线性代数_笔记

可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。所谓反对称行列式指的是，其中主对角线上的元素全为0，而以主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号。即若d二I呦L是反对称行列式，那么它知足条件陶=-知m乙…尹-性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。即对于如下两个行列式依照那个性质能够取得下面的重要推论：如-%如吒-■孤口F…a1必“-■-a.21■Aj空zD=4二勺1%-ailai2"'%耳1钏-axlan2有D=-Dl推论如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。因为互换行列式D中的两个相同的行（列）其结果仍是D,但由性质3可知其结果为-D,因此D=-D，所以D=0。性质4如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。证设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例，不妨设第j行元素是第i行元素乘以k取得的，那么由于将行列式D中第j行的比例系数k提到行列式的外面来以后,余下的行列式有两行对应元素相同，因此该行列式的值为零，从而原行列式的值等于零。行列式中某两列元素对应成比例的情形能够类似地证明。=0例4验算x=3是否是方程的根。「•x=3是方程f（x）=0的根。这确实是右边两个行列式之和。%气2…%叫吒-%切1圮…兀+cilci2"'cisaKl%"'%证将左侧的行列式按其第i行展开即得例5证明：性质6把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D。的充要条件是k=1或k=±2证因为211001k100k:11000k-110k-11000k20k2=k2伙―1)002k02k2k②+(-nx①002所以，D=0的充要条件是k=1或丘=±2。=优此题中，为了叙述方便，我们引入了新的记号，将每一步的行变换写在等号上面（若有列变换则写在等号下面，本题没有列变换），即第一步中的②+（-1）X①表示将第一行的-1倍加到第二行上，第二步是第一列展开。根据行列式的展开定理与行列式的性质，我们有下面的定理：定理n阶行列式铀勺任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即()aii4.i十吗2堆【。冷占恥二°G疋k）行列式的计算行列式的计算要紧采纳以下两种大体方式。（1）利用行列式的性质，把原行列式化为容易求值的行列式，常用的方法是把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值。此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（-1）,在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k。（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质6在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按包含0最多的行或列展开。23104-2-1-1-212]例6计算行列式0110解由于上三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积，因此咱们只要设法利用行列式的性质将行列式化为上三角行列式，即可求出行列式的值。我们在计算例6中的行列式时，是利用行列式的性质先将它化成上三角行列式后，再求出它的值，事实上在计算行列式的值时，未必都要化成上三角或下三角行列式，若将行列式的性质与展开定理结合起来使用，往往可以更快地求出结果。10212-110。耳=1203例7计算行列式：°°1解观看到行列式的第一行第一列位置的元素a1=1，利用那个（1,1）位置的元素1把行列式中第一列的其他元素全都化为0，然后按第一列展开，可将那个四阶行列式降为三阶行列式来计算,具体步骤如下：按第一列展开，得按第二行展开375②十5X(1)在本例中,记号①㈠②写在等号下面，表示互换行列式的第一列和第二列，②+5X①21413-1211241-13215232-25327025①G②07251241056256201-50-1-500725按第一列展开725写在等号下面，表示将行列式的第一列乘以5后加到第二列。例9计算行列式:3111131111311113解那个行列式有特殊的形状，其特点是它的每一行元素之和为6，咱们能够采纳简易方式求其值，先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因数6，再将后三行都减去第一行：例10计算行列式:31116111111111111311631113110200=6=611316131113100201113611311130002@十厅CW（卄e+窈〔匚十丹（C十疔（卄电+2『（狞纣例11计算n阶行列式（n>1）：TOC\o"1-5"\h\zab0000ab00D諷=:::--000■■-abb00■■-0a.解将行列式按第一列展开，得氏二旳+0十…十0十阀iab--■00b0…000a--■00ab00…；:0…b00-■■0a■)+3(-1』00■■-ab『/一1+(-1旳上7二/+(-1)阳护例12计算范德蒙德(VanderMonde)行列式:1(兀-珂)(花-珀1二(毛-X])(也(x3~x2)甘少Eaa3asbbabscc2c3例13计算计算aaa例14=（x+4a）（x-a）4kaaaa不十4区兀十4位z+4a不十4盘x+Aaaaaa①咆axaaaaak3.a®-HSaaxaaaaaXa①咆aalzaaaaaai①咂aaaax1111111111axaaa0K-Qc000②+(-』①aa.Xaa③十(-a)①00?00aaaxa®+(-a)①000X-口0aaaak⑤+(-a)①0000x-a克拉默法那么由定理和定理归并有\Ds,i=k;[D「J=k$1产2jt+说叮咼化"I+氓!旷血=to”式]或’（一）二元一次方程组由役2①-ai2②得由a②-a21①得1121(^11^12~ai2a21)X2=的禹—对那么有J311a!2biaubia21a22=D切呂22=Da21%•••当DMO时，二元一次方程组有唯由D中的A11①+A21②+A31③得元一次方程组叫系数行列式bia12aEa11bia11a12bi%且22a23二Dia21%知3=D2a21a22%b3■■b3■a32⑷］十吟九1+^31Ai)xi=-^iAi十鸟趕1十鸟4i由D中的A12①+A22②+A32③得⑷十门芻見［十知起a)*］二对血十爲堆I十鸟念即加二2由D中的A13①+A23②+A33③得•••当DMO时，三元一次方程组有唯一样地，有下面结果定理（克拉默法则）在n个方程次方程组曲何+已耗+…二忙爲1%+%冬+…+吐靑丄二S鸟1孔十耳吧+…+%入二“⑴中，若它的系数行列式元一次方程组有唯一解。推论：在n个方程的元一次齐次方程组如％+%心+_+孤葢訐0压1环+旦尹2+…+吐忑=0中（1）若系数行列式DhO,程组只有零解=0（2）若系数行列式D=0则方程组（2）除有零解外，还有非零解（不证）例在三元一次齐次方程组「耳+耳+西二0*耐+2见一3驹二Q2口+3耳+且兀二0中，a为何值时只有零解，a为何值时有非0解。3111E)=12-3解：$'=2a-6+3-4-(-9)-a=a+2.••(1)aH-2时，DHO,只有零解⑵a=-2时，D=O，有非零解。本章考核内容小结(一)明白一阶，二阶，三阶，n阶行列式的概念明白余子式，代数余子式的概念明白行列式按一行(列)的展开公式2=叫十知Hh备熟记行列式的性质，会用展开公式或将行列式化为三角形的方式计算行列式重点是三阶行列式的计算和各行(列)元素之和相同的行列式的计算明白克拉默法那么的条件和结论本章作业习题(1)(4)(5)(6)(1)(2)习题1、2、3.(1)(2)(3)，4.(1)习题1.(1)(2)(3)2.(1)(2)4.(1)(2)5、6.(1)(2)(3)(4)(5)(8)(11)(12)(14习题第二章矩阵矩阵是线性代数学的一个重要的大体概念和数学工具，是研究和求解线性方程组的一个十分有效的工具；矩阵在数学与其他自然科学、工程技术中，和经济研究和经济工作中处置线性经济模型时，也都是一个十分重要的工具。本章讨论矩阵的加、减法，数乘，乘法，矩阵的转置运算，矩阵的求逆，矩阵的初等变换，矩阵的秩和矩阵的分块运算等问题。最后初步讨论矩阵与线性方程组的问题。矩阵的概念概念由mXn个数a（i=1,2,…，m；j=1,2,…，n）排成一个m行n列的数表1Ja=0,i=1,2,…，m；j=1,2,…，n。ijmXnij注意行列式相等与矩阵相等有本质区别,例如'1『bJ因为两个矩阵中(1,2)位置上的元素别离为0和2。可是却有行列式等式10120101矩阵的加、减法概念设人=(a)和B=(b)，是两个mXn矩阵。由A与B的对应元素相加ijmXnijmXn所取得的一个mXn矩阵，称为A与B的和，记为A+B,即卩A+B=(a+b)ijijmXn即若土加出1土尿1…叫土％gm1±気1耳2土片2当两个矩阵A与B的行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵。只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。例如4］卩14打(\8308^、/亠注意：矩阵的加法与行列式的加法有重大区别例如/1+22+21+21+12十23+3'1+132231+22312111+211=332231十22332323阶数大于1的方阵与数不能相加。若人=(a.)为n阶方阵，n>1,a为一个数，那么A+a无心义！可是n阶方阵A=(a.)ijij与数量矩阵aE能够相加：mX^11+Q旳空…弧'A十氓二旳】啦十"-%<_口吃1乐2'■■口曲+口‘由定义知矩阵的加法满足下列运算律：设A,B,C者E是mXn矩阵，O是mXn零矩阵，贝V(1)交换律A+B=B+A.(2)结合律(A+B)+C=A+(B+C).(3)A+O=O+A=A.消去律A+C=B+C=A=B.数乘运算概念关于任意一个矩阵A=(a)和任意一个数k,规定k与A的乘积为kA=(ka)ijmXnijmXn%%由概念可知,数k与矩阵A的乘积只是A中的所有元素都要乘以k,而数k与行列式D的乘积只是用k乘D中某一行的所有元素，或用k乘D中某一列的所有元素，这两种nnn数乘运算是截然不同的。根据数乘矩阵运算的定义可以知道，数量矩阵aE确实是数a与单位矩阵E的乘积。nn数乘运算律⑴结合律(kl)A=k(lA)=klA,k和1为任意实数。分配律k(A+B)=kA+kB,(k+1)A=kA+1A,k和1为任意实数。例1已知求2A-3B。-122A-3B=202/2-16-30'-9330d74=04卫4例2已知求X。且A+2X=B,E=—(_S-_.4j=—解：」1P62\a-413200-22-1乘法运算定义设矩阵A=(a.)、,,，B=(b.)，令C=(c.)、，是由下面的mXn个元素ijmXnijmXkijkXnc=ab+ab+ab(i=1,2,…，m；j=1,2,…，n)iji11ji22jikkj构成的m行n列矩阵，称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB。由此概念能够明白，两个矩阵A=(a.)和B=(b)能够相乘当且仅当A的列数与B的ijij行数相等。当C=AB时，C的行数=人的行数，C的列数=B的列数。C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。qa-P1『210鼻±i'=31J2-1,A=且AB=C求矩阵C中第二行第一列中的元素C2121解：C21等于左矩阵A中的第二亍元素与右矩阵B中第一列元素对应乘积之和例4设矩阵求AB。ua-r2109S=31l32-1,L02,/.C=2X1+1X3+0X0=521解:qa-prlL21031J2-h11AB=q1%2xO+1xl+0x2q+0x3+(-1)x01x0+0+(-l)乂2'2x14-1x34-0xO^^1+2x3+(-1)x03x0+2xl+(-l)x2J那个地址矩阵A是3X3矩阵，而B是3X2矩阵，由于B的列数与A的行数不相等,因此BA没成心义。3333也12如"广1□『^21刊2fl23010跑2叭幻丿0>1;冬=解:(1)而且能够推行有由本例可见A3E3=E3A3=A3，它与代数中的1・a=a・1=a比较可见单位矩阵E在乘法中起单位的作用。设矩阵n例6求AB和BAa『foo),B=\Jo>111丿AB=解：,RA=aVi此刻，咱们对矩阵乘法与数的乘法作一比较。数的乘法有交换律，矩阵乘法没有普遍交换律。qpS=u=旬1'JLL~10JlO-1,A=例7设1耳]41」+1」U+日]鸟亠LI1」+U+凹13alla12a13口21+0+00+匸也◎+00+0+出1呛电2LLS2=馮。证由月=勺（启+籤）可推出b=2A-E。再由nB2=（2A-E）（2A-E）=4A2-4A+Ennn证得丽=陌04护=4占0丟=貝=2口囱尸耳妇+觀內+…+冷屯3J前者是数，后者是n阶方阵，二者不相等，即ABMBA.Cflb卷’■沁〕=3-■-片务丿例12因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于n阶方阵A和B,有以下重要结论:(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2AB=BA。(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2=A2-B2OAB=BA。(3)当AB=BA时必有(AB)k=AkBk.例^UAB=BA时，(AB)2=(AB)(AB)=ABAB=A(BA)B=AABB=(AA)(BB)=A2B2但ABmBA时，那么上面结果不成立。那么有例13arf11]_pq』0.Wojboj0W1X1V1(\0)==£Woj(22]=2Bb2丿■A1^因为矩阵乘法不知足消去律，因此关于n阶方阵A和B,有以下重要结论:(1)AB=O,AMO不能推出B=O。曲=例如a『=4・L00,巾rbo；[o0>AB=(2)由A2=O不能推出A=O。..4=例如那么AB=AC,AmO不能推出r0LA=B=u二例如』0><01；(3)由r0LroL4A4山a,4kB=C。即AB=AC，但BMC(4)由A2=B2不能推出A=±B。例如，取P!B=l1一1Jt0L那么noviB2=(o:存矩阵的转置假设A=(a1,a2,...,a)那么佝1n假设息丿那么Bt=(%,b2，…，bn)例14如果已知A为lxn矩阵，BAt为rxl矩阵，证明：B为rxn矩阵。证设B为x行y列的矩阵则有BxxyATnxl=(BAT)依照可乘条件有y=n根据积的形状有x=r所以B为BJT丿xxl(04=例15(1)AB(2)(AB)TP(3)ATBT(4)BTAT解：（1）1『i、二-L丄1」j-L1□1、A1」.2_1」J0,往往省略一个“实”字。例如，都是反对称矩阵。例16证明：任意一个实方阵A都可以惟一地表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。fo巧ro一叮0e厂00/Lc-e0,都是对称矩阵；由本例可见（AB）t=BtAt，这一结果有普遍性（不证）转置运算律（1）（At）t=A（2）（A+B）t=At+Bt（3）（kA）T=kAT,k为实数。（4）（AB）t=BtAt,（人宀…入）t=A„tAn-iT・・・AiT.设A=（a..）为n阶实方阵。若A满足At=A，也就是说A中元素定乂满足满疋：a.j=a..,i,j=1,2,…，n,则称A为实对称矩阵。若A满足At=-A，也就是说A中元素满足：a..=-a..,i,j=1,2,…，n,此时必有a..=0,i=1,2,…，n,则称A为实反对称矩ijji丿..阵。实矩阵指的是元素全为实数的矩阵，在本课程中，咱们只讨论实对称矩阵和实反对称矩阵,因此证：取T"TH那么A=X+Y其中严扣十#产扣厂十川+妙吕（小化％•X是对称阵。•••Y是反对称阵。（注）举例证明了下面结论，对任意方阵A都有(A+At)是对称阵(A-At)是反对称阵例17(1)设A为n阶对称矩阵，证明：关于任意n阶方阵P,PtAP必为对称矩阵。(2)如果已知PtAP为n阶对称矩阵，问A是不是必为对称矩阵？证(1)因为A是对称矩阵，必有At=A，于是必有(PTAP)T=PTATP=PTAP这说明PTAP必为对称矩阵。(2)反之，若是PtAP为n阶对称矩阵：(PtAP)t=PtAP，那么有PTATP=PTAP，但是矩阵乘法不满足消去律，在矩阵等式两边，未必能把Pt和P消去，因此不能推出AT=A，A未必是对称矩阵。方阵的行列式由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式称为方阵A的行列式，记定义作或det(A)。即，若是则123°」的行列式为.4=例如，注意阵记号“(*)”也不同，不能用错。列数必须相等。(2)矩阵的行数与列数未必相等，但行列式的行数与(3)当且仅当以砌为n阶方阵时，才可取行列式。十卜对于不是方阵的矩阵是不可以取行列式的。元素的乘积易见，上、下三角矩阵的行列式等于它的所有对角线.nOjj=珂网2…嘶!°11(1)矩阵是一个数表，行列式是一个数，二者不能混淆，而且行列式记号Fl”与矩0■■-La□■■-01□■■-□0a■■-Cl:|aE”|=0a■■-0=|£”|=0100"-旳0□■■■口，0□■■-1一样地应有M十戒国方阵的行列式有如下性质：设A，B为n阶方阵，k为数,则（1）（行列式乘法规则）-国;（2）辄卜晌理（3）阴=円卜回。3-2A=例19设（1）,（2）的证明可由方阵行列式的概念及行列式性质直接取得。（3）的证明从略。51丄那么AB=3-2'n=【；；111711③于是得④环阴=|£4|=56,41^1=（-站）=也例20设A,B同为n阶方阵。如果AB=O，则由|-4£|=|4|^|=0明白，必咄四=°或回=°。但未必有A=O或B=0。例21证明：任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零。证：设A为2n-1阶反对称矩阵，那么有=-A。于是依照行列式性质1和性质2,取得|貝卜#=卜曙产1凶八凶，斗2\A\=0因为国是数，因此必有牛°。方阵多项式任意给定一个多项式芦（血=务沾十％严十…十加十呦和任意给定一个n阶方阵A，都可以定义一个n阶方阵f（刈=%貝十％-/H十口祖十珂耳,称f（a）为A的方阵多项式。注意：在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵而不是常数口。方阵多项式是以多项式形式表示的方阵。、\2-11例22:设曰4」，求f（人）解：才3=加-4貝十？思2假设A=B-C，其中乩=。证明例23：AAr=ArA^BC=C£-证：AAr=(B-C)(BT-Cr)=B2+EC-CB-C2^'A={Br-CTyB-C)={B^C){B-C)=B2-BC+CB-C2由二«-2BC=2CEoBC=CB方阵的逆矩阵咱们明白，关于任意一个数a#0必然存在惟一的数b,使ab=ba=1，这个b就是a的倒数，常记为’。而且a与b互为倒数。对于方阵A,我们可类似地定义它的逆矩阵。定义设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B,使得应三閑＜耳（其中耳是n阶单位阵），（）则称A是可逆矩阵（或非奇异矩阵），并称方阵B为A的逆矩阵。A的逆矩阵记为即月T工瓦假设知足（）式的方阵B不存在，那么称A为不可逆矩阵（或奇异矩阵）。由逆矩阵的定义可见若B是A的逆矩阵。则反过来A也是B的逆矩阵。即若=-4"\那么有可逆矩阵的基本性质设A，B为同阶的可逆方阵，常数&0,则（1））为可逆矩阵，且（2））（3）证：矿1才1）=理片矿1）才1=（吗疋1=A4"1=E推行有％…£⑷1、正（MX*才1〕=朋-1=£（7）假设A可逆且AB=AC,那么有消去律B=C证：，t4_1（j45）=（疔1&舀=〔才1QC如何判定一个给定方阵是不是可逆呢？为了回答那个问题，咱们先给出下面的概念定义设心晞）心，岛为岡的元素$的代数余子式（ij=l,2,...,n）,那么矩阵AiAi■■-血"片“丘“'■■-Am_称为A的伴随矩阵，记为才\由伴随矩阵的定义可以看出，在构造A的伴随矩阵时，岛必须放在用"中的第j行第i列的交叉位置上，也就是说，国I的第i行元素的代数余子式，构成飞勺第i列元素。由节中的定理可得解：=咼1=-阳21=-p]=A44c=耳1单1…Ad…如竝■■-AaPnl4垃…"mJkAn"■现在我们来证明下面的重要定理。这个定理给出了判定一个n阶方阵是否可逆的一个充要条件，以及方阵可逆时，求出其逆矩阵的一个方法。阶方阵A为可逆矩阵=1冲=°o定理证：必要性设A是n阶可逆矩阵，那么存在n阶方阵B,使朋二馮。由方阵乘积的行列式法那么，可得|4|^|=|^|=1，于是必有充分性设耳=〔覘）为n阶方阵且^°，构造如下n阶方阵:AiAaAn则由（）式可得矩阵等式，忒韶訥十由矩阵可逆的概念可知A是可逆矩阵，而且还取得了求逆矩阵公式推论：设A，B均为n阶矩阵，并且满足朋=耳，则A，B都可逆，且月t=£，矿=/o证：由应％，可得屈|=|州国=1，因此国丸且网泣，故由定理知A可逆，B也可逆。在朋呵两边左乘屮，得…办屮在两边右乘得，那个推论说明，以后咱们验证一个矩阵是另一个矩阵的逆矩阵时，只需要证明一个等式或成当即可，而用不着按概念同时验证两个等式。丿，求卫片2=-昭2=-”|=Y血=斶2=*|=说qA=例如：才解：卫二例2设4矩阵时，求出月“。-T'引，当a,b,c,d知足什么条件时，矩阵A是可逆矩阵？当A是可逆3=(-3例3判定矩阵12-1HYPERLINK\l"bookmark834"\o"CurrentDocument"-13HYPERLINK\l"bookmark836"\o"CurrentDocument"-142-4是不是可逆,求出它的逆矩阵。解：A可逆。当A可逆时，=例1，例2的结果能够作为求二阶方阵的逆矩阵或伴随矩阵的公式nar1例如卩4丿1-13②+C-2JX11)1-132-14③+1X①01-21-2-12-401-11-1=1^0故矩阵A可逆。Hl=解（1）由于2）逐个求出代数余子式和伴随矩阵：于是由上例可以看出，当n>3时，用伴随矩阵求逆矩阵计算量是很大的，特别是当n>4时不宜用伴随矩阵来求逆矩阵。4-123-11-42-f4-12.3-11.例4设A为n阶方阵，则」工°时，显然有证：由M十圖明白Zw当闊例5若才-月-羽=0。求A的逆矩阵和A+E的逆矩阵。解：（1）卫―0(2)'.■-42--4-3F=0(加眄纽-2S)=E.A-A-2E=^:.(^A+^)~l=A-2S，求（1）(2)例6设A是3阶方阵且」月卜分块矩阵每一个小块叫做矩阵的子块（子矩阵），以1oa2-101a-13□01-64o□a20□oa02例如，设令分块矩阵理论是矩阵理论中的重要组成部份，在理论研究和实际应用中，有时会碰到行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简练，常对矩阵采纳分块的方式，即用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成假设干小块子块为元素的形式的的矩阵叫分块矩阵。则A的一个分块矩阵为如此A能够看成由4个子矩阵子块）为元素组成的矩阵，它是一个分块矩阵。分块矩阵的每一行称为一个块行，每一列称为一个块列。上述分块矩阵月=（吗况2中有两个块行、两个块列。mxn矩阵的分块矩阵的一般形式为关于同一个矩阵可有不同的分块法。采纳不同的分块方式取得的是不同的分块矩阵。关于任意一个mxn矩阵，常采纳以下两种特殊的分块方式：行向量表示法，其中耳=風沁2,…卫Q,i=l,2,…，m；前者也称为将A按行分块，后者也称为将A按列分块。家l=旳=42厂3D，吟=可，和A=1可分别得到A的行分块矩阵和列分块矩阵：胡一下面我们介绍4种最常用的分块矩阵的运算。需要特别指出的是，分块矩阵的所有运算仅仅是前面所讲的矩阵运算换了一种形式的表述方法，而并不是另外定义一种新的矩阵运分块矩阵的加法把mxn矩阵A和B作一样的分块Ai吗2■■-A^11企"-%血4a…血S=乌L%"■^25.Ai4^…A.,.51R心…比.其中，州的行数=今的行数；州的列数=勺的列数，Hr,1SS,那么Ai+Bu血+%■■-九+耳「A^B=血十％…理十％§_吗1十耳4伦十E皿…仏十耳丄例i设月=（珂,旳心0,£=%旳吨』）都是四阶方阵的列向量分块矩阵。已知H=1和回7,求出行列式M+B|的值。解：依照分块矩阵加法的概念明白,A+B的前三列都有公因数2，利用行列式性质2，提出公因数后能够求出再利用行列式的性质5,把它拆开以后，即可求出附b|=2计旳,◎电0十刖=旳（的,他,抵圜|+曲心，驹加*=旳卫|+即=-8数乘分块矩阵L4二数k与分块矩阵月=〔吗）^的乘积为Ai-血血-血Ai-九分块矩阵的转置A==（吗山=(^]j)5xr那么其转置矩阵为式中，i=mj=12T。分块矩阵转置时，不但看做元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置，这一现象不妨称为'内外一起转”。AiA2Ai如'12'3457~~621._6__LiS910109iS［；6107|93S;S4975106.54l31_咱们发觉：不但每一个子矩阵的位置作了转置，而且每一个子矩阵的内部也作了转置。例3设*5忌…虑是一个用列向量表示的mxn阵，其中每一个旳都是m维列向4=例如，设13-12K-23"3"-3分块矩阵的乘法和分块方阵求逆设矩阵,。利用分块矩阵计算乘积AB时，应使左侧矩阵A的列分块方式与右边矩阵B的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待，而且相乘4i临"■AmL行耳1甩■"^2AiA2■■-也m2行g=耳1-^22'''^2fAi4a…7k叫行一耳1耳2…耳ik列b列…回，N］别“2列…吨列A=L行k行L行时，A的各子块别离左乘B的对应的子块。设A,B的分块方式分别为其中加为叫叭矩阵「12…昇£=1,2…⑸；励为X与矩阵3=1,2…品=12…,t),且的列数别离等于的行数，那么其中晞=冲1血+用禺+…+A遍(i=l,2,・・・,r,j=l,2…,t例4对于矩阵a22□O'0134s=30000a-i045100aa-i_，.0201,用分块矩阵计算AB。解：将矩阵A，B分块如下：0j21013斗oi-ia□□a-1A=1一盘12$oa30005a02□1B=其中JAB=于是得到0-E1--*,C5"|[D+CF-Ej[-Fg15因为14234「9142AB=Id233-4-5-1所以LO-2□例5设A为mxk矩阵，B为kxn矩阵，则AB为mxn矩阵。若把B采用列向量表示:那么盲珂EB=.举AB=假设把A采纳行向量表示:则4J（2）两个准对角卩11特别地，当AB=O时，由应珂的，冷,…川即=°可得隔（冋弟…"）方阵的特殊分块矩阵主要有以下三类：（凡空白处都是零块）（1）形如的分块矩阵称为分块对角矩阵或准对角矩阵，其中均为方阵。X矩阵的乘积设勺与遇门壬丄宅工）是同阶方阵，则乌」能相乘。若对某个i