关于正劈锥体的体积

关于正劈锥体的体积薛利敏(渭南师范学院数学系，陕西渭南714000)摘要：指出了现行《高等数学》教材中关于正劈锥体体积的错误解法，同时给出了正劈锥体的正确体积。公式：V一(丌一号)r2h．h关键词：正劈锥体；体积；公式中围分类号：017文献标识码：A文章编号：1009--5128(2001)05--0025--03VolumeofregularconeXUELi—rain(DepartmentofMathematics，WeinanTeachersCollege，714000Weinan，China)Abstract：TheauthorbelievesthattheformulaofregularconeinthepresenttextbooksisnotcorrectTherightoneshouldbeV=(丌一4／3)r2h．Keywords：regularcone；volume；highmathematicsl问题求以圆为底，以平行且等于该圆直径的线段为顶，而高度为h的正劈锥体的体积y．文献[1]、[2]、[3]、E4]都用定积分计算了此正劈锥体的体积，其解法如下：解：如图1，取圆心。为原点，则圆的方程是z2+y2h一，．2，过z轴上点z作垂直于z轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形PQR，此截面的面积为S(z)一h·y=h,／V--X2，故V=hl√r2一z2dx．令z=rcos口，则当z=一r与r时，0分别为，r与0，故：r0V=一hI，．2sin2纪口收稿日期：2001—04一08作者简介：薛利敏(1960一)，男。陕西韩城人，渭南师范学院数学系讲师图1万方数据一：!!’薛利敏：关于正劈锥体的体积第16卷—————————————————————————————————————一：一胪rL竿型硼J0厶一i1w2^．由此可知正劈锥体体积是底圆面积与高的一半之积．2矛盾下面我们给出求正劈锥体体积的另外两种解法．解法一：先求，一平面经过半径为r的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角口，如图2，计算这平面截圆柱体所得立体的体积y。．解：取这平面与圆柱体的底面的交线为z轴，底面上过圆心且垂直于z轴的直线为Y轴，图2那么，底圆的方程为：z2+y2=r2，立体中过点z且垂直于z轴的截面是一个直角三角形，它的两条直角边的长度分别为Y及ytga，IP石：叼及石：四tga，因而这直角三角形的面积为如)=丢(r2一妁tg口，从而得立体的体积兀素d可1一矿1／r2一z2"，,tg口dz故y，一L丢(r2一∥)tgadx故y，一I寺(r2一∥J—r_=三tg口[，．‰一r23，‘6‘。L‘～r23。．2了∥qg口·由此司得正劈锥体体积为：y=舻^一2·了2nr2抓g口=争)：：Or-4)r2h≠昙丌，．。^．解法二：(用二重积分计算矿)由对称性，如图3，正劈锥体体积：y=4hII(a—ly)dxdj，：丌rz^一竺?"Jf70Jf詈Orz。in纪似rQR图3P／＼h图4TS万方数据2001年5期渭7南师范学院学报．-g。。．’—————————————————————————————————一．e／"=确一詈如一(，r一号)^≠百1耵2|11．此两种解法都得出正劈锥体的体积为(，r一号)r2|Il，并不等于专，rr2^，由此得出了矛盾．3结论问题出在什么地方?正劈锥体体积到底等于多少?问题在于截正劈锥体得到的不是图1中的等腰三角形PQR，而是如图4．图4是图1过z轴上点z作垂直于z轴的平面，截正劈锥体所得的截面．此截面的面积S。为：S(z)一矩形QRST的面积+三角形PQT的面积=2y(^一争√碍)+专·2y争“写(三角形PQT的高正好等于图2中直角三角形的高：ytg口=石：叼·云)故正劈锥体的体积：y=2』r[2v／r"r--x2(h一争厢)+争(，．z—zz)]如：4hi’~／7r习dz一2鱼r(r2一z2)dzo0，．J0=舻^一号，rr2Jll=(，r一了4)，．2^．综上所述，正劈锥体的体积应是(，r一百4)一^，而不是丢，r，．2^．参考文献：[1]樊映川．高等数学讲义：上册[M]．北京t高等教育出版社，1993．412．[2]四川大学数学系高等数学教研室．高等数学：第一册(第3版)[M]．北京：高等教育出版社，2000．341．[3]同济大学数学教研室．高等数学(上)[M]．北京：人民教育出版社，2000．[4]李树仁．经济数学[M]．西安：陕西科学技术出版社，1995．213．[责任编辑牛怀岗]万方数据关于正劈锥体的体积作者：薛利敏作者单位：渭南师范学院,数学系,陕西,渭南,714000刊名：渭南师范学院学报英文刊名：JOURNALOFWEINANTEACHERSCOLLEGE年，卷(期)：2001，16(5)被引用次数：0次参考文献(4条)1.樊映川高等数学讲义19932.四川大学数学系高等数学教研室高等数学20003.同济大学数学教研室高等数学(上)20004.李树仁经济数学1995相似文献(2条)1.期刊论文陈新一正劈锥体体积的计算-科技创新导报2008,""(12)首先指出<高等教学>定积分应用章节中正劈锥体体积的计算错误,在重新问题的基础上,仍采用定积分元素法求解.给出正确的结果.2.期刊论文范冬梅.朱秀格正劈锥体与圆楔体的区别-科技信息2009,""(4)本文分析了正劈锥体与圆楔体的不同点和相同点;并指出它们体积的求法.本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_wnsfxyxb200105006.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：57143a9b-8e4d-4310-8b70-9dca009152c0下载时间：2010年8月6日