方向导数与梯度重要例题

设求f沿e=(cosθ,sinθ)在点(0,0)的方向导数.当cosθ≠0时,当cosθ=0时,因为f(cosθ,sinθ)=0用定义计算方向导数解例1用定理计算方向导数解例3.设z=3x4+xy+y3,求z在M(1,2)点处沿方向角为=135°的方向的方向导数。解例4.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处向导数值都等于1:的两个偏导数均不存在,但它在该点沿任何方向的方向导数均存在,且方此例说明:1.方向导数存在时,偏导数不一定存在.2.可微是方向导数存在的充分条件,而不是必要条件P80-2,7.例∵∴从而解解由梯度计算得故备用1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:则例解故例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数例5.设u=xy+ez,M0(1,-1,0),P(3,-3,1),求(1)在M0沿M0P的方向导数;(2)在M0沿曲线x=t,y=t2-2,z=t–t3的切线方向的方向导数(本节不讲);(3)在M0的最大方向导数与梯度。解：(1)(3)在M0的最大方向导数与梯度:设点电荷q位于坐标原点,在点处的电位为其中,为介电系数,求电位v的梯度.其中,负号说明离点电荷越远,电位越低,即电位梯度的方向与电场E的方向相反.自己计算一下这一步.例解