函数有界性和最值

第一节：函数的有界性和最值一、有界性定义1：设A为函数f(x)定义域的子集，若M，使得xA有f(x)M(或f(x)M)，则称f(x)在A上有上(或下)界.称M为它的一个上(或下)界.定义2：设A为函数f(x)定义域的子集，若M(x)，使得xA有f(x)M(x)(或f(x)M(x))，则称f(x)在A上有上(或下)界函数.称M(x)为它的一个上(或下)界函数.二、最值略三、例题解说例1、求证函数f(x)11(0,1sin在x)上无上界.xx2证明：关于随意的M0，只要证明x0(0,1)使得f(x)M.12为此：取x0,kN,f(x0)(2k)sin(2k)2k,kN2k22221[1(M要使得：2k2M,kN，只要要k(M)，可取k)]12222故函数f(x)1sin1在x(0,1)上无上界.xx2例2、(北约2010)求方程x116x2x2710x21的实根的个数.解：注意到x116x2x223x2323x2x2710x2x225x2525x2因此：方程左侧3x25x221，进而方程无实根.例3、f(x)x2pxq,p,qR，若f(x)在x[1,1]上的最大值为M，则M的最小值为.解：Mmaxf(x)，Mf(1)1pq,Mf(1)1pq,Mf(0)q1x1则4M1pq1pq2q(1pq)(1pq)2q2故M1，p0,q12时获得等号.2例4、某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第二至第二十层，每层一人.而电梯只同意停一层，只可让一人满意，其他18人都要步行上楼或下楼.假设乘客每向下走一层不满意度为1，每向上走一层不满意度为2，全部人的不满意度和为S，为使得S最小，电梯应停在第层.解：设电梯应停在第x层(2x20)，则S[123L(x3)(x2)]1[123L(19x)(20x)]23(x85)242172252624则当x14时，S最小.例5、求函数f(x)2x23x4x22x的最小值.解：定义域为(,0]U[2,)当x0时，y2x23x4和yx22x均为减函数，进而f(x)为减函数，当x2时，y2x23x4和yx22x均为增函数，进而f(x)为增函数，进而，f(x)minmin{f(0),f(2)}2.例6、f(x)2x1x2x5x8x34，则f(x)的最小值为.解：当ab时，xaxb的最小值为ba在数轴上a,b两点之间获得.x1x34，x1x8，x2x5分别在区间[1,34],[1,8],[2,5]中取最小值33,7,3，和为43.例7、(2011北约)求x12x13x1L2011x1的最小值.解：由绝对值的几何意义：xaxb的最小值为ba在数轴上a,b两点之间获得.因此将f(x)整理为x1x111x11x111xx3xL2011xLx223320112011共有123L2011=10062011项，则f(x)可理解为x到这10062011个点的距离之和.从两头开始向中间聚拢，x1x1的最小值在x[12011,1]获得，2011x1x1的最小值在x[1,1]获得，2201120112因此f(x)的最小值应在正中间某个零点或相邻的两个零点之间获得由n(n1)5032011n1421，因此第21，则f(x)minf(1592043x).14221422711x的围在第5032011个零点和第)5032011个零点和第50320111均为例8、对给定的正数p,q(0,1)，pq1,p2q21，试求函数f(x)(1x)p2x2xq2(1x)2在区间[1q,p]上的最大值.解法一、为方便起见，令up2x2,vq2(1x)2,a1x,bx，则有u2b2p2,v2a2q2,ab1，faubv因此f2a2u2b2v22abuv(u2b2)(v2a2)(abuv)2p2q21(2ab2uv)2p2q21[2ab(uv)2u2v2]244p2q21[(uv)2p2q2a2b22ab]24p2q21[(uv)2(ab)2p2q2]24p2q21[(uv)21p2q2]2(Q1p2q20)4p2q21[1p2q2]24等号建立当且仅当uv0即p2x2q2(1x)2，解得x1(p2q21)12注意到pq1，p,q(0,1)，易证明1q(p2q21)p，2故当x1(p2q21)时，f(x)在区间[1q,p]上的最大值p2q21[1p2q2]224D解法二：CAMB如图，线段AB的长度为1，M为线段AB上的任一点，AMx,BM1x，作直角梯形ABCD使得ADp2x2,BCq2(1x)2，则MDp,MCq(可使得p,q(0,1)，明显在图中恒有pqDC1)于是，1xqcos,xpcos,p2x2psin,q2(1x)2qsinfpqcossinpqsincospqsin()pqsin在MCD中，由余弦定理及条件p2q21，得cosp2q2CD2p2q2102pq2pq(p2q21)2sin14p2q2因此fpq1(p2q21)2p2q2(p2q21)24p2q24等号建立当且仅当CD1ABCD为矩形ADBCp2x2q2(1x)2x1(p2q21)2作业：1.设x,y是实数，求ux2xyy2x2y3的最小值.解法一：配方解法二：配方u(xy1)23(y1)2221[(x241uy)2(1x)2(2y)2]，再用不等式平方均匀值大于等于算22数均匀值，即可解法三：鉴别式法解法四：换元xabya消去交错项，再配方b2.若log4(x2y)log4(x2y)1，则xy的最小值为.解：鉴别式法，最小值为3.3.f(x)n(xk)2，则f(x)的最小值为k.1解：f(x)(x1)2(x2)2L(xn)2nx2n(n1)x1n(n1)(2n1)n116因此当x时，函数的最小值为(n3n).2124.(2009年湖北改编)函数f(x)x22bxc，f(x)(1x1)的最大值为M.若k对随意的b,c恒建立，试求k得最大值.解：kmax1.25.设函数f(x)ax28x3(a0)，关于给定的负数a有一个正数l(a)，使得在整个区间[0,l(a)]上，不等式f(x)5都建立.问：a为什么值时l(a)最大？求出这个最大的l(a)，并证明你的结论.解：a158时，l(a)max.2