第2章 行列式(第1讲)
目标与要求
了解行列式的数学背景;掌握二级与三级行列式的对角线计算法;
掌握排列、逆序数、对换的概念及其性质,会计算排列的逆序数;
深刻理解并掌握n级行列式的定义和结构特点;
会用定义式计算简单的行列式(如:三角形行列式);
重点难点
重点:掌握三级行列式的计算、理解n级行列式的定义与结构特征;掌握各种三角形行列式的计算 .
难点:排列的性质,逆序数的求法,n级行列式的若干等价定义.
安排
适当启发,循序渐进,以n级行列式的归纳定义过程为主线,以介绍n阶行列式定义式的结构特点和应用为重点.
补充例题加深对n级行列式的定义与结构特征的理解.
教学进程见幻灯片部分.
黑板与多媒体讲授相结合.
教学内容
§1 引言
1. 二阶与三阶行列式
考虑含有两个未知量
的线性方程组
.
为求得上述方程组的解,利用加减消元法,得
.
当
时,方程组有唯一解
.
注意到:上式中的分子、分母都是4个数分两对相乘再相减而得.为便于记忆,引进如下记号
并称其为二阶行列式.
二阶行列式(1.1.1)的右端表示式又称为行列式的展开式,可以用所谓对角线法则得到,即
其中实线称为行列式的主对角线,虚线称为行列式的次对角线.
方程组解中的分子可分别写作
,
因此, 当方程组的系数行列式
时,方程组的解可用行列式表示为
.
例1 解二元线性方程组
解 方程组的系数行列式
,方程组有唯一解.由
得方程组的解
类似地,在利用加减消元法求解含有未知量
的三元线性方程组
的过程中,引进记号
称为三阶行列式. 当方程组的系数行列式
时,方程组有唯一解
,
式中
是将系数行列式
的第j列换为右端常数项得到的行列式,即
.
式(1.1.3)所确定的三阶行列式可由对角线法则得到,即
- +
每一条实线上的三个元素乘积带正号,每一条虚线上的三个元素乘积带负号. 所得6项的代数和就是三阶行列式的值.这里aij代表行列式的第i行第j列的
元素
例如 三阶行列式
中,第2行第3列的元素
,第3行第1列的元素
.
例2 计算三阶行列式
解 由式(1.1.2),有
例3 解三元线性方程组
解 方程组的系数行列式
,
方程组有唯一解.由
得方程组的解
注意到求解二元、三元线性方程组解的公式(1.1.2)及(1.1.4)的相似特点,我们自然会考虑:对一般的n元线性方程组
是否也有类似于二元、三元线性方程组解的表达形式?如果有,涉及到的n阶行列式的值等于什么?这是本节要讨论的核心问题.
为了给出n阶行列式的定义,首先介绍有关排列的概念与性质.
§2. 排列
定义 由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组
称为一个n级排列.
显然,n级排列的总数为n!. 例如,由1,2,3组成3级排列总数为3!=6,即
123 132 213 231 312 321
若排列中各数是按照由小到大的自然顺序排列,通常称为标准排列.上述排列中的123是标准排列,而其余排列都或多或少地破坏了自然顺序(较大的数排在较小的数之前),对此我们有如下定义.
定义 在一个n级排列
中,若两个数的位置与大小顺序相反,称这一对数构成一个逆序;而排列
中逆序的总数称为它的逆序数,记为
.
例如
.
根据定义,可以得到求n级排列
逆序数
的
:
考虑元素
,若比
大且排在
前面的元素共有
个,则
和这些元素共构成
个逆序. 因此,排列的逆序数为
.
称逆序数为奇数的排列为奇排列,逆序数为偶数的排列为偶排列.
例1 求下列排列的逆序数,并指出它们的奇偶性.
(1) 53214; (2)
.
解 (1)
,该排列为奇排列;
(2)
,
故当
或
时,排列为偶排列;当
或
时,排列为奇排列.
以下给出与排列有关的另一概念.
定义 在一个排列
中,若其中某两数is和it互换位置,其余各数位置不变得到另一排列
,这种变换称为一个对换,记为
.特别地,相邻两元素的对换称为相邻对换.
例如 排列3421(奇)经(13)对换成为1423(偶),1423经(42)对换成为1243(奇), 1243经(43)对换成为1234(偶),即
一般地,有
定理 (1)对换改变排列的奇偶性;
(2)任一排列都可经过对换,化为标准排列.(证明略)
§3. n阶行列式
在给出n阶行列式定义之前,首先观察三阶行列式.
的结构.从展开式可以看出如下特征:
若不考虑正负号,三阶行列式的每一项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积,且元素的行标按自然顺序(从小到大)排列,列标为1,2,3的一个3级排列.因此,一般项可表示为
;
各项前的正负号规律为
取‘+’号的项,列标排列
为偶排列123,231,312;
取‘-’号的项,列标排列
为奇排列321,213,132.
当行标按自然顺序排好后,每一项的正负号由列标排列
的奇偶性决定.因此,一般项
的符号可表示为
.
三阶行列式的项数,恰好是所有3级排列的个数3!= 6项,且含正、负号的项数正好各半.
于是,三阶行列式可以写成
,
其中
表示对1,2,3三个数的所有排列j1j2j3求和.
显然,二阶行列式
也具有特征
.
类似地,可以给出n阶行列式定义.
定义 将n2个元素排成n行、n列
称为n阶行列式(determinant),其值等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积
,并冠以符号
的项的和,即
.
例1 利用定义,计算4阶行列式
.
解 由定义
,
和式中只有当
时,
. 所以
.
例2 计算n阶行列式
.
解 由定义
,
和式中只有当
时,
. 所以
.
例3 证明上三角行列式
.
证 由定义
,
和式中只有当
时,
. 所以
.
该结果表明:上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积.
类似地,下三角行列式
特别地,对角行列式
由于数的乘法满足交换律,故而行列式各项中n个元素的顺序可以任意交换.一般地,有
定理 n阶行列式
的项可以写作
.
其中
和
都是
的排列.(证明略)
据此,n阶行列式定义又可表述为
备注
1.强调n阶行列式定义式的结构特点.
2.通过课堂思考练习、评讲达到使学生吸收消化重点内容的目的.
3.该段内容需3学时.
作业布置
课后相应习题.
第2章 行列式(第2讲)
目标与要求
了解结论的论证过程,熟练掌握基本性质及推论的内容和注意事项;
会灵活运用各个基本性质化简和计算n级行列式(3);在化简计算中领会并归纳常见的解题技巧.
重点难点
重点:基本性质及推论的内涵;根据基本性质化简和计算行列式;常见解法归纳.
难点:基本性质的论证;n级行列式的计算.
设计安排
首先介绍n级行列式的各性质,其次举例演示应用各性质计算行列式的步骤及思路方法,最后归纳其方法和经验.给学生留出时间多做练习.
课堂思考练习、评讲达到使学生吸收消化重点内容的目的.
教学进程见幻灯片部分.
黑板与多媒体讲授相结合.
教学内容
§4 n级行列式的性质
定义 如果将行列式
的行换为同序数的列,得到的新行列式称为
的转置行列式(transpose determinant),记为
.即若
.
性质1 行列式与它的转置行列式具有相同的值,即
.
证 记
的转置行列式为
,则
,
由定义1.1.4及式(1.1.5),有
.
该性质表明,在行列式中行列所处的地位是同等的,即行列式的性质中对“行”成立的性质,对“列”也成立. 因此,下面只讨论有关行列式行的性质.
性质2 互换行列式的两行(列),行列式改变符号,即
通常,以
表示互换行列式的第i行和第j行,
表示互换行列式的第i列和第j列.
推论 若行列式有两行(列)完全相同,则行列式的值为零.
性质3 行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式的外面,即
.
证 由定义,有
推论1 若行列式中一行(列)的元素全为零,则行列式的值为零.
推论2 若行列式有两行(列)元素成比例,则行列式的值为零.
性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数的和, 则该行列式等于两个行列式的和,这两个行列式这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余位置的元素不变. 即
§5 行列式计算
定义 由m×n个数
排成的m行、n列的矩形数表
称为m×n矩阵(matrix).一般用大写字母
等表示,有时为表述矩阵的某些属性,也记为
或
, 其中
称为矩阵的元素.
1.矩阵的初等行变换
定义 对矩阵施行以下三种变换:
(1) 互换矩阵任意两行(列)的位置;
(2) 用非零数k乘矩阵的某一行(列)元素;
(3) 用数k乘矩阵的某行(列)各元素加到另一行(列)对应的元素上;
称为矩阵的初等行(列)变换(elementary row transformation of matrix).
为表述方便,引入记号
表示互换矩阵中第i、j行(列)的变换;
表示用非零数k乘矩阵的第i行(列)的变换;
表示用数k乘矩阵的第j行(列)各元素加到第i行(列)对应的元素上的变换.
例1 设矩阵
, 试对
施行初等变换.
解 对
施行初等行变换,有
,
定义若一个矩阵满足
(1) 元素全为零的行(如果有的话)均位于矩阵的最下方;
(2) 自上而下每一行的第一个非零元素的列标严格递增;
称该矩阵为行阶梯形矩阵(row echelon matrix).
例如
是行阶梯形矩阵,
例2 计算三阶行列式
解
例3 计算四阶行列式
解
(2) 该行列式特点是每行(列)元素之和均为6,故将第2~ 4列均加到第1列,得
例4 证明
证 事实上,
例5 计算
阶行列式
解 该行列式的特点是每行元素之和相等,故将第2~ n列均加到第1列,得
.
例6 计算行列式
解
该例中的行列式称为箭形行列式,可简单地用符号∣↖∣代替.其它箭形行列式有:∣↗∣、∣↘∣、∣↙∣,它们都可以用类似的方法化为某种三角形行列式.
备注
所举例题涉及数值型与字母型、三四级与n阶、计算题与证明题;归纳常见的解题方法与技巧.
该段内容需3学时.
作业布置
课后相应习题.
第2章 行列式(第3讲)
目标与要求
掌握余子式、代数余子式的概念和计算方法;深刻理解和掌握行列式按一行(列)展开定理及推论;全面领会代数余子式的特殊性质,会因此逆用展开定理;会灵活运用展开定理辅助计算行列式;牢记范德蒙行列式的结构及其算法.
了解Laplace定理.
重点难点