专题15二重积分计算

       2021考研高等17堂课               主讲武忠祥教授专15：计算二重积分的方法和技巧 二重积分的计算方法 1．利用直角坐标计算1）先y后x若积分域D是X型区域,即积分域D可以用不等式y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b,来表示,则by2(x)f(x,y)dσ=dxf(x,y)dy∫∫∫a∫y(x)1D2）先x后y若积分域D是Y型区域,即积分域D可以用不等式x1(y)≤x≤x2(y),c≤y≤d,来表示，则dx(y)f(x,y)dσ=dy2f(x,y)dx∫∫∫c∫x(y)1D2．利用极坐标计算1）先ρ后θ若积分域D可以用不等式ρ1(θ)≤ρ≤ρ2(θ),α≤θ≤β,来表示，则βρ(θ)f(x,y)dσ=dθ2f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ∫∫∫α∫ρ(θ)1D【注】适合用极坐标计算的二重积分的特征关注微信公众号【考研成长笔记】1点滴记录，用心成长yx（1）适合用极坐标计算的被积函数:f(x2+y2),f(),f();xy（2）适合用极坐标的积分域:如x2+y2≤R2;r2≤x2+y2≤R2;x2+y2≤2ax;x2+y2≤2by;3．利用对称性和奇偶性计算1）若积分域D关于y轴对称,f(x,y)关于x有奇偶性,则:⎧⎪2∫∫f(x,y)dσ,f(−x,y)=f(x,y),f(x,y)dσ=D∫∫⎨x≥0D⎩⎪0,f(−x,y)=−f(x,y).2）若积分域关于x轴对称,f(x,y)关于y有奇偶性,则⎧⎪2∫∫f(x,y)dσ,f(x,−y)=f(x,y),f(x,y)dσ=D∫∫⎨y≥0D⎩⎪0,f(x,−y)=−f(x,y).4．利用变量对称性计算若积分域D关于直线y=x对称,则∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(y,x)dσ.DD特别的∫∫f(x)dσ=∫∫f(y)dσ.DD11tanx【例1】积分dydx=___________.(−lncos1)∫0∫yxx211e2【例2】二次积分dy(−ey)dx=_________.∫0∫yxx211e2【解】积分dy(−ey)dx中的第二项适合先对x后对y积分,但第一项适合先对y∫0∫yx后对x积分.x2x211e211e112dy(−ey)dx=dydx−dyeydx∫0∫yx∫0∫yx∫0∫y关注微信公众号【考研成长笔记】2点滴记录，用心成长x21xe12=dxdy−(1−y)eydy∫0∫0x∫01212=exdx−(1−y)eydy∫0∫0121=yeydy=(e−1)∫0222y−y216【例3】积分dyx2+y2dx的值等于___________.()∫0∫0925π【例4】设D={(x,y)x2+y2≤1}，则∫∫(3x+4y)2dxdy=_________.()D4【例5】设D是xOy平面上以（1,1）（-1,1）和（-1,-1）为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则∫∫(xy+cosxsiny)dxdy等于（）D（A）2∫∫cosxsinydxdy.（B）2∫∫xydxdy.D1D1（C）4∫∫(xy+cosxsiny)dxdy.（D）0.D1关注微信公众号【考研成长笔记】3点滴记录，用心成长π【例6】设区域D由曲线y=sinx,x=−,y=1围成，则∫∫(xy5−1)dxdy=2D（A）π.（B）2.（C）−2.（D）−π.(D)02−x212−x2【例7】积分dx(1−xy)dy+dx(1−xy)dy=()∫−1∫−x∫0∫x5577(A),(B),(C),(D),363602−x212−x2【解】dx(1−xy)dy+dx(1−xy)dy∫−1∫−x∫0∫x12−x217=2dxdy=2[2−x2−x]dx=∫0∫x∫03【例8】设f(x,y)连续，且f(x,y)=xy+∫∫f(u,v)dudv，其中D是由y=0，Dy=x2,x=1所围区域，则f(x,y)等于（C）.1（A）xy（B）2xy（C）xy+（D）xy+18【例9】计算二重积分I=∫∫r2sinθ1−r2cos2θdrdθ,D⎧π⎫其中D=⎨(r,θ)|0≤r≤secθ,0≤θ≤⎬.⎩4⎭【解】由题设知，积分区域D如图所示，将积分化为直角坐标系下的二重积分为I=∫∫r2sinθ1−r2cos2θ+r2sin2θdrdθD=∫∫y1−x2+y2dxdyD11x=dx1−x2+y2d(1−x2+y2)2∫0∫03x31111=(1−x2+y2)2dx=[1−(1−x2)2]dx.3∫03∫00关注微信公众号【考研成长笔记】4点滴记录，用心成长设x=sint，则11π1131π1πI=−2cos4tdt=−⋅⋅⋅=−.33∫033422316【例10】已知平面域D={(x,y)|x2+y2≤2y}，计算二重积分I=∫∫(x+1)2dxdy.D【解】I=∫∫(x2+2x+1)dxdyD由于D关于y轴对称，且函数2x是x的奇函数，所以∫∫2xdxdy=0Dπ2sinθI=(x2+1)dxdy=22dθρ2cos2θρdρ+π∫∫∫0∫0Dπ=82sin4θcos2θdθ+π∫0π=82sin4θ(1−sin2θ)dθ+π∫031π531π5=8(⋅⋅−⋅⋅⋅)+π=π42264224【例11】计算二重积分∫∫(x−y)dxdy，其中DD={(x,y)|(x−1)2+(y−1)2≤2,y≥x}.【解法一】如图所示，区域D的极坐标表示为π3π0≤r≤2(sinθ+cosθ),≤θ≤.443π2(sinθ+cosθ)42(x−y)dxdy=πdθr(cosθ−sinθ)dr∫∫∫∫0D483π=4(sinθ+cosθ)3d(sinθ+cosθ)∫π343π24=(sinθ+cosθ)43π43π8π48=sin4(θ+)=−.34π34关注微信公众号【考研成长笔记】5点滴记录，用心成长【解法二】极坐标平移，令x−1=rcosθ,y−1=rsinθ,则5π242(x−y)dxdy=πdθr(cosθ−sinθ)dr∫∫∫∫0D4225π=4(cosθ−sinθ)dθ∫π345π224=(sinθ+cosθ)3π45π4π48=sin(θ+)=−.34π34【例12】计算二重积分∫∫x2+y2−1dσ，其中DD={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1}。【解】如图所示，将D分成D1与D2两部分.∫∫|x2+y2−1|dσ=∫∫(1−x2−y2)dσDD1+∫∫(x2+y2−1)dσ.D2=∫∫(1−x2−y2)dσD1+[∫∫(x2+y2−1)dσ−∫∫(x2+y2−1)dσ]DD1=2∫∫(1−x2−y2)dσ+∫∫(x2+y2−1)dσ]D1Dπ1π由于(1−x2−y2)dσ=2dθ(1−ρ2)ρdρ=,∫∫∫0∫08D111(x2+y2−1)dσ=dx(x2+y2−1)dy∫∫∫0∫0D1⎛2⎞1=⎜x2−⎟dx=−∫0⎝3⎠3π1因此∫∫|x2+y2−1|dσ=−.D43关注微信公众号【考研成长笔记】6点滴记录，用心成长【例13】计算∫∫max{xy,1}dxdy，其中D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}.D【解】曲线xy=1将区域D分成如右图所示的两个区域D1和D2∫∫max{xy,1}dxdy=∫∫xydxdy+∫∫dxdyDD1D21122222x=1dx1xydy+dxdy+1dxdy∫∫∫0∫0∫∫02x21519=−ln2+1+2ln2=+ln2.44【例14】设D={(x,y)|x2+y2≤2,x≥0,y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数，计算二重积分∫∫xy[1+x2+y2]dxdy.Dπ42【解1】xy[1+x2+y2]dxdy=2dθr3sinθcosθ[1+r2]dr∫∫∫0∫0Dπ42142321⎛33⎞3=2sinθcosθdθr[1+r]dr=⎜rdr+2rdr⎟=.∫0∫02⎝∫0∫1⎠822【解2】记D1={(x,y)|x+y<1,x≥0,y≥0},22D2={(x,y)|1≤x+y≤2,x≥0,y≥0},则有2222[1+x+y]=1,(x,y)∈D1,[1+x+y]=2,(x,y)∈D2.于是∫∫xy[1+x2+y2]dxdy=∫∫xydxdy+∫∫2xydxdyDD1D2ππ142=2dθr3sinθcosθdr+2dθ2r3sinθcosθdr∫0∫0∫0∫1113=+=.848【例15】设平面域D={(x,y)1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0},计算x2y2sin(x−y)+x2ln(x2+y2)dxdy.∫∫22Dx+y【解】由于积分域D关于直线y=x对称，则关注微信公众号【考研成长笔记】7点滴记录，用心成长x2y2sin(x−y)x2y2sin(y−x)x2y2sin(x−y)dxdy=dxdy=−dxdy∫∫22∫∫22∫∫22Dx+yDx+yDx+yx2y2sin(x−y)故dxdy=0∫∫22Dx+yx2ln(x2+y2)y2ln(x2+y2)又dxdy=dxdy∫∫22∫∫22Dx+yDx+y1x2ln(x2+y2)y2ln(x2+y2)=[dxdy+dxdy]∫∫22∫∫222Dx+yDx+y1=∫∫x2+y2ln(x2+y2)dxdy2Dπ12=2dθρ2lnρ2dρ2∫0∫1π2=ρ2lnρdρ2∫1π7=[8ln2−]63⎧x=t−sint,【例16】设平面区域D由曲线⎨(0≤t≤2π)与x轴围成，计算二重积分⎩y=1−cost,∫∫(x+2y)dxdy.D【解】区域D关于x=π对称，则∫∫(x−π)dxdy=0.D⎧x=t−sint,设曲线⎨(0≤t≤2π)的直角坐标方程为y=y(x),则⎩y=1−cost,∫∫(x+2y)dxdy=∫∫(x−π)dxdy+∫∫(2y+π)dxdyDDD2πy(x)=dx(2y+π)dy∫0∫02π=[y2(x)+πy(x)]dx∫02π=[(1−cost)3+π(1−cost)2]dt∫02πtt=[(2sin2)3+π(2sin2)2]dt∫022π=2[(2sin2u)3+π(2sin2u)2]du∫0关注微信公众号【考研成长笔记】8点滴记录，用心成长ππ=322sin6udu+16π2sin4udu∫0∫0=5π+3π2【例17】已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,∫∫f(x,y)dxdy=a，其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，计算二重积分DI=xyf′′(x,y)dxdy.∫∫xyD【解1】因为f(1,y)=0,f(x,1)=0，所以fy′(1,y)=0,fx′(x,1)=0.从而111y=11I=xdxyfxy′′(x,y)dy=x[yfx′(x,y)−fx′(x,ydy)]dx∫0∫0∫0y=0∫0111x=11=−dyxfx′(x,y)dx=−[xf(x,y)−f(x,y)dx]dy∫0∫0∫0x=0∫011=dyf(x,y)dx=a.∫0∫0【解2】思考题： 1.设平面区域D由曲线y=3(1−x2)与直线y=3x及y轴围成，计算二重积分3π∫∫x2dxdy.[(−1)] D162y32.计算积分I=dxdy,其中D是第一象限中以曲线y=x与x轴为边界∫∫242D(1+x+y)2−2的无界区域.[π]16⎧ππ⎫3.已知平面区域D=⎨(r,θ)2≤r≤2(1+cosθ),−≤θ≤⎬,计算二重积分∫∫xdxdy.⎩22⎭D关注微信公众号【考研成长笔记】9点滴记录，用心成长32[+5π]34.设D时由直线y=1,y=x,y=−x围成的有界区域，计算二重积分x2−xy−y2πdxdy.[1−]∫∫22Dx+y2225.计算二重积分∫∫emax{x,y}dxdy，其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}.D[e−1]关注微信公众号【考研成长笔记】10点滴记录，用心成长