组合数学第四章习题解答下载_PPT模板_35

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组合数学第四章习题解答习题4.1若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂，即a=xm,则称这个群为循环群，若群的元素交换率成立，即a,bG满足ab=ba,则称这个群为阿贝尔群，试证明所有的循环群为阿贝尔群证明：设G是一循环群，对任意的a,bG,按定义a=xm,b=xn,ab=xmxn=xnxm=ba,因此，循环群都是阿贝尔群。4.2若x是群G的一个元素，存在一最小的正整数m，使xm=e，则称m为x的阶，试证：C={e,x,x2,…,xm-1}是G的一个子群证明：显然C中元素都是G中元素，只需证C满中群的四个性质即可(1)封闭性,对任意...

习题4.1若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂，即a=xm,则称这个群为循环群，若群的元素交换率成立，即a,bG满足ab=ba,则称这个群为阿贝尔群，试

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所有的循环群为阿贝尔群证明：设G是一循环群，对任意的a,bG,按定义a=xm,b=xn,ab=xmxn=xnxm=ba,因此，循环群都是阿贝尔群。4.2若x是群G的一个元素，存在一最小的正整数m，使xm=e，则称m为x的阶，试证：C={e,x,x2,…,xm-1}是G的一个子群证明：显然C中元素都是G中元素，只需证C满中群的四个性质即可(1)封闭性,对任意的xm,xnC,由结合性，设m+n=r(modm-1)xmxn=xr,(2)结合律显然(3)单位元显然(4)逆元素为原群逆元素4.3设G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n单位元e显然，对非单位元a，显然4.4若G是阶为n的循环群，求群G的母元素的数目，即G的元素可表示成a的幂：a,a2,…,an的元素a的数目。若a是母元素，则an=e若ak(1<01,k=hb,n=hc,kn=(hb)(hc),则(hb)c=kc=bn因此akc=abn=e,c格式

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及其个数，9.解：5的拆分共有：00005,00014,00023,00113,00122,01112,11111共七种，根据讲义4.4节定理1可得S5中：(1)5共轭类有5!/5!=1个置换；(1)1(4)1共轭类有5!/4=30个置换；(2)1(3)1共轭类有5!/(2·3)=20个置换；(1)2(3)1共轭类有5!/(2!3)=20个置换；(1)1(2)2共轭类有5!/(2!2)=15个置换；(1)3(2)1共轭类有5!/(3!2)=10个置换；(5)1共轭类有5!/5=24个置换；∴共有不同格式7种，如上所示。4.20图4.5用两种颜色着色的问题，若考虑互换颜色使之一致的方案属于同一类，问有多少种不同的方案(1)不换色不动：p1=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)…(13)(14)(15)(16)逆时针转90:p2=(1)(2)(3456)(78910)(1112)(13141516)顺时针转90:p3=(1)(2)(6543)(10987)(1112)(16151413)转180:p4=(1)(2)(35)(46)(79)(810)(1112)(1315)(1416)(2)换色不动：p5=(12)(37)(48)(59)(610)(1112)(1314)(1516)逆时针转90:p6=(12)(38510)(6749)(11)(12)(16151413)顺时针转90:p7=(12)(10583)(9476)(11)(12)(13141516)转180:p8=(12)(39)(410)(57)(68)(1112)(13)(14)(15)(16)(16+2+2+4+0+2+2+4)/8=4(种方案)4.21在正四面体的每个面上都引一条高，有多少种方案？解：除了绕顶点-对面的中心轴旋转均不会产生不变的图象外,绕其他轴的旋转相当于正4面体的面3着色。参照讲义4.6例3可得不同的方案数为M=[34+3·32]/12=9解：除了绕面心—面心轴旋转任何度数均不会产生不变的图象外，绕其他轴的旋转都相当于正六面体的面4着色。参照讲义4.6例4可得不同的方案数为M=[4+0·6·4+0·3·4+8·4+6·4]/24=1924.22一幅正方形的肖像与一个立方体的面一样大，6幅相同的肖像贴在立方体的6个面上，有多少种贴法？4.23凸多面体中与一个顶点相关的各角之和与2的差称为该顶点的欠角，证明凸多面体各顶点欠角之和为4证：设V,S,E分别为顶点集，面集，边(棱)集。由欧拉定理|V|+|S|－|E|=2.设aij为与顶点vi，面Sj为相关的面角，ej为Sj的的边数，给定Sj则∑aij=(ej－2)π欠角和为∑(2π－∑aij)=∑2π－∑∑aij=2|V|π－∑∑aij=2|V|π－∑(ej－2)π=2|V|π－∑ejπ+2|S|π=2|V|π+2|S|π－2|E|π=4π4.24足球由正五边形与正六边形相嵌而成(a)一个足球由多少正五边形与正六边形组成(b)把一个足球所有的正六边形都着以黑色，正五边形则着以其它各色，每个正五边形着色各不相同，有多少种方案？4.25若G和G是两个群G×G’的单位元素是(e,e’),试证G×G’是群(1)封闭性显然(2)结合律显然(3)逆元素显然(4)单位元显然4.27一个项链由7颗珠子装饰成的，其中两颗珠子是红的，3颗是蓝的，其余两颗是绿的，问有多少种装饰方案，试列举之。1234567G(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(1234567),(1357246),(1473625),(1526374),(1642753),(1765432)(1)(27)(36)(45),(2)(13)(47)(56)(3)(24)(15)(67),(4)(17)(26)(35)共7个[C(7,2)C(5,3)+7C(3,1)C(2,1)]/14=181234567123456712345671234567例4.16骰子的6个面分别有1,2,3,4,5,6个点，问有多少种不同的方案？解法1,用Burnside引理问题相当于对正六面体的6个面，用6种颜色对之染色，要求各面的颜色都不一样，求不同的方案数？6个面用6种颜色涂染，各面颜色都不一样，共有6!种方案。设这6!个方案为S1,S2,…,S720,形成这720个元素的24个置换，设这24个置换为p0,p1,…,p23,其中p0为不动置换。则c1(p0)=6!27因为6个面的颜色各不同，则除p0外，其它置换中不可能出现不动元素，则c1(p1)=c1(p2)=…=c1(p23)=0，解法2,用Polya定理与容斥原理28使正六面体重合的置换群为(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2345)(6),(1)(5432)(6)有6个(1)(24)(35)(6),有3个(16)(25(34)有6种(345)(152)(643)(251)有8个用m种颜色进行染色所得方案数设为nm,则：2930令hi为用i种颜色进行染色所用颜色数不少于i种颜色的方案数，则有：31

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