随机过程第三版课后答案

篇一：随机过程习题答案】们的均值分别为mx和my,它们的自相关函数分别为rx(?)和ry(?)。(1)求z(t)=x(t)y的自相关函数；(2)求z(t)=x(t)+y(的自相关函数。答案：rz(?)?e?z(t??)z(t)??e?x(t??)y(t??)x(t)y(t)?利用x(t和y(t独立的性质：rz(?)?e?x(t??)x(t)?e?y(t??)y(t)???rx(?)ry(?)(2)rz(?)?e?z(t??)z(t)??e??x(t??)?y(t??)???x(t)?y(t)???e?x(t??)x(t)?x(t??)y(t)?y(t??)x(t)?y(t??)y(t)?仍然利用x(t和y(t互相独立的性质：rz(?)?rx(?)?2mxmy?ry(?)一个rc低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2的高斯白噪声。(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；(2)求输出信号的一维概率密度函数。电流：i(t)电压：y(t)答案：(1)该系统的系统函数为h(s)?y(s)1?x(s)1?rcs则频率响应为h(j?)?11?jrc?n02而输入信号x(t的功率谱密度函数为px(j?)?该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t的功率谱密度函数为：py(j?)?px(j?)h(j?)?2n0/21?rc?2对py(j?)求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数：1ry(?)?2???••py(j?)ej??1d??2?n0/2j?????1?rc?2ed??(2)线性系统输入为高斯随机过程，则输出也一定是高斯的。因此为了求输出的一维概率密度函数，仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。均值：已知输入均值mx=0，则输出均值my=mxh(O)=O2方差：ry(O)?var(y)?my因为均值为0,所以方差var(y)?ry(0)?-维pdf:略12?n0/2???1?rc2?2d??3理想带通滤波器的中心频率为fc带宽为b,其在通带的频率增益为1。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2的高斯白噪声。(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；(2)求输出信号的平均功率；(3)求输出信号的-维概率密度函数。答案：类似上-题,仅需注意的是：此处滤波器的频率响应为h(j?)???1,?02?(fc?b/2)???2?(fc?b/2)otherwise平均功率等于功率谱密度函数的积分，也即等于输出信号y(t的自相关在??0处的值，即ry(0)4设x1(t与x2(t为零均值且互不相关的平稳随机过程。x1(t通过某个It系统所得的输出为y1(t)x2(t通过同一个It系统的输出为y2(t)试证明y1(t与y2(t互不相关。答案：就是要证明y1(t与y2(t的协方差为0。由于x1(t与x2(t为零均值，显而易见y1(t与y2(t的均值都为0。所以，我们仅需要证明y1(t与y2(t的互相关为0。设It系统的单位冲激响应为h(t)则：y1(t)????•••x1(t??)h(?)d?y2(t)??x2(t??)h(?)d???所以有：???e?y1(t)y2(t)??e?x1(t??)h(?)d??x2(t?v)h(v)dv??????????e?????????x1(t??)x2(t?v)h(?)h(v)d?dv?????12?????????e?x(t??)x(t?v)?h(?)h(v)d?dv?????再利用x1(t与x2(t互不相关的性质，则有：e?y1(t)y2(t)????e?x(t??)?e?x(t?v)?h(?)h(v)d?dv?0，从而完成证明。12?教材：2.8和2.9题?答案略【篇二：随机过程答案版-副本】机过程x(t)?y?zt,t?0其中，y,z是相互独立的n(0,1随机变量，则此随机过程的一维概率密度族为；随机过程第2章第46页例题42对于一个强度为？的poisson过程，在t时间内来k个顾客的概率为；t),t设｛x(?0｝为具有参数？>0的泊松过程，则p｛x(t?h)?x(t)?0｝；??0｝是具有参数？的泊松分布，tn(n?1)是对应的时间间隔序列，则随机变量tn(n?1,2,?)的概率密度t),t设｛x(函数为；t),t设｛wn,n?1｝是与泊松过程｛x(等待时间序列，则wn服从参数为的？分布。6设随机变量关系为;7•设随机过程x(t)??0｝对应的一个y的x,y的数学期望都存在，则e(x)与e(xxh(t)?a(???t??),x是服从正态分布的随机变量，e(x)=0,d(x)=1则x(t的一维分布密度函数f(x)为；8设｛x(t),t设?0｝为具有跳跃强度函数？(t的非齐次泊松过程,马尔可夫链，则对任意整数,n步转移概率(n)••pij则此非齐次泊松过程的均值函数为｛xn,n?t为n?0,0?l?n和i,j?i用一步转移概率达为；10设｛xn,n绝对概率pj(n用初始概率和n步转移概率表达为；(n)11.首达概率可以用一步转移概率来表示：f?;ij(12)设pij(是齐次马尔可夫过程的转移概率，qij为齐次马尔可夫过程从状态i到状态j的转移速率，则柯尔莫哥洛夫向后方程为；(13)设随机序列｛xn,n?1｝均方收敛于随机变量x,则m,n??limxm?xn=；｛x(七)？,的｝相关函数为223r(s,t?)3s?t则随机过程st｛x(t),t?与其导数过程｛x?(t),t?的互相关函数rxx?(s,t)二；(14)设随机过程15设｛xn,n?1｝是相互独立具有相同分布，且均具有二阶矩的随机变量序列，e(xn)??,n?1,2,?则1limn??xk?k?1n=；16•二阶矩过程｛x(t),t?t在t0?t处均方可微的充要条件是它的相关函数r(s,tE(tO,t处；17对一齐次马氏链，其任意n步转移概率之间的关系为。二、问答题(l)(n)与首达概率fijpij?xy?1、已知随机变量x~n(2,1)，y~n(10,4)，令1，2z1?x?2y和z2?x?y，试求d(z1)和cov(z1,z2)．(完)??求z求x问x设z?x?y.的数学期望和方差•与z的相关系数.与z是否相互独立？为什么？(完)设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。乘客流量如下5时平均乘客为200人/时；5时至8时乘客线性增加，8时达到1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时至21时到达率线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人数的数学期望。随机过程第五版P36例题3.9设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需要维修一次，求它在使用期内只维修过一次的概率第3章泊松过程第39页例5•设随机过程x(t)?r?t?ct?(0,?)c为常数，r服从［0,1区间上的均匀分布。求均值函数、自相关函数。随机过程第2章第44页例题3&设?xn,n?1,2,????是相互独立的随机变量序列，其分布律为?n0??,xn~??121?12?n??n讨论｛xn,n?1,2,???｝均方连续性•第三章、随机分析第6页例题17设x(t的均值函数为xm(t)?5sint相关函数为rx(s,t)?3e求其导数过程的均值函数与相关函数.第三章、随机分析第18页例题38.设马尔可夫链的转移概率矩阵为s)?(t?22,?0.70.10.2???0.80.1p=0.1????0.050.050.9??求马尔可夫链的平稳分布几各状态的平均返回时间。随机过程第五版P66页例题4.16应用随机过程p144例6-279、顾客到达某商店服从参数??4人/小时的泊松过程，已知商店上午9：00开门，试求1)10：00到12：00没有顾客的概率；2)到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。第3章一泊松过程第4页例题应用随机过程试卷（a）中的大题markov链在经济预测领域里也有其广泛的应用。如［商品销售情况预测］设某商品在市场上销售情况共有24个季度的数据（“1”表示畅销、“2”表示滞销）112122111212112211212111并假设该商品的销售状态满足齐次markov性。（1）试确定销售状态的转移概率矩阵；（2）如果现在是畅销，试预测这以后第4个季度的销售状况；（3）如果影响销售的所有因素不变，试预测长期的销售状况。平稳分布习题课2第13页例5-20一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个吸收壁，当质点处于2时，下一时刻转移到1和3的概率各为1。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性?2若有，求出极限分布。随机过程_copy第108页例题3一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻转移到1和3的概率各为1。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，2若有，求出极限分布。随机过程_copy第107页例题2一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。随机过程_copy第106页例题1设{xn，n?0}是具有三个状态0,1,2的齐次马氏链一步转移概率矩阵为：0120?4?1p?1?2??041340?1??1?4?初始分布pi（0）?p{x0?i}?（1）p{x0?0,x2?1,x4?1};1i?0,1,试求：3（2）p{x2?1,x4?1,x5?0|x0?0};（3）p{x2?1,x4?1,x5?0};随机过程_copy第97页例题115：某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔15分钟观察一次计算机的运行状态，收集了24个小时的数（共作97次观察），用1表示正常状态，用0表示不正常状态，所得的数据序列如下：111001001111111001111011111100111111111000111101111011011010111101110111101111110011011111100111设xn为第n（n=1,2,・・・,97个时段的计算机状态，可以认为它是一个齐次马氏链.求（1）一步转移概率矩阵;（2）已知计算机在某一时段（15分钟）的状态为0，问在此条件下，从此时段起，该计算机能连续正常工作45分钟（3个时段）的条件概率.随机过程_copy第89张例题1016、设{xn}是时齐markov链，i?{0,1，2，3}，其一步转移矩阵?00.5?00p???00??0.5000.5??10?01??00.5?随机过程第5章第20页例题117、已知一齐次马尔可夫链只有三个状态1,2,3，其一步转移概率矩阵为讨论状态0和3的常返性。?0.50.50???p??00.50.5??0.500.5???（2）（1）求两步概率矩阵P；（2）设初始分布为p{x0?1}?p{x0?2}?,p{x0?3}?求经两步转移后处于状态3的概率。1412随机过程第5版p68例题4.6随机过程第5版1&设x（t）?at?2b其中a,b是相互独立的二阶矩随机变量，均值都为a，方差都为？。（1）均值函数和相关函数；（2）讨论上随机过程的方连续性、均方可导性。219、设某电报局接受的电报数n（t组成poisson流，平均每小时接到3次电报，试求：（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率；（2）下午第一个电报的到达时间的分布。应用随机过程p95练习题3设马氏链的状态空间为s?{a,b,c,d,e}其转移概率矩阵为：?0.6000.40???00.4??00.60p??00.20.600.2????0.4000.60???00.8??00.201）画出其状态转移概率图；（2）试对s进行分类，并各状态的类型。21、设质点在［0,4］的整数点作随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处，在其它整数点分别以概率1/3向左、向右移动一格或停留在原处。求质点随机游动的一步和两步转移概率矩阵。随机过程第五版P67习题44.1题【篇三：随机过程习题答案a】t＞第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布和的分布密度是否独立？说明理由。（（a）分别写出随机变量（b）试问：解：（a）（b）由于：与因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为因此与独立。和2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为试求和的相关系数；(b)与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：(a)利用的独立性，由计算有：当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为t的函数，即，试求方差函数解：由定义，有：・zj\rJI1/UILJJ和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。求(b)若解：(a)的均值、方差和相关函数；与独立，求与y的互相关函数。(b)第二讲作业：p33/2•解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：p33/3.解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：p35/4・解：（1）由题意可知，其中的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且v和相互独立独立。（2）典型样本函数是一条正弦曲线。（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以（4）由于：所以当时，因此当时，由（1）中的结论，有：P36/7.证明：（1）（2）由协方差函数的定义，有：P37/10.解：（1）（2）当i=j时令；否则，则有第三讲作业：P111/7解：（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。（2）由题意，我们有一步转移矩阵：p111/&解：（1）由马氏链的马氏性，我们有:（2）由齐次马氏链的性质，有：因此：P112/9.解：（1），因此有：（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：计算有：，递推得到p112/11．解：矩阵的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：令矩阵则有：因此有：