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常见的“概率分布表 + 分布图”汇总(内容源自书本,同时本人额外加了许多内容进去。此表可直接打印)整理人:算法君
说明,我们学过的各种概率分布公式较多且形式多样,各分布的数学期望及方差是常用的数据,为方便做题目,也方便记忆故作此表,并在此共享给大家希望给大家提供一定方便!
类 分布 数学标记 参数 分布律或概率密度 数学期望 方差
离
散
型
单点分布(退化
分布)
b0(𝑎, 1) a P(x = a) = 1 a 0
(0-1)分布(两点
分布或伯努利分
布)
b(1, 𝑝) 0 < p < 1 P{𝑋 = 𝑘} = 𝑝𝑘(1 − 𝑝)1−𝑘 , 𝑘 = 0,1 p 1-p
二项分布 B(𝑛, 𝑝) 0 < p < 1
n ≥ 1
P{𝑋 = 𝑘} = 𝐶𝑛
𝑘𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘
K=0,1,2…
np np(1-p)
负二项分布(帕
斯卡分布)
B0(𝑟, 𝑝) 0 < p < 1
r ≥ 1
P{𝑋 = 𝑘} = 𝐶𝑘−1
𝑟−1𝑝𝑟(1 − 𝑝)𝑘−𝑟
K=r,r+1,…
𝑟
𝑝
𝑟(1 − 𝑝)
𝑝2
几何分布 G(𝑝) 0 < p < 1 P{𝑋 = 𝑘} = (1 − 𝑝)𝑘−1𝑝
K=1,2,…
1
𝑝
1 − 𝑝
𝑝2
超几何分布 H(𝑁,𝑀, 𝑛) N,M,n
(M≤N,n≤
N)
P{𝑋 = 𝑘} =
𝐶𝑀
𝑘𝐶𝑁−𝑀
𝑛−𝑘
𝐶𝑁
𝑘
k ∈ Z,max{0, 𝑛 − 𝑁 +𝑀} ≤ 𝑘 ≤ min {𝑛,𝑀}
𝑛𝑀
𝑁
𝑛𝑀
𝑁
(1 −
𝑀
𝑁
) (
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
)
泊松分布 π(𝜆) 𝜆 > 0
P{𝑋 = 𝑘} =
𝜆𝑘𝑒−𝜆
𝑘!
K=0,1,2,…
𝜆 𝜆
连
续
型
均匀分布 U(a, b) a < b
f(x) = {
1
𝑏 − 𝑎
, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
0 , 其它
𝑎 + 𝑏
2
(𝑏 − 𝑎)2
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正态分布(高斯
分布)
N(μ, 𝜎2) μ
σ > 0
f(x) =
1
√2𝜋𝜎
𝑒−(𝑥−𝜇)
2 (2𝜎2)⁄
μ
𝜎2
对数正态分布
若 X~N(μ,σ2)
且Y = eX则 Y
服从该分布
μ
σ > 0 f(x) = {
1
√2𝜋𝜎𝑥
𝑒−(ln𝑥−𝜇)
2 (2𝜎2)⁄ , 𝑥 > 0
0 , 其它
eμ+
𝜎2
2 e
2μ+𝜎2(𝑒𝜎
2
− 1)
逆高斯分布 N−1(μ, λ) λ, μ > 0
f(x) =
{
√
𝜆
2𝜋𝑥3
𝑒−𝜆(𝑥−𝜇)
2 (2𝜇2𝑥)⁄ , 𝑥 > 0
0 , 其它
μ μ3
𝜆
Γ分布(伽玛分
布)
Γ(𝛼, 𝛽) 𝛼, 𝛽 > 0
f(x) = {
1
𝛽𝛼Γ(𝛼)
𝑥𝛼−1𝑒−𝑥 𝛽⁄ , 𝑥 > 0
0 , 其它
𝛼𝛽 𝛼𝛽2
指数分布(负指
数分布)
Γ(1, 𝜃) 𝜃 > 0
f(x) = {
1
𝜃
𝑒−
𝑥
𝜃 , 𝑥 > 0
0 , 其它
𝜃 𝜃2
注:指数分布是Γ分布的特殊情况
χ2分布 𝜒2(𝑛) 𝑛 ≥ 1
f(x) = {
1
2n 2⁄ Γ(𝑛 2⁄ )
𝑥
𝑛
2
−1𝑒−
𝑥
2 , 𝑥 > 0
0 , 其它
n 2n
非中心χ2分布 𝜒2(𝑛, 𝜆) 𝑛 ≥ 1
𝜆 > 0 f(x) =
{
𝑒
−(
𝑥+𝜆
2
)
2𝑛 2⁄
∑
𝑥
𝑛
2
+𝑖−1𝜆𝑖
Γ (
𝑛
2
+ 𝑖) 22𝑖𝑖!
∞
𝑖=0
, (𝑥 > 0)
0 , 其它
𝑛 + 𝜆 2(𝑛 + 2𝜆)
韦布尔分布 W(𝜂, 𝛽) 𝜂, 𝛽 > 0
f(x) = {
𝛽
𝜂
(
𝑥
𝜂
)𝛽−1𝑒
−(
𝑥
𝜂
)𝛽
, 𝑥 > 0
0 , 其它
𝜂Γ(
1
𝛽
+ 1) 𝜂2 {Γ (
2
𝛽
+ 1) − [Γ (
1
𝛽
+ 1)]
2
}
拉普拉斯分布 μ
λ > 0
f(x) =
1
2𝜆
𝑒−
|𝑥−𝜇|
𝜆
μ 2λ2
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瑞利分布 𝜎 > 0
f(x) = {
𝑥
𝜎2
𝑒
−
𝑥2
(2𝜎2) , 𝑥 > 0
0 , 其它
√
𝜋
2
𝜎
4 − 𝜋
2
𝜎2
帕雷托分布 P(r, a) r,a>0
f(x) = {
𝑟𝑎𝑟
1
𝑥𝑟+1
, (𝑥 ≥ 𝑎)
0 , (𝑥 < 𝑎)
𝑟𝑎
𝑟 − 1
(r>1)
𝑟𝑎2
(𝑟 − 1)2(𝑟 − 2)
(r>2)
极值分布 E(𝛼, 𝛽)
𝛼
𝛽 > 0
f(x) =
1
𝛽
𝑒
𝑒
−
𝑥−𝛼
𝛽 −
𝑥−𝛼
𝛽
𝛼 + 𝛾𝛽
(𝛾是欧拉常数)
𝜋2𝛽2
6
注:若 X 服从韦布尔分布W(𝜆, 𝜇),则𝑌 = −𝛽 ln𝑋𝜇𝜆 + α服从E(𝛼, 𝛽)分布。
逻辑斯蒂分布 α
β > 0 f(x) =
𝑒
−
𝑥−𝛼
𝛽
𝛽 (1 + 𝑒
−
𝑥−𝛼
𝛽 )
2
α 𝜋2𝛽2
3
β分布 β(𝛼, 𝛽) 𝛼, 𝛽 > 0
f(x) = {
Γ(𝛼 + 𝛽)
Γ(𝛼)Γ(𝛽)
𝑥𝛼−1(1 − 𝑥)𝛽−1 , 0 < 𝑥 < 1
0 , 其它
𝛼
𝛼 + 𝛽
𝛼𝛽
(𝛼 + 𝛽)2(𝛼 + 𝛽 + 1)
柯西分布 C(𝜆, 𝜇) α
λ > 0
f(x) =
1
𝜋
1
𝜆2 + (𝑥 − 𝛼)2
不存在 不存在
t 分布(学生氏
分布)
𝑡(𝑛) n ≥ 1
f(x) =
Γ (
𝑛 + 1
2
)
√𝑛𝜋Γ (
𝑛
2
)
(1 +
𝑥2
𝑛
)−(𝑛+1)/2
0,n>1 𝑛
𝑛 − 2
, 𝑛 > 2
非中心 t 分布 𝑡(𝑛, 𝛿) 𝛿
𝑛 ≥ 1
f(x) =
𝑛𝑛 2⁄ 𝑒−
𝛿2
2
√𝜋Γ (
𝑛
2
) (𝑛 + 𝑥2)
𝑛+1
2
∑Γ(
𝑛 + 𝑖 − 1
2
) (
𝛿 𝑖
𝑖!
)
∞
𝑖=0
(
2𝑥2
2 + 𝑥2
)
𝑛
2⁄
𝛿Γ (
𝑛 − 1
2
)
Γ (
𝑛
2
)
√
𝑛
2
(n>1)
𝑛(1 + 𝛿2)
𝑛 − 2
−
𝑛𝛿2
2
(
Γ (
𝑛 − 1
2
)
Γ (
𝑛
2
)
)
2
(n>2)
F 分布 𝐹(𝑛1, 𝑛2) 𝑛1 , 𝑛2
f(x) =
{
Γ [
𝑛1 + 𝑛2
2
]
Γ (
𝑛1
2
)Γ (
𝑛2
2
)
(
𝑛1
𝑛2
)(
𝑛1
𝑛2
𝑥)
𝑛1
2
−1 (1 +
𝑛1
𝑛2
𝑥)
−
𝑛1+𝑛2
2
, 𝑥 > 0
0 , 其它
𝑛2
𝑛2 − 2
, 𝑛2
> 2
2𝑛2
2(𝑛1+𝑛2−2)
𝑛1(𝑛2−2)
2(𝑛2−4)
,
𝑛2 > 2
非中心 F 分布 𝐹(𝑚, 𝑛; 𝜆)
m,n 为二自
由度
𝜆 f(x)
=
{
𝑚𝑚 2⁄ 𝑛𝑛 2⁄
Γ (
𝑛
2
)
𝑒−
𝜆
2
𝑥
𝑚
2−1
∑
(
𝜆𝑚𝑥
2
)
𝑘
Γ (
𝑚 + 𝑛
2
+ 𝑘)
Γ (
𝑚
2
+ 𝑘)𝑘! (𝑚𝑥 + 𝑛)
𝑚+𝑛
2
+𝑘
∞
𝑘=0
, (𝑥 > 0)
0 , 其它
𝑛(𝑚 + 𝜆)
𝑚(𝑛 − 2)
(n>2)
2𝑛2
𝑚2(𝑛 − 2)2(𝑛 − 4)
[(𝑚 + 𝜆)2 + (𝑛
− 2)(𝑚
+ 2𝜆)]
(n>4)
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4 / 6
5 / 6
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