工程力学 第25讲 虚位移应力在弹性静力学中的应用

1第25章虚位移原理在弹性静力学中的应用作用在弹性体上的力，在弹性体变形的过程中，其作用点发生位移，力因而作功。根据机械能守恒定理，如果没有能量损失，力所作之功将转变为弹性体的应变能。据此，通过计算弹性体的应变能，可以确定弹性体在加力点、沿加力反向的位移。但是，这种难以确定任意点、沿任意方向的位移，也不能确定弹性杆件的位移函数。虚位移原理以及由虚位移原理导出的莫尔积分和基于莫尔积分的图形互乘法，不仅可以用于确定加力点、沿加力方向的位移，而且可以确定弹性体上任意点、沿任意方向的位移。本章将虚位移原理用于弹性杆件，由此导出计算弹性杆件位移的莫尔积分以及图形互乘法。§25-1基本概念25－1－1作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功25－1－2杆件的弹性应变能*§25-2互等定理25－2－1功的互等定理25－2－2位移互等定理*§25-3应用于弹性杆件的虚位移原理25－3－1原理的表述25－3－2必要性的简单证明25－3－3虚位移模式的多样性2§25-4由虚位移原理导出莫尔积分§25-5计算莫尔积分的图乘法§25-6结论与讨论25－6－1关于单位力的讨论25－6－2应用图乘法时弯矩图的另一种画法习题本章正文返回总目录3第25章虚位移原理在弹性静力学中的应用§25－1基本概念25－1－1作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和变形的增加而增加，这种情形下，力所作的功为变力功。图25－1力与位移的线性关系对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件，作用在杆件上的力与位移成线性关系(图25－1)。这时，力所作的变力功(图24－2a)为P12WF∆=（25－1）4图25－2作用在弹性体上的力所作的常力功和变力功弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡，这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变，作用在弹性体上的力，由于加力点的位移，也作功，但不是变力功，而是常力功(图25－2b):PWF∆′=（25－2）需要指出的是，上述功的表达式(25－1)和(25－2)中，力和位移都是广义的。FP可以是一个力，也可以是一个力偶；当FP是一个力时，对应的位移Δ和Δˊ都是线位移，当FP是一个力偶时，对应的位移Δ和Δˊ都是角位移。25－1－2杆件的弹性应变能杆件在外力作用下发生弹性变形时，外力功转变为一种能量，储存于杆件内，从而使弹性杆件具有对外作功的能力，这种能量称为弹性应变能，简称应变能(elasticenergy).考察微段杆件的受力和变形，应用弹性范围内力和变形之间的线性关系，可以得到微段应变能表达式，然后通过积分即可得到计算杆件应变能的公式。对于拉伸和压缩杆件，微段的应变能()lFV∆=d21dN其中d(Δl)微段的轴向变形量，Δl为杆件的伸长或缩短量：EAlFlN＝∆代入上式后，得到杆件的应变能表达式2NN122FlVFlEA=∆=（25－3）对于承受弯曲的梁，忽略剪力影响，微段的应变能为θd21dMV=其中d?为微段两截面绕中性轴相对转的角度，xEIMxxwddddd22==θ代入上式积分后，得到梁的应变能的表达式EIlMMVl2d2120==∫θ（25－4）对于承受扭转的圆轴，微段的应变能ϕd21dxMV=其中ϕd为微段两截面绕杆轴线的相对扭转角：5xGIMxddP=ϕ代入上式积分后，得到圆轴扭转时的应变能表达式P202d21GIlMMVxlx==∫ϕ（25－5）上述应变能表达式必须在小变形条件下、并且在弹性范围内加载时才适用。对于一般受力形式，杆件的横截面上同时有轴力、弯矩和扭矩作用时，由于这三种内力分量引起的变形是互相独立的，因而总应变能等于三者单独作用时的应变能之和。于是，有222NxP222FlMlMlVEAEIGI=++（25－6）对于杆件长度上各段的内力分量不等的情形，需要分段计算然后相加：222NP222iiiixiiiiiFlMlMlVEAEIGI=++∑∑∑（25－7a）或者采用积分计算：222NPddd222xlliFMMVxxxEAEIGI=++∫∫∫（25－7b）*§25－2互等定理应用能量守恒原理和叠加原理，可以导出功的互等定理与位移互等定理。25－2－1功的互等定理假设两个不同的力系：()mii,...,,F21P=和()njj,...,,F21S=作用在两个相同的梁(或结构)上，在弹性范围内加载和小变形的条件下，有下列重要结论：力系()mii,...,,F21P=在力系()njj,...,,F21S=引起的位移上所作之功，等于力系()njj,...,,F21S=在力系()mii,...,,F21P=引起的位移上所作之功。这一结论称为功的互等定理（reciprocaltheoremofwork）。这一定理的数学表达式为()()PSSP11FFmniijjijiiijFF∆∆===∑∑(25－8)其中，ij∆是力系jSF在iPF作用点处沿iPF方向引起的位移；ji∆是力系iPF在jSF作用点处6沿jSF方向引起的位移。图25－3功的互等定理现在,以图25－3中所示之梁为例，证明如下。考察两种加载过程：一种是先加()mii,...,,F21P=后加()njj,...,,F21S=；另一种是先加()njj,...,,F21S=再加()mii,...,,F21P=。对于线性问题，根据叠加原理，变形状态与加力的顺序无关。因此，两种加力过程所产生的最后变形状态是相同的，故两种情形下所引起的应变能相等，即PSSPVV→→=(a)应用能量守恒原理，PSPSPSPP11221122iiijijjiijSjjjiiiSjjiVFFFVFFF∆∆∆∆∆∆→→=++=++∑∑∑∑∑∑（b）其中，ii∆和jj∆分别为力iPF和jSF在自身作用点处、沿自身作用线方向引起的位移。将式（b）代人式（a），即可得到式（25－8）。25－2－2位移互等定理当力系()mii,...,,F21P=和力系()njj,...,,F21S=中各自只有一个力iPF和jSF时，功的互等定理表达式式（25－8）变为PSiijijiFF∆∆=（25－9）7如果这两个力在数值上又相等，则由上式得到ijji∆∆=（25－10）这表明：力jSF在点i引起的与力iPF相对应的位移，在数值上等于iPF力在点j引起的与jSF相对应的位移。这就是位移互等定理（reciprocaltheoremofdisplacement）。需要注意的是，ij∆和ji∆中的第1个下标表示产生位移的点；第2个下标表示加力点。还需要指出的是，在式（25―9）中，若力iPF、jSF数值均等于1单位①，这时的位移称为单位位移，用δ表示。这时，式（25－10）可以写成：ijjiδδ=（25－10）同样，上述功的互等定理表达式(25－8)和位移互等定理表达式(25－10)中，力和位移都是广义的。iPF、jSF可以是力，也可以是力偶；位移ij∆和ji∆可以是线位移，也可以是角位移。图25－4中所示为几种位移互等的实例。图25－4位移互等定理应用实例在图25－4a中，ij∆＝ji∆；在图25－4b中BAθ＝ABθ；在图25－4c中，当F和M数值相等时，Aiθ＝iA∆。*§25－3应用于弹性杆件的虚位移原理25－3－1原理的表述8对于处于平衡状态的弹性体，自平衡位置起，令其有一微小虚位移，则作用在弹性体上的外力在虚位移上所作之虚功等于弹性体外力在虚位移上所作之虚功。另一方面，如果弹性体上的外力与内力在各自的虚位移上所作之功相等，则弹性体处于平衡状。外力在虚位移上所作之虚功称为外力虚功，用eWδ表示；内力在虚位移上所作之虚功称为内力虚功，用iWδ表示。于是，应用于弹性体的虚位移原理，可以表示成eiWWδ=δ(25－11)25－3－2必要性的简单证明以梁为例，在小变形条件下，梁平衡时，有()()xqxMFxMxqxF===22QQdddddd,,(a)令简支梁自变形后的平衡位置()xw开始有一虚位移wd（图25－5），则外力虚功为()edlWqxxwδ=δ∫图25－5虚位移原理的简单证明根据中华人民共和国国家GB3101－93，任一物理量均由其数值和单位符号的乘积组成，即它的正规表达方式为{}[]AAA⋅＝，式中{}A为该物理量的符号，[]A为其某一种单位的符号，{}A就是以[]A为单位该物理量的数值。这里，对于单位力iFP、jFS的正规的写法应为{}1P=iF和{}1S=jF1，即采用某一力单位时，该力的数值为1。本中为了书写方便，以后均简写为iFP=1,jFS=1。其他单位力的写法类似。同理，本书中单位位移的写法也与此类同9将式(a)中的第3式代入，并对上式作分部积分，有2edddlMWxwxδ=δ∫()()2200dddddddlllwwMwMMxxxxδδ=δ−+∫(b)虚位移是任意的但必须满足约束条件，即()()00wwlδ=δ=(c)加上边界处力的条件，()()00==lMM(d)根据式(c)和式(d)，式(b)中的第1项和第2项都等于零。于是，外力虚功可以写成2edddlwWMxxδδ=∫(e)可以证明，式(e)等号右侧项即为内力的虚功。考察梁上的任意dx微段，如图25－5b所示。其中xwddd=θ为梁的真实位移引起的微段两截面的转角。当梁自平衡位置有一虚位移wd时，微段的相邻截面又在已经转过θd的基础上，再增加一个虚转角()()22ddd=d=ddddwwxxxθθδδδδ=(f)因此，内力M的虚功为()22ddddillwWMMxxθδδ=⋅δ=∫∫(g)比较式(e)和式(g)，便得到虚位移原理的表达式eiWWδ=δ需要指出的是，以上推证是以简支梁为例进行的，读者不难证明，对于其他支承条件下的梁，同样可以导出上述结论。25－3－3虚位移模式的多样性上述过程表明，虚位移可以是任意的微小位移，但必须满足变形协调条件。例如，对于杆件必须满足约束条件和连续条件。在这一前提下，虚位移模式可以是多样的。n虚位移可以是与真实位移无关的位移，也可以是与真实位移有关的位移。10n虚位移可以是真实位移的增量，在这种情形下，外力虚功全部转变为应变能增量。假设与真实位移相对应的应变能为V，虚位移之后，应变能变为VVd＋，其中Vδ为虚位移引起的应变能增量。这时，虚位移原理的表达式变为eWVδ=δ（25－12）n虚位移也可以是某一部分或某些部分真实位移的增量，而不一定是全部真实位移的增量。例如，图25－6中的虚位移（虚线所示），与w1和wn等对应的虚位移为零，只有0iwδ≠。图25－6以某一部分真实位移的增量作为虚位移n虚位移还可以是另一个与之相关系统的真实位移。例如，图25－7a、b所示之两悬臂梁，除载荷外完全相同，则可以将图10一7a中梁的真实位移()xw1作为图25-7b中梁的虚位移。图25－7以真实位移作为虚位移需要指出的是，以上推证虚位移原理过程中，只涉及小变形条件下的平衡微分方程和变形几何关系，并没有涉及材料的应力一应变关系。因此，虚位移原理的应用便只有小变形的限制，而与材料的应力一应变关系无关。§25－4由虚位移原理导出莫尔积分通过建立单位力系统（unit-forcesystem），以真实位移作为单位载荷系统的虚位移，可以得到确定线性材料弹性杆件上任意点、沿着任意方向的位移。以图25－8a中承受均布力的悬臂梁为例，为了确定点A处沿铅垂方向的位移，首先需要建立一个单位力系统。这一系统中的结构与所要求位移的结构完全相同。例如，原来的结构外悬臂梁，单位力系统中的结构也变形是悬臂梁。其次，在单位力系统的结构上与原来结构上所要求的那一点、沿所要求的位移方向施加单位力（unit-force）。然后，将原来结构的真实位移作为单位力系统中结构的虚位移(图25－8b)，并应用虚位移原理。11图25－8由虚位移原理导出莫尔积分对于图25－8中的问题，将图25－8a中的悬臂梁的真实位移，作为图25－8b中悬臂梁的虚位移，由虚位移原理得到1dAlM∆θ×=×∫(a)其中，A∆为所要求的位移；M为单位力系统中梁横截面上的弯矩；θd为所要求位移的梁在载荷作用下，微段截面相互转过的角度。根据本书第1卷中关于杆件在载荷作用下变形分析的结果，如果材料满足胡克定律，又在弹性范围内加载，则微段的变形与微段横截面上的内力成线性关系。对于承受弯曲变形的梁，有ddMxEIθ=(b)将式(b)代入式(a),得到dAlMMxEI∆=∫(c)这是杆件横截面上只有弯矩一个内力分量的情形。如果杆件横截面同时存在弯矩、扭矩和轴力时，根据上述分析过程可以得到包含所有内力分量的积分表达式NNP=dddxxlllFFMMMMxxxEAEIGI∆++∫∫∫(25－13)这就是确定结构上任意点、沿任意方向位移的莫尔积分（Mohrintegration），这种方法称为莫尔法（Mohrmethod），又称为单位力法（unit-forcemethod）或单位载荷法（unit-loadmethod）。其中，xMMF、、N为所要求位移的结构在外载荷作用下杆件横截面上的轴力、弯矩和扭矩；xMMF、、N为结构在单位力作用下杆件横截面上的轴力、弯矩和扭矩。对于由两根及两根以上杆组成的系统，当各杆内力分量为常量时，式(25－13)变为NNP=dddiiiixixiiiiiiFFMMMMxxxEAEIGI∆++∑∑∑(25－14)当各杆内力分量沿杆件长度方向变化时，式(25－13)变为NNP=dddiiiixixiiiiiilllFFMMMMxxxEAEIGI∆++∑∑∑∫∫∫(25－15)12需要指出的是，莫尔方法中的单位力是广义力：可以是力，要可以是力偶；与之相对应的位移也是广义的：既可以是线位移，也可以是角位移。当所求的位移为线位移时，单位力为集中力；当所求位移为角位移时，单位力为集中力偶。单位力和单位力偶的数值均为1。若要求的是两点(或两截面)间的相对位移，则在两点(或两截面)处同时施加一对方向相反的单位力。还需要指出的是，莫尔法可用于确定直杆和曲杆及其系统上任意点、沿任意方向的线位移和角位移，但杆件的材料必须满足胡克定律，并且在弹性范围内加载，这是因为在导出莫尔积分的过程中，利用了弹性变形θd、()l∆dd、ϕ等与弯矩、扭矩、轴力的线弹性关系式。[例25－1]图25－9a所示的线弹性结构中，杆各部分的弯曲刚度EI均相同。若REIF、、P等均为已知，试用莫尔法求A、B两点的相对位移。图25－9例25－1图解：为求相对位移，需在所求位移的那两点上、沿着所要求相对位移方向施加一对大小相等、方向相反的单位力，建立单位力系统，如土5－9b所示。本例中，构件受轴力、剪力和弯矩的同时作用，但轴力、剪力对所求位移的影响与弯矩相比要小得多，故常略去。设A、B两点的相对位移记为AB?，结构由两段直杆和一段半圆弧杆组成，所以采用式(25－15)计算所要求的相对位移，不考虑轴力，又没有扭矩作用，故有31diiABiilMMxEI∆==∑∫（a）由于结构和受力的对称性，上述积分只需沿直杆ACE和曲杆EG分别进行，但需将所得结果乘以2。对于曲杆，使曲率减少的弯矩为正；使曲率增大的弯矩为负。由图25－9a和b有13()()()()≤≤+−=≤≤−−=≤≤=2p0sin1200P3P21xEGRFMRxRCERxFMRxACM:::θ(b)()()()≤≤+×−=≤≤×−=≤≤×−=2p0sin212101321xEGRMRxRCExMRxACxM:::θ(c)将式(b)和(c)代人式(a)，得到()()()22PP001sin2sin2dddRRABRFxRxFRRxxxEIEIEIπθθ∆θ−++=++∫∫∫3P235p32FREI=+所得结果为正，表示A、B两点相对位移的方向与所加单位力方向相同。§25－5计算莫尔积分的图乘法当杆件为等截面直杆时，莫尔积分中各项的分母EA、EI、GIP等均为常量，可以移至积分号外。这时，单位力引起的内力分量xMMF、、N图形与载荷引起的各个内力分量xMMF、、N图形中，只要一个为直线，另一个无论是何种形状，都可以采用图形相乘的方法（简称图乘法）计算莫尔积分。现以仅含弯矩项的莫尔积分为例，说明图乘法的原理和应用。当EI为常数时，有1=ddllMMxMMxEIEI∆=∫∫（a）假设载荷引起的弯矩图（简称载荷弯矩图）为任意形状（图25－9a），单位力的弯矩图（简称单位弯矩图）则为任意直线（图25－9b）。14图25－10计算莫尔积分的图乘法从图中可以看出，简称载荷弯矩图的微元面积为xMAdd=Ω(b)单位弯矩图上任意点的纵坐标可以表示为αtanxaM+=(c)其中α为单位弯矩图直线的倾角。利用式(b)和(c)，莫尔积分(a)可以写成111ddtandlAAMMxaAxAEIEIEI∆αΩΩΩΩ==×+×∫∫∫(d)其中ΩΩ∫ΩAAA＝d－载荷弯矩图的面积(e)ΩΩ∫ΩAxAxCA＝d－载荷弯矩图的面积对M坐标轴的静矩(f)将式(e)和(f)代人式(d)，得到()1dtanCClAMAMMxaxEIEIEI∆αΩΩ==+=∫(25－16)式中，αtanCCxaM+＝即为单位弯矩图上与载荷弯矩图形心处对应的纵坐标值。上述图乘法的基本原理，也适用于计算其他内力分量xMF、N的莫尔积分。为方便计算，表25－1中列出了一些常见图形的面积与形心坐标。需要指出的是，如果载荷弯矩图和单位弯矩图均为直线，则应用式（25－16）时，其等号右边的项，也可以写成15CAMEI∆Ω=(25－17)这在很多情形下，会给具体计算带来方便。这一问题请读者在练习的过程中自己研究。[例25－2]平面刚架受力如图25－11a所示，若横杆弯曲刚度为2EI，竖杆弯曲刚度为EI，拉压刚度为EA，且EA、EI、l等均已知，试求：由于弯曲变形引起的B处的水平位移。分析轴力对B处水平位移的影响。图25－11例25－2图解：1．计算弯矩引起的位移首先，需要绘制刚架在载荷作用下的弯矩图。为计算曲线弯矩图面积和确定形心位置方便起见，应用叠加原理将集中载荷和均布载荷的弯矩图分别画出，如图25－11b和c所示。然后，在B处沿水平方向施加单位力，并画出单位弯矩图如图25－11d所示。应用图乘法，并以处于刚架同一恻的载荷弯矩图与单位弯矩图相乘时结果为正，异侧的弯矩图相乘为负。于是，有()21iCiBiiiAMMEI∆Ω==∑EIllqlEIlqlllql322122813232212222××+××+××=()→=EIql42417(a)2．分析轴力的影响画出刚架在载荷和单位力作用下的轴力图,分别如图25－11e和f所示。于是，由轴力引起的B处的水平位移为16()()2NNN1iCiBiiiAFFFEA∆Ω==∑21202qllqlEAEA××=+=(b)根据上述计算结果，即式(a)和(b)，轴力和弯矩所引起的点B的水平位移之比为()()2N42122171724BBqlFIEAqlMAlEI∆∆==(c)以矩形截面(b×h)为例()()32N2121121717BBbhFhMbhll∆∆==（d）当l/h＝10时，上述比值为0．06，即轴力引起的位移小于弯矩引起位移的0．1％。可见，在细长杆的情形下，忽略轴力的影响不会对计算结果产生明显的误差。§25－5结论与讨论25－5－1关于单位力的讨论莫尔方法中的单位力是广义力：可以是力，要可以是力偶；与之相对应的位移也是广义的：既可以是线位移，也可以是角位移。当所求的位移为线位移时，单位力为集中力；当所求位移为角位移时，单位力为集中力偶。单位力和单位力偶的数值均为1。若要求的是两点(或两截面)间的相对位移，则在两点(或两截面)处同时施加一对方向相反的单位力。25－5－2应用图乘法时弯矩图的另一种画法应用图乘法时，为了易于确定弯矩图的面积与弯矩图形的形心位置，有时需要对弯矩图的画法作一些改进。17图25－12弯矩图的另一种画法以图25－12a中所示之简支梁为例，按照常规的画法，其剪力图和弯矩图分别如图25－12b和c所示。如果需要确定梁上点D处的挠度，则施加在点D处的单位力所引起的弯矩图如土5－12e所示。根据图乘法，载荷弯矩图需要分成3块计算，于是，点D处的挠度由下式确定：31iCiDiiiAMEI∆Ω==∑其中3块载荷弯矩图的面积321ΩΩΩAAA、、，以及单位弯矩图上与载荷弯矩图面积形心对应的数值321CCCMMM、、都不易确定。现在，介绍一之间有利于图乘法的画法。考察图25－12f中所示梁的受力，令梁在截面D处固定，则梁的受力与图5－12a中的简支梁，外力等效，内力也等效(变形不等效)，因此，可以画出这一梁的弯矩图，如图25－12g所示。这一弯矩图与图25－12c中所示原来简支梁的弯矩图等效。所以，可以将这一弯矩图作为图乘法的依据。读者不难发现，这时，图25－12g中弯矩图的面积4321ΩΩΩΩAAAA、、、等容易计算，单位弯矩图上的4321CCCCMMMM、、、等也容易确定。18表25－1几种基本图形的面积与形心坐标19习题25－1图示的悬臂梁，设其自由端只作用集中力F时，梁的应变能为)(FV；自由端只作用弯曲力偶M时，梁的应变能为)(MV。若同时施加F和M时，梁的应变能有以下四种答案，试判断哪一种是正确的。（A）)()(MVV+F；（B）θMMVV++)()(F（θ为F作用时自由端转角）；（C）maxFFwMVV21)()(++（maxw为M作用时自由端挠度）；（D）)(21)()(maxFFwMMVV+++θ。习题25-1图25－2图示简支梁中点只承受集中力F时，最大转角为maxθ，应变能为)F(V；中点只承受集中力偶M时，最大挠度为maxw，梁的应变能为)(εMV。当同时在中点施加F和M时，梁的应变能有以下四种答案，试判断哪一种是正确的。（A）)()F(MVVe+；（B）maxεε)()(θMMVV++F；（C）maxεε)()(FwMVV++F；（D）)(21)()(maxεεFwMMVV+++θF。习题25-2图25－3同一平面刚架两种受力情形分别如图a、b所示。若集中力F和集中力偶M数值相等，试判断下列等式（数值相等）中哪一个是正确的。（A）)()(FyCyCM∆=∆；（B）)()(FBBMθθ=；（C）)()(FyCBM∆=θ；（D）)()(MyCB∆=Fθ。20习题25－3图25－4图示圆柱体承受轴向拉伸，已知F、l、d以及材料弹性常数E、ν。试用功的互等定理，求圆柱体的体积改变量。习题25－4图25－5具有中间铰的线弹性材料梁，受力如图a所示，两段梁的弯曲刚度均为EI。用莫尔法确定中间铰两侧截面的相对转角有下列四种分段方法，试判断哪一种是正确的。（A）按图b所示施加一对单位力偶，积分时不必分段；（B）按图b所示施加一对单位力偶，积分时必须分段；（C）按图c所示施加一对单位力偶，积分时不必分段；（D）按图c所示施加一对单位力偶，积分时必须分段。习题25－5图2125－6图示M和M图分别为同一等截面梁的载荷弯矩图和单位弯矩图，则在下列四种情形下，ΩA与CiM或iAΩ与CiM相乘，试判断哪一种是正确的。习题25－6图25－7图示M和M图分别为等截面梁的载荷弯矩图和单位弯矩图。试判断下列四种图乘方法哪一种是正确的。习题25－7图25－8图示各梁中F、M、q、l以及弯曲刚度EI等均已知，忽略剪力影响。试用图乘法求点A的挠度；截面B的转角。习题25－8图25－9平面刚架受力如图所示，各刚架中的F、q、l以及EI等均已知，若忽略轴力和剪力的影响。试用图乘法求指定截面的指定位移（均标示于图中，例如Bx∆、Cy∆分别为点B的水平位移和点C的铅垂位移；AB∆为A、B两点的相对位移；CDθ为转角）。22习题25－9图上一章返回总目录下一章