317.unknown _1234568319.unknown _1234568320.unknown _1234568318.unknown _1234568315.unknown _1234568316.unknown _1234568314.unknown _1234568309.unknown _1234568311.unknown _1234568312.unknown _1234568310.unknown _1234568307.unknown _1234568308.unknown _1234568306.unknown _1234568286.unknown _1234568294.vsd _1234568298.unknown _1234568300.unknown _1234568302.unknown _1234568303.unknown _1234568304.unknown _1234568301.unknown _1234568299.unknown _1234568296.unknown _1234568297.vsd _1234568295.unknown _1234568290.unknown _1234568292.unknown _1234568293.vsd y x O _1234568291.unknown _1234568288.unknown _1234568289.unknown _1234568287.unknown _1234568282.unknown _1234568284.unknown _1234568285.unknown _1234568283.unknown _1234568280.unknown _1234568281.unknown _1234568279.unknown _1234568211.unknown _1234568245.unknown _1234568262.unknown _1234568270.unknown _1234568274.unknown _1234568276.unknown _1234568277.unknown _1234568275.unknown _1234568272.unknown _1234568273.unknown _1234568271.unknown _1234568266.unknown _1234568268.unknown _1234568269.unknown _1234568267.unknown _1234568264.unknown _1234568265.unknown _1234568263.unknown _1234568253.unknown _1234568258.unknown _1234568260.unknown _1234568261.unknown _1234568259.unknown _1234568255.unknown _1234568256.unknown _1234568257.vsd 1 2 3 a a _1234568254.unknown _1234568249.unknown _1234568251.unknown _1234568252.unknown _1234568250.unknown _1234568247.unknown _1234568248.unknown _1234568246.unknown _1234568228.unknown _1234568236.unknown _1234568241.unknown _1234568243.unknown _1234568244.unknown _1234568242.unknown _1234568238.unknown _1234568240.unknown _1234568239.vsd 1 3 5 2 4 6 1 2 3 4 _1234568237.unknown _1234568232.unknown _1234568234.unknown _1234568235.unknown _1234568233.unknown _1234568230.unknown _1234568231.unknown _1234568229.unknown _1234568219.unknown _1234568223.unknown _1234568226.unknown _1234568227.unknown _1234568225.unknown _1234568224.vsd j(6,3) i(2,2) m(5,6) y x o _1234568221.unknown _1234568222.unknown _1234568220.unknown _1234568215.unknown _1234568217.unknown _1234568218.unknown _1234568216.unknown _1234568213.unknown _1234568214.unknown _1234568212.unknown _1234568177.unknown _1234568194.unknown _1234568202.unknown _1234568206.unknown _1234568209.unknown _1234568210.unknown _1234568208.unknown _1234568207.vsd x y P a a 1 2 3 4 1 2 _1234568204.unknown _1234568205.unknown _1234568203.unknown _1234568198.unknown _1234568200.unknown _1234568201.unknown _1234568199.unknown _1234568196.unknown _1234568197.unknown _1234568195.unknown _1234568185.unknown _1234568189.unknown _1234568192.unknown _1234568193.unknown _1234568191.unknown _1234568190.vsd a a M(0,0) i(a,0) j(0,a) _1234568187.unknown _1234568188.unknown _1234568186.unknown _1234568181.unknown _1234568183.unknown _1234568184.unknown _1234568182.unknown _1234568179.unknown _1234568180.unknown _1234568178.unknown _1234568161.unknown _1234568169.unknown _1234568173.unknown _1234568175.unknown _1234568176.unknown _1234568174.unknown _1234568171.unknown _1234568172.unknown _1234568170.unknown _1234568165.unknown _1234568167.unknown _1234568168.unknown _1234568166.unknown _1234568163.unknown _1234568164.unknown _1234568162.unknown _1234568153.unknown _1234568157.unknown _1234568159.unknown _1234568160.unknown _1234568158.unknown _1234568155.unknown _1234568156.unknown _1234568154.unknown _1234568149.unknown _1234568151.unknown _1234568152.unknown _1234568150.unknown _1234568147.unknown _1234568148.unknown _1234568146.unknown _1234568017.unknown _1234568081.unknown _1234568113.unknown _1234568129.unknown _1234568137.unknown _1234568141.unknown _1234568143.unknown _1234568144.unknown _1234568142.unknown _1234568139.unknown _1234568140.unknown _1234568138.unknown _1234568133.unknown _1234568135.unknown _1234568136.unknown _1234568134.unknown _1234568131.unknown _1234568132.unknown _1234568130.unknown _1234568121.unknown _1234568125.unknown _1234568127.unknown _1234568128.unknown _1234568126.unknown _1234568123.unknown _1234568124.unknown _1234568122.unknown _1234568117.unknown _1234568119.unknown _1234568120.unknown _1234568118.unknown _1234568115.unknown _1234568116.unknown _1234568114.unknown _1234568097.unknown _1234568105.unknown _1234568109.unknown _1234568111.unknown _1234568112.unknown _1234568110.unknown _1234568107.unknown _1234568108.unknown _1234568106.unknown _1234568101.unknown _1234568103.unknown _1234568104.unknown _1234568102.unknown _1234568099.unknown _1234568100.unknown _1234568098.unknown _1234568089.unknown _1234568093.unknown _1234568095.unknown _1234568096.unknown _1234568094.unknown _1234568091.unknown _1234568092.unknown _1234568090.unknown _1234568085.unknown _1234568087.unknown _1234568088.unknown _1234568086.unknown _1234568083.unknown _1234568084.unknown _1234568082.unknown _1234568049.unknown _1234568065.unknown _1234568073.unknown _1234568077.unknown _1234568079.unknown _1234568080.unknown _1234568078.unknown _1234568075.unknown _1234568076.unknown _1234568074.unknown _1234568069.unknown _1234568071.unknown _1234568072.unknown _1234568070.unknown _1234568067.unknown _1234568068.unknown _1234568066.unknown _1234568057.unknown _1234568061.unknown _1234568063.unknown _1234568064.unknown _1234568062.unknown _1234568059.unknown _1234568060.unknown _1234568058.unknown _1234568053.unknown _1234568055.unknown _1234568056.unknown _1234568054.unknown _1234568051.unknown _1234568052.unknown _1234568050.unknown _1234568033.unknown _1234568041.unknown _1234568045.unknown _1234568047.unknown _1234568048.unknown _1234568046.unknown _1234568043.unknown _1234568044.unknown _1234568042.unknown _1234568037.unknown _1234568039.unknown _1234568040.unknown _1234568038.unknown _1234568035.unknown _1234568036.unknown _1234568034.unknown _1234568025.unknown _1234568029.unknown _1234568031.unknown _1234568032.unknown _1234568030.unknown _1234568027.unknown _1234568028.unknown _1234568026.unknown _1234568021.unknown _1234568023.unknown _1234568024.unknown _1234568022.unknown _1234568019.unknown _1234568020.unknown _1234568018.unknown _1234567953.unknown _1234567985.unknown _1234568001.unknown _1234568009.unknown _1234568013.unknown _1234568015.unknown _1234568016.unknown _1234568014.unknown _1234568011.dwg _1234568012.unknown _1234568010.unknown _1234568005.unknown _1234568007.unknown _1234568008.unknown _1234568006.unknown _1234568003.unknown _1234568004.unknown _1234568002.unknown _1234567993.unknown _1234567997.unknown _1234567999.unknown _1234568000.unknown _1234567998.unknown _1234567995.unknown _1234567996.unknown _1234567994.unknown _1234567989.unknown _1234567991.unknown _1234567992.unknown _1234567990.unknown _1234567987.unknown _1234567988.unknown _1234567986.unknown _1234567969.unknown _1234567977.unknown _1234567981.unknown _1234567983.unknown _1234567984.unknown _1234567982.unknown _1234567979.unknown _1234567980.unknown _1234567978.unknown _1234567973.unknown _1234567975.unknown _1234567976.unknown _1234567974.unknown _1234567971.unknown _1234567972.unknown _1234567970.unknown _1234567961.unknown _1234567965.unknown _1234567967.unknown _1234567968.unknown _1234567966.unknown _1234567963.unknown _1234567964.unknown _1234567962.unknown _1234567957.unknown _1234567959.unknown _1234567960.unknown _1234567958.unknown _1234567955.unknown _1234567956.unknown _1234567954.unknown _1234567921.unknown _1234567937.unknown _1234567945.unknown _1234567949.unknown _1234567951.unknown _1234567952.unknown _1234567950.unknown _1234567947.unknown _1234567948.unknown _1234567946.unknown _1234567941.unknown _1234567943.unknown _1234567944.unknown _1234567942.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567938.unknown _1234567929.unknown _1234567933.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567934.unknown _1234567931.unknown _1234567932.unknown _1234567930.unknown _1234567925.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567926.unknown _1234567923.unknown _1234567924.unknown _1234567922.unknown _1234567905.unknown _1234567913.unknown _1234567917.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567918.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567914.unknown _1234567909.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567897.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown