一阶线性微分方程常微分方程

第四章 常微分方程（18学时） 解决自然科学与工程问题，乃至社会科学中的问题，首先要找出与问题有关的那些变量之间的关系，也就是需要建立数学模型。建立数学模型的很多，对于一些简单的问题可以由几何学、物理学等知识予以解决；而在许多情况下，即有关连续量变化规律的数学模型，则往往要通过对问题的分析，建立某个未知函数及其导数（或微分）之间所满足的关系式，这种关系式就是所谓的微分方程。未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程；否则，就称为偏微分方程。 微分方程本身就是一门独立的、内容十分丰富且应用非常广泛的数学分支， 本章将结合一些典型的问题，介绍常微分方程的一些基本概念，以及几类常用的常微分方程的经典解法。具体的如下： 1． 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。 2． 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。 3． 会解齐次方程和伯努利（Bernoulli）方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解全微分方程。 4． 会用降阶法解下列方程： ， 和 。 5． 理解二阶线性微分方程解的结构。 6． 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。 7． 会求自由项形如 、 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 8． 会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。 §4-1 微分方程的基本概念 引例：一条曲线通过点(1，2),且在该曲线上任一点 处的切线的斜率为2x，求这条曲线方程。 解：设曲线方程为 且当x=1时，y=2，或写成 。 定义1：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。 定义2：微分方程中出现未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。 比如： 。 定义3：使微分方程成为恒等式的函数 ，称为微分方程的解。亦称为微分方程的积分。 定义4：确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件。 一般地，n阶微分方程 ，其通解为 方程的初始条件为： 一阶微分方程的初值问题： §4-2 可分离变量微分方程 若可写成对称形式： 特别地，若 例1．求微分方程 的通解。 例2．求微分方程 的通解。 例3．求初值问题的解： §4-3 一阶线性微分方程 定义：形如 的方程，称为一阶线性微分方程。 称为自由项，当 时，称为一阶线性齐次方程，否则为非齐次方程。 （注：可分离变量方程）， 令解为： ，则 ，代入方程，可得 通解为： 例1．求方程 的通解 例2．求方程 满足初值条件 的特解。 例3．求方程 的通解。（注：把y看作自变量，x看作因变量时，为一阶线性方程） 例4．求方程 的通解。（注：把y看作自变量，x看作因变量时，为一阶线性方程） 解： §4-4.可用变量代换法求解的一阶微分方程 1． 齐次型方程（注：区别于线性齐次方程） 定义1：形如 型的方程，称为齐次型方程 令 代入 （注：可分离变量方程） ，记 的一个原函数为 ，则 例1．解方程 提示： 例2．求初值问题的解 2． 贝努利方程 定义2：形如 的方程，称为贝努利方程。 令 ，代入之 例3．求方程 的通解。 解：两端除以 ， 令 ， 原方程就可化为 解之得 以 代入 得 3． 可化为齐次型的方程。 当 为齐次型。 令 有 例4．求方程 的通解。 §4-5 可降阶的二阶微分方程 一、 型 型 ， ， 例1．求方程 的通解 例2．求方程 在初始条件 的特解。 二、 型 令 则有 （注：此为一阶微分方程） 例3．求初值问题 的特解。 例4．求方程 的通解。 三、 型 令 ，代入，得 （注：关于y与p的一阶微分方程） 例5．求方程 的通解。 例6．求初值问题 的解。 4． 数学模型二阶方程应用举例 §4-6 线性微分方程解的结构 先讨论二阶线性微分方程的结构 定义：形如 （1） 型的微分方程，称为二阶线性微分方程（二阶变系数线性非齐次微分方程） 若 ，则称为二阶线性齐次方程，即 （2） 设 是二阶线性齐次方程的两个解，易知 亦是解。 若 不全为零 线性相关，而 线性无关。 定理1：如果 与 是方程（2）的两个线性无关的特解，则 是方程（2）的通解。 定理2：设 是二阶线性非齐次方程（1）的一个特解， 是方程（1）所对应的齐次方程（2）的通解，则 是方程（1）的通解。 定理3：设二阶线性非齐次方程（1）右端自由项 是n个函数之和，即 （3） 而 是方程 (k=1,2,…，n) 的特解， 则 是方程（3）的特解。 §4-7 二阶常系数线性微分方程 一． 二阶常系数线性齐次微分方程 欧拉指数法：用 来尝试 代入，得 （注：特征方程；一元二次方程） 。 （1） 当 令 。 。线性无关 则通解为： 。 （2） （3） 例1．求方程 的通解 例2．求初问题 的解。 例3．求方程 的特解 解：这是二阶常系数微分方程，并且f(x)是 型（其中 ， ＝0）。 方程所对应的线性微分方程为 ＝0， 它的特征方程为 由于 不是特征方程的根，所以应设特解为 把它带入所给的方程得 比较两端x同次方得系数，解得 。由此求得一个特解为 例4．求方程 的通解。 解： 故令 EMBED Equation.DSMT4 代入得 （注：技巧< 与 系数肯定相加后抵消，为什么？-----因为只要两个方程>） EMBED Equation.3 例5．设微分方程 的积分曲线与另一曲线 在x=1处有切线，求此积分曲线方程。 解： （0次多项式） EMBED Equation.3 是单根， 故 通解为： 法1：由x=1，得t=0，再得y=1. 按参数方程求导 得 法2：由参数方程，得 ，相加得： 。 对于二阶常系数非齐次线性微分方程得一般形式 ＝f(x) （*） 其中p,q是常数，f(x)不恒为零。下面介绍当方程（*）中得f(x)取下列两种不同得函数形式时，求 的方法： （1） ，其中 是常数。 令 ，代入方程，消去 ( i )若 不是 的根，则 。 ( ii )若 是 的单根，则 ( iii )若 是 的重根，则 例1．求方程 的一个特解。 。 例2．求方程 的通解。 （2） ，其中 其中 是互为共轭的m次复系数多项式， 。 例3．求方程 的一个特解。 而 不是特征方程的根。 故令特解为： 求出 ，代入方程，得 。 得 故特解： 第4章 习题课 一、 求下列一阶微分方程的通解 1． 2． 3． 二、求方程 在初始条件 的特解。 三、求方程 的一个特解。（ ） 四、设微分方程 的积分曲线与另一曲线 在x=1处有切线，求此积分曲线方程。 解：法1： 按参数方程求导， 法2：由参数方程，得 第4章 复习课 一、 一阶方程 二、二阶方程 例题： 1． 已知线性齐次方程的线性无关解组，求出原微分方程 (1) , (2) . 解：（1） （2） 即 2．设可微函数 满足关系式 ，证明： 。 证明：两边求导： ，即 。 3．求下列微分方程的通解 （1） （2） （3） （4） 在初始条件 的特解。 （5） 4．已知某曲线，其方程满足微分方程 ，并且与另一曲线 相切于点 （0，1），求此曲线方程。 5．设 连续，且满足 求极限 。 _1143661377.unknown _1143737600.unknown _1143741240.unknown _1143839601.unknown _1150138621.unknown _1150138998.unknown _1150139078.unknown _1150139368.unknown _1150139369.unknown _1150139314.unknown _1150139037.unknown _1150138851.unknown _1150138918.unknown _1150138814.unknown _1150133949.unknown _1150134856.unknown _1150137690.unknown _1150138083.unknown _1150138417.unknown _1150138544.unknown _1150138356.unknown _1150137918.unknown _1150134959.unknown _1150134056.unknown _1150134148.unknown _1150134004.unknown _1150133566.unknown _1150133830.unknown _1150133860.unknown _1150133651.unknown _1143839723.unknown _1143839734.unknown _1143840186.unknown _1143839717.unknown _1143741887.unknown _1143742031.unknown _1143742122.unknown _1143742218.unknown _1143742365.unknown _1143742390.unknown _1143742231.unknown _1143742153.unknown _1143742076.unknown _1143741956.unknown _1143742004.unknown _1143741934.unknown _1143741388.unknown _1143741457.unknown _1143741781.unknown _1143741410.unknown 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