2015年女子数学奥林匹克竞赛题

女子数学奥林匹克竞赛 第一天 1.如图，在锐角△ABC中，AB>AC,O为外心，D为边BC中点，以AD为直径作圆与边AB,AC分别交于带你E,F。过D作DM∥AO交EF于点M,求证：EM=MF 2.设a∈(0,1)且f(x)=ax^3+(1-4a)x^2+(5a-1)x+(3-5a), g(x)=(1-a)x^3-x^2+(2-a)x-(3a+1). 求证：对于任意实数x,f(x)的绝对值和g(x)的绝对值中都至少有一个不小于1+a. 3.把12*12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任意一个3*4或4*3的长方形内都至少有一个黑色单位方格，试求黑色单位方格个数的最小值. 4.对每个正整数n,记g(n)为n与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组(a,b,c)的个数： 1）a,b,c∈{1,2.....2015}; 2）g(a),g(b),g(c),g(a+b),g(b+c),g(c+a),g(a+b+c)这七个数两两不同。 第二天 5.有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值得999倍？（全等的两个三角形看作相同的） 6.如图，两圆T1，T2外离，他们的一条外公切线与T1，T2分别切于点A,B,一条内公切线与T1，T2分别切于点C,D。设E是直线AC,BD的交点，F是T1上一点，过F作T1的切线与线段EF的中垂线交于点M,过M作MG切T2与点G,求证：MF=MG 8.