湖北省石首市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

高二数学期中试题第PAGE\*MERGEFORMAT1页石首市2021——2022学年度上学期期中考试高中二年级数学试题考试时间：120分钟值分:150分注意事项：1.本试卷分为试题卷和答题卡，答题前请先将自己的姓名、学校、班级填写在答题卡上对应的位置。2.选择题的答案请用2B铅笔以正确的填涂方式填写在答题卡上对应的位置，非选择题请将答案填写在相应的答题栏内，写在试题卷上的答案无效。第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意．1.已知向量，如果，那么等于（）A．B．1C．D．52.过点且垂直于直线的直线方程为（）A.B.C.D.3.两平行直线和间的距离是（）A．B．C．D．4.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1=3，则A1C的长为（）A.B.C.D.5.如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6.已知直线：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，a))作圆C的一条切线，切点为B，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝（）A．2B．4C．6D．27.已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（）A．B．2C．D．48.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E∥平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，每小题至少有两个选项符合题意，全对得5分，漏选得2分，选错不得分．9.已知正方体，则下列各式运算结果是的为（）.A．B．C．D．10．对于直线，下列说法正确的是（）A．直线恒过定点B．直线斜率必定存在C．时直线的倾斜角为D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为11．已知，，圆，则以下选项正确的有（）A．圆C上到B的距离为2的点有两个B．圆C上任意一点P都满足C．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则的最小值为D．若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则的最小值为12.如图，菱形边长为，，为边的中点．将沿折起，使到，且平面平面，连接，．则下列结论中正确的是（）A．B．四面体的外接球面积为C．与所成角的余弦值为D．直线与平面所成角的正弦值为第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量,,，则______14．已知直线，直线，若，则实数______．15．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，高为1，则点D到平面ACD1的距离是_____．16．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知△ABC的顶点A(-2.0)、B（2，4），其欧拉线的方程为x-y=0，则△ABC的外接圆方程为______.四、解答题：本题包括6小题。共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知三个顶点的坐标分别为（1）求边中线所在直线的方程；（2）求的面积.18.（本小题满分12分）已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0.(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;(2)在(1)的条件下,若直线l过点(2,1),且与圆C2的相交弦长为2,求直线l的方程.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，，为等边三角形.（1）求证：平面；（2）若M为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.20．（本小题满分12分）（1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；（2）设直线l的方程为，若，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求面积取最小值时，直线l的方程．21.（本小题满分12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．（1）证明：（2）当为何值时，面与面所成的二面角的余弦值最大？22．（本小题满分12分）已知圆的圆心在射线上，截直线所得的弦长为6，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）已知点N(1,1)，在直线MN上是否存在点Q（异于点N），使得对圆M上的任一点，都有为定值λ？若存在，请求出点Q的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由．高二数学参考答案1．B2．D3．A4．A5．A6．C7．B8．B9．ABC10．AD11．BCD12．BCD13．914.15．16.17．【答案】（1）；（2）.（1）设边的中点为M，则M点的坐标为，∴.∴直线的方程为，即，∴边中线所在直线的方程为.（2）∵，∴.由得直线的方程为，∴A到直线的距离，∴.18.(1)圆C1:x2+y2=1,则C1(0,0),半径r1=1,由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,则C2(3,0),半径r2=QUOTE(m<9).∵圆C1与圆C2外切,∴|C1C2|=r1+r2,∴3=1+QUOTE,解得m=5.(2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x-3)2+y2=4,则C2(3,0),r2=2.由题意可得圆心C2到直线l的距离d=1,当直线l斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;当直线l斜率为k时,则直线方程为y-1=k(x-2),化为一般形式为kx-y-2k+1=0,则圆心(3,0)到直线l的距离d=QUOTE=1,解得k=0,得直线方程为y=1.综上,直线l的方程为x-2=0或y-1=0.19．（1），则，取中点为H，连接，，∵为等边三角形，∴，，又，，∴面，∴，H为中点，∴，∴，∴，同理由，得，又，∴平面.（2）底面是是正方形，由（1）可知，，两两垂直，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则有B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),D(0,1,0),M(0,0,12)设平面的法向量为，∵，,则有：,∴,又有设直线与平面所成角为,∴.20．【答案】（1）x＋y－1＝0或3x＋4y＝0；（2）x＋y－2＝0.（1）设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b.①当时，设l的方程为＋＝1，∵点在直线上，∴＋＝1，因为直线l在两坐标轴上截距相等，a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0；②当时，直线过原点，且过点，∴直线的方程为3x＋4y＝0.综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.（2）易求M，，∵，∴S△OMN＝＝＝≥2，当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．故所求直线l的方程为x＋y－2＝0.21.【解答】（1）证明：连接，，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，，，，，，，，即，（2）解：故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，设，则，0，，平面，平面的一个法向量为，0，，，1，，，1，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，，，，，，当时，面与面所成的二面角的余弦值最大，故当时，面与面所成的二面角的余弦值最大．22．（1）圆的圆心在射线上,设圆心为,圆心到直线的距离为,又圆与直线相切,,圆截直线所得的弦长为6,,则,即,,解得或（舍）,圆心为,圆为（2）存在,为,,假设存在直线上点（异于点）,使得对圆上的任一点,都有为定值,由题,设为,且,,设为,则,,则,整理可得,在圆上,,即,,,解得,此时为