高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

第十章曲线积分与曲面积分习简答 习题10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1） ，其中 是圆 中 到 之间的一段劣弧； 解: ． （2） ，其中 是顶点为 及 所成三角形的边界； 解: ． （3） ，其中 为圆周 ； 解: ． （4） ，其中 为折线段 ，这里 ， ； 解:     ． 2 求八分之一球面 的边界曲线的重心，设曲线的密度 。 解  故所求重心坐标为 ． 习题10—2 1 设 为 面内一直线 （ 为常数），证明 。 证明：略. 2 计算下列对坐标的曲线积分： （1） ，其中 为抛物线 上从点 到点 的一段弧。 解 : 。 （2） ，其中 是曲线 从对应于 时的点到 时的点的一段弧； 解       ． （3） 是从点 沿上半圆周 到点 的一段弧； 解 （4） ，其中 沿右半圆 以点 为起点，经过点 到终点 的路径； 解 。 （5） ，其中 为从点 到点 的直线段 ； 解      。 （6） ， 为椭圆周 且从 轴正方向看去， 取顺时针方向。 解: 。 习题10—3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积: (1) 星形线 ( )；） 解: 。 (2) 圆 ，（ ）； 解: 。 2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1) ，其中 是圆 ，方向是逆时针方向； 解:    。 (2) ，其中 是依次连接 三点的折线段，方向是顺时针方向。 解 :2 . (3) ，其中 为常数， 为圆 上从点 到点 的一段有向弧； 解 : 。 (4) ，其中 为椭圆 ，取逆时针方向； 解              ． (5) ，其中 ， 为圆周 取逆时针方向， 是 沿 的外法线方向导数。 解                         。 3 证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关，并计算积分值: (1) ； 解 令 ， ，则 在整个 面内恒成立，因此，曲线积分 在整个 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有 。 (2) ； 解 令 ， ，则 在整个 面内恒成立，因此， 在整个 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有 。 （3） ，其中 和 为连续函数。 解 令 ， ，则 在整个 面内恒成立，因此，曲线积分 在整个 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有 。 4 验证下列 在整个 面内为某一函数 的全微分，并求出这样的一个 ： （1） ； 解  令 ， ， ∴ 原式在全平面上为某一函数的全微分，取 ， = （2） ； 解 因为 ， ，所以 在整个 面内恒成立，因此，：在整个 面内， 是某一函数 的全微分，即有 。 易知  。 （3） 。 解  令 ， ，则在全平面上有 ，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上， 是全微分． ． 5 可微函数 应满足什么条件时，曲线积分 与路径无关？ 解 令 ， ，则 ， 。 当 ，曲线积分 在整个 面内与路径无关。 习题10—4 1 当 为 面内的一个闭区域时,曲面积分 与二重积分有什么关系? 答 当 为 面内的一个闭区域 时， 在 面上的投影就是 ，于是有 。 2 计算曲面积分 ，其中 是 （1）锥面 及平面 所围成的区域的整个边界曲面； 解            。 （2） 面上的直线段 绕 轴旋转一周所得到的旋转曲面。 解          。 3 计算下列曲面积分: (1) ，其中 是抛物面在 面上方的部分： , ； 解： . (2) ，其中 是上半球面 , ； 解： . （3） ，其中 为平面 在第一卦限的部分； ． （4） ，其中 是柱面 被平面 ﹑ 所截得的部分. 解  . 同理可求得 . 所以 . 4 求抛物面壳 （ ）的质量，此壳的密度为 。 解 . 习题10—5 1当 为 面内的一个闭区域时,曲面积分 与二重积分有什么关系?答 当 为 面内的一个闭区域时, 的方程为 。若 在 面上的投影区域 为 ，那么 ， 当 取上侧时，上式右端取正号; 当 取下侧时，上式右端取负号。 2 计算下列对坐标的曲面积分: (1) ，其中 是以坐标原点为中心，边长为2的立方体整个表面的外侧； 解 ： . （2） ，其中 为旋转抛物面 介于 之间部分的下侧。 解： 。 （3） ，其中 为 ， 的上侧； 解∴ 原式= = （4） ，其中 是由平面 ， ， ， 所围成的四面体的表面的外侧。 解： 。 3 把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分，这里 为平面 在第一卦限的部分的上侧。 解： 习题10—6 1 利用高斯公式计算下列曲面积分： （1） ，其中 为柱面 及平面 及 所围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧。（《高等数学》P170 例1） 解： 。 （2） ，其中 为曲面 及平面 ﹑ 所围成的空间区域的整个边界的外侧。 解 =0. （3） ，其中 为锥面 介于平面 ﹑ 之间的部分的下侧， ﹑ ﹑ 是 在点 处的法向量的方向余弦。 解： 。 2 利用高斯公式计算三重积分 ， 其中 是由 ， ， 及 所确定的空间闭区域。 解 ： 。 3 利用斯托克斯公式计算下列曲线积分： （1） ，其中 为平面 与三个坐标面的交线，其正向为逆时针方向，与平面 上侧的法向量之间符合右手规则； 解 ：              。 （2） ，其中 为以点 ﹑ ﹑ 为顶点的三角形沿 的方向。 解 ：      。 习题10—7 1 若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量。） 解： 。 2 设某流体的流速为 ，求单位时间内从圆柱 ： （ ）的内部流向外侧的流量（通量）。 解 ： 0. 3 求向量场 的散度。 解      v 。 4 求向量场A i j k （ 为常数）沿有向闭曲线 （从 轴的正向看 依逆时针方向）的环流量。 解： 。 复 习 题 A 一、 选择题 1．设 是从原点 沿折线 至点 的折线段,则曲线积分 等于（  C  ）． A． ．          B． ．      C． ．          D． ． 2．若微分 为全微分，则 等于（ B  ）． A． ．          B． ．        C． ．        D． ． 3．空间曲线 的弧长等于（  D  ）． A． ．          B． ．      C． ．        D． ． 4．设 为上半球面 ， 为 在第一卦限的部分，则下列等式正确的是（  D  ）．      A． ．              B． ．      C． ．            D． ． 5．设 为球面 的外侧，则积分 等于（ A  ）．  A． ．  B． ．  C． ．    D． ． 二、 填空题 1．设曲线 为圆周 ,则 ． 2．设 为任意一条分段光滑的闭曲线，则曲线积分 ．  3．设 是以原点为球心, 为半径的球面,则 ． 4．设 为球面 的下半部分的下侧,则曲面积分 ．  5．向量场 的旋度 ． 三、计算题 1.  计算     ： 解：∴ = 2．计算 ,其中 为右半圆 以点 为起点,点 为终点的一段有向弧； 解： 。 3．计算 ,其中 为平面 在第一卦限中的部分； 解 ： 。 4. 计算 ,其中 是球面 的上半部分并取外侧； 解 。 5．验证：在整个 面内, 是某一函数 的全微分,并求出一个这样的函数.。 解 因为 , ,所以 在整个 面内恒成立,因此,在整个 面内, 是某一函数 的全微分, 所求的函数为 . 四、计算曲线积分 ,其中 为闭曲线 ，若从 轴正向看去, 取逆时针方向. 解 ： 0. 五、计算曲面积分 ,其中 是线段 绕 轴旋转一周所得的旋转曲面． 解： 。 六、计算曲面积分 ,其中 为 上的抛物线 绕 轴旋转一周所得的旋转曲面介于 和 之间的部分的下侧． 解： ， 七、设一段锥面螺线 上任一点 处的线密度函数为 ,求它的质量． 解： 。 八、设 具有一阶连续导数,积分 在右半平面 内与路径无关,试求满足条件 的函数 ． 解  令 ， ，依题意，有 ， 为所求的函数。 九、设空间区闭域 由曲面 与平面 围成,其中 为正常数,记 表面的外侧为 , 的体积为 ,证明： ． 证明略。 复 习 题 B 一、填空题 1．设 的方程 ,则 2．设 为正向圆周 ，则曲线积分 的值为 ． 3．设 是曲面 介于 和 之间的部分,则曲面积分 的值为 ． 4．设 是由锥面 与半球面 围成的空间闭区域, 是 的整个边界的外侧,则 ． 5．设 , 则矢量场 通过曲面 上半部分的流量 ． 二、计算题 1．  计算曲线积分 ， （1） 是第一象限内从点 到点 的单位圆弧 （2） 是ⅠⅣ象限从 到 的单位圆弧； （3） ：   ( ) （4） ： ，   解  (1) 1. （2）=     (3) (4) 2．计算 ,其中 为正的常数, 为从点 沿曲线 到点 的弧． 解： . 3．计算曲面积分 ,其中 是圆柱面 介于平面 与 之间的部分. 解： . 4．计算曲面积分 ,其中 是球面 的外侧． 解： . 三﹑确定常数 ,使在右半平面 上的向量 为某二元函数 的梯度,并求 ． 解: . 四、计算 , ,其中 为曲面 的上侧． 解: = 。 五、设 具有二阶连续偏导数, 是闭曲面 的外法线向量, 所围成的闭区域为 ,试证明 ． 证明略。 六、设曲面 为球面 ,试证明 . 证明略。