函数的15种求值方法

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。基本知识定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合)。函数值域常见的求解思路：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。⑷可以用函数的单调性求值域。⑸其他。1.直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1.求函数的值域。解：∵∴显然函数的值域是：2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例2.求函数的值域。解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]判别式法例3.求函数的值域。解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得求出的范围可能由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。1）解得：即当时，原函数的值域为：若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义注：由判别式法来判断函数的值域时，域，将扩大的部分剔除。反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例4.求函数值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例5.求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：解得：故函数的值域为函数单调性法例6.求函数的值域。解：令所以在[2，10]上是增函数则在[2，10]上都是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例7.求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然y>0，故原函数的值域为换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作例8.求函数的值域。解：因即故可令故所求函数的值域为例9.求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，则有而此时有意义。故所求函数的值域为例10.求函数，的值域。解：令，则由且可得：∴当时，，当时，故所求函数的值域为例11.求函数的值域。解：由，可得故可令当时，当时，故所求函数的值域为：数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。[,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址手机版地址wap.yaoxuexi.cn]例12.求函数的值域。解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8|上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2)，B(-8)间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10故所求函数的值域为：例13.求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，故所求函数的值域为例14.求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A(3，2)到点P(x，0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。即：y=|AP|-|BP|由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P'，则构成△ABP'，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例13，14可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例13的A，B两点坐标分别为：（3，2），（-2,-1），在x轴的同侧；例14的A，B两点坐标分别为（3，2），（2,-1），在x轴的同侧。不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例15.求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当tanx=cotx即当时，等号成立故原函数的值域为：例16.求函数y=2sinxsin2x的值域。解：y=4sinxsinxcosx故原函数的值域为：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：映射法在定义域上原理：因为变量范围，就可以求另一个变量范围。x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个例17.求函数的值域。解：∵定义域为解得故函数的值域为11．最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。[,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址手机版地址wap.yaoxuexi.cn]例18.已知,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：∵，上述分式不等式与不等式同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得(-1≤x≤3/2),∴且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。12.构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例19.求函数的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为EK=2-x,KF=2+x,作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。点评：对于形如函数(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。13．比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。例20.已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数的值域。点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,∴。当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，。函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。14．利用多项式的除法例21.求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。∵1/(x+1)≠0，故y≠3。∴函数y的值域为y≠3的一切实数。点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。15.多种方法综合运用例22.求函数的值域。解：令，则1）当t>0时，，当且仅当t=1，即x=-1时取等号，所以2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法例23.求函数的值域。解：∴当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。