线性代数第二版答案 (22页)

线性代数第二版答案线性代数第二版答案篇一：刘三阳线性代数第二版第四章习题解答第四章向量空间习题解答本章需要掌握的是：1）向量的定义及向量与线性方程组如何转化，和向量组与矩阵如何转化；2）了解什么叫做线性组合（线性表示），熟练掌握线性无关与线性相关的定义；掌握线性相关与线性表出的关系；3）熟练掌握向量组的秩与极大无关组；4）熟练掌握线性方程组解的判别条件；5）熟练掌握向量空间与基；6）熟练掌握齐次线性方程组解的结构与非齐次线性方程组解的结构，掌握基础解系的概念，和通解的写法。习题4（A）解析10．求向量组的一个极大线性无关组和秩，并把其余向量用极大无关组线性表示。（3）?1?(1,2,1,3)T,?2?(4,?1,?5,?6)T,?1?(1,?3,?4,?7)T,?1?(2,1,?1,0)T【题型解析】该题直接考核的就是向量组的秩与极大无关组，通常如果只需求秩或无关组，只要将各向量均写成列向量组（初等行变换不改变列向量组的线性组合关系），然后化成行阶梯即可。在转化的行阶梯中，非零行的个数即是该向量组的秩，而首非零元所在列就是其中一个极大无关组。而如果不仅要求秩和无关组，还需写出其余向量用极大无关组表示，如本题，就需要化成行最简形，则可以直接写出线性表达式。?1?2解：A???1??3?1412????1?31????0?5?4?1????0?6?70????00?10112?93??51?93??00?00??R(A)=2，%因为化成行最简后，非零行的个数为2极大无关组?1,?2，%因为首非零元所在列为第1,2列?3??11521?1??2,?4??1??2%由行最简形的第3,4列可得993314.设A是n阶可逆方阵，则n维向量?1,?2,?,?r(r?n)线性无关的充要条件是A?1,A?2,?,A?r,线性无关。【题型解析】此题考核的是线性无关的定义以及秩的性质。通常只要碰到题让证明线性相关与线性无关的，都可以用定义来证明。所以要熟练掌握线性相关和无关的定义！解：解法1，定义法（1）?1,?2,?,?r.线性无关，则k1?+k2?2+?+kr?r?0,其中k1??=kr?0，左乘A????k（）+k（+?+k（?0,所以A?1,A?2,?,A?r,线性无关。1A?12A?2）rA?r）（2）则k1A?+k2A?2+?+krA?r?0,其中k1??=kr?0，A?1,A?2,?,A?r.线性无关，因为A可逆，所以左乘A-1，有k1?+k2?2+?+kr?r?0,所以?1,?2,?,?r.线性无关解法2：秩的性质（以下简写）因为A可逆，所以R??1,?2,?,?r??R?A?1,A?2,?,A?r??r又因为%矩阵秩的性质4，P77?1,?2,?,?r与A?1,A?2,?,A?r都3是r个n维向量组成的列向量组，且r<n所以两者的列向量均线性无关20.设R中的两个基?1?(1,1,0)T,?2?(0,1,1)T,?3?(0,0,1)T和?1,?2,?3,已知从基?11?2??，求基向量?203?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵为A???1,?2,?3.?????4?1?6?【题型解析】此题考核的是基变换公式，题中已经直接给出了过渡矩阵，所以直接按基变换公式求解即可。如果题中没有给出过渡矩阵，则需要用单位向量来引出过渡矩阵。?100??11-2??11-2???-203?=?-111?（?1,?2,?3）（=?1,?2,?3）A=?110解：????????011????4-16????2-1-3??%基变换公式22.试用施密特正交化方法把下列列向量组正交化。?111???（1）((?1,?2,?3)?124????139??【题型解析】此题考核的是施密特正交化，只需记住该公式并按该公式求解。前提是要掌握内积的求解公式，即?,??a1b1?a2b2??anbn。注意本题只要求正交化。如要求单位化，还应该继续将求得的每个向量单位化。解：?1??1??1???1?，?1?1+1?2?1?3?，?=?-21?=?2?-?1???0?,?1=?1=?1221?????????1，?13????1???3???1????1??，?，???1?1?4?9?1??1?(?1)?4?0?9?1?0??3??3?31?1?32?2??4???????1，?1?2，?232??9????1????1???14??1??3??3??1?????4??????14???0????2???4???3????3???9???14???4???1????????3???3??24.设x为n维列向量且xTx?1,令H?E?2XXT,求证：H是对称的正交矩阵。【题型解析】此题是个基本题，考核的是对称和正交的定义，即要证明HT?H且HTH=E。TTTT此处还涉及到矩阵转置的一些性质?A?B??A?B,?AB??BA。TT?1??1???1?证：THT=（E-2XXT）=ET??2xxT??E?2?xxT??E?2xxT?HTHTH?(E-2XXT（)E-2XXT）?E?4xxT?4XXTXXT?Ex1?3x3?x4?2??x?3x?x??1?12426.解非齐次线性方程组??2x1?x2?7x3?2x4?5??4x1?2x2?14x3?6【题型解析】此题是个基本题，考核的是非齐次线性方程组解的结构，即非齐次线性方程组的通解等于自己的一个特解与其导出组的基础解系的加和，即x???k1?1?k2?2???kn?n，所以同时此题还考核了齐次线性方程组基础解系的求解。无论是求解非齐次还是齐次，第一步必然是把增广矩阵或系数矩阵写出来，然后初等行变换到最简形矩阵；第二步是将最简形矩阵再写成同解方程组；第三步是由通解方程组看出设其中哪些变量为自由未知量，并写出解的向量形式，即可求得通解。解：1）将增广矩阵化成行最简形，如下2??10301??01101?1-1?????25??00011????06??00000??x1?3x3?1?2)写出同解方程组，A?3?4?x2?x3?1?R?A??R??x?1?4?有一个自由未知量，设x3?k,k为任意常数，则写成向量形式有?103?1-30??217??42141???1???3??1???3?x?1??????1???1??1???1????????x2???0??k?1?,即x??0??k?1?,k为任意常数?x??????????3?101???????0?注：每年求基础解系或是通解都必有一道大题，但是通常是进行提升后的综合题型，不会仅仅考基本题，所以希望童鞋们多加练习求齐次或非齐次线性方程组的通解！???3??1??2????????????28．设?1????,?2????1?,?3????1?,???2??.?3??3???????3??0?????????（1）?为何值时，?可由?1,?2,?3唯一线性表示？（2）?为何值时，?可由?1,?2,?3不唯一线性表示？（3）?为何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示？【题型分析】此题考核的是向量的线性表示与方程组解的判别之间的关系，所用到的求解?唯一解，R?A??R?A?n?方程组有解?方法是第三章的内容，即无穷多解，R?A??R?A?r?n。需要明确的??方程组无解,R?A??R?A??????是，1）唯一线性表示指的是?1x1??2x2??3x3??有唯一解；2）不唯一线性表示指的是3）不能线性表示指的是?1x1??2x2??3x3??无解。?1x1??2x2??3x3??有无穷多解；此题的难点在于这些向量组成的增广矩阵很难化成行最简。解：12??12?????3???3?r?r???A?????1??12???1??12?31??????????????30??3??3???2???1??1????12?????3???此时如果要有唯一解，则??0,然后接着化简，有r?r??1??12?32?????????00?3?????00-3??00-3?????????r?r??+31?r?r??1??12?2?3132??????????????????????12???-1?+12????+3????0-3????0r3?r1?01?%因为??0，所以r???3r24??9??3?2??1r2?r15??????0?-1?+1????????????0-3????0?01?r?(??1)r24??932???????????????2??00??+3?4??9??因此，从最后化成的矩阵可以看出1）唯一表示时，首先??0，其次??3?0000??2)不唯一表示时，?=0，此时原矩阵为?0129????0039??3）不能表示时，?=331.设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩R(A5?3)?2。?1,?2是该方程组的两个解，且有?1??2?(1,3,0)T,2?1?3?2?(2,5,1)T求该方程组的通解。【题型分析】此题考核的是关于非齐次与其导出组之间的关系，灵活应用两者解的表达式。即A?1?b,A?2?b,A??1??2??0,A???1??2???b,??2?篇二：《线性代数》课后习题答案(陈维新)第一章行列式习题1.11.证明：（1）首先证明Q(3)是数域。因为Q?Q(3)，所以Q(3)中至少含有两个复数。任给两个复数a1?b13,a2?b23?Q(3)，我们有(a1?b13)?(a2?b2(a1?b13)?(a2?b2(a1?b13)(a2?b23)?(a1?a2)?(b1?b2)33)?(a1?a2)?(b1?b2)3。3)?(a1a2?3b1b2)?(b1a2?a1b2)3因为Q是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以(a1?b13)?(a2?b2(a1?b13)?(a2?b2(a1?b13)(a2?b23)?(a1?a2)?(b1?b2)3?Q(3)3)?(a1?a2)?(b1?b2)3?Q(3)。3)?(a1a2?3b1b2)?(b1a2?a1b2)3?Q(3)如果a2?b23?0，则必有a2,b2不同时为零，从而a2?b23?0。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以a1?b13a2?b23?(a1?b13)(a2?b23)(a2?b23)(a2?b23)?(a1a2?3b1b2)a?3b2222?(b1a2?a1b2)a?3b22223?Q(3)。综上所述，我们有Q(3)是数域。（2）类似可证明Q(p)是数域，这儿p是一个素数。（3）下面证明：若p,q为互异素数，则Q(p)?Q(q)。（反证法）如果Q(p)?Q(q)，则?a,b?Q?p?(p)?(a?qb)?2ab222p?a?bq，从而有q。由于上式左端是有理数，而q是无理数，所以必有2abq?0。所以有a?0或b?0。2如果a?0，则p?qb，这与p,q是互异素数矛盾。如果b?0，则有p?a，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有Q(p)?Q(q)。同样可得Q(q)?Q(p)。（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q和?之间存在无穷多个不同的数域。2.解：（1）P(?1)是数域，证明略（与上面类似）。（2）Q(?1)就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。而?(?1)?C(?1)?复数域。（3）Z(?1)不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如12?Z(?1)。3.证明：（1）因为F,K都是数域，所以Q?F,Q?K，从而Q?F?K。故F?K含有两个以上的复数。任给三个数a,b?F?K,0?c?F?K，则有a,b,c?F且a,b,c?K。因为F,K是数域，所以有a?b,ab,所以F?K是数域。（2）F?K一般不是数域。例如F?Q(2),K?Q(3)，我们有2,3?F?K，但是6?23?F?K。ac?F且a?b,ab,ac?K。所以a?b,ab,ac?F?K。习题1.22.解：项a23a31a42a56a14a65的符号为(?1)?(234516)??(312645)??习题1.311?11?111???aij?11．证明：根据行列式的定义=?j1j2?jn(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn11??j1j2?jn(?1)?(j1j2?jn)=0。所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的n阶排列，故可以得到全体n阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。1998199920022005023010110?12000200320062．解(1)20012004102?301101C3?C2199820012004199920022005111C2?C11998200120041111=0；11102?30101?1011110006000下三角形08111?10110?111100111?101211?2?6?8=96；（2）00410C3?C200C?C041414（3）1101R2?R101R?R0311011R2401101上三角形23001R3?R201100?111100R4?R30001?1?1?3=；3a?b?c2ab?c?a2c2a2bc?a?b1（4）2b2cR1?R2?R3a?b?c2b2ca?b?cb?c?a2ca?b?c2bc?a?b提取公因子1b?c?a2c1?b?c?a0272222272212bc?a?b10?c?a?b2227222227Ri?R1i?2,3,4,5(a?b?c)2b2cR2?(2b)R1R3?(2c)R11(a?b?c)022272222275=(a?b?c)。3722722222722000025000205002005020005（5）222C1??Ci?2i上三角形x1y115?5?5?5?5?3?。55x1y2x2y2x3y2a2222x1y3x2y3x3y3提取每行的公因子y1x1x2x3y1y1y2y2y2y3y3y33．解：（1）x2y1x3y1性质40。2a?12b?12c?12d?12222???2a?32b?32c?32d?32a?52b?5C4?C32c?5C?C322d?5（2）左端Ci?Ci?1i?4,3,2bcdabcd22222a?12b?12c?12d?1a12222a2a2=0=右端。an?1an?1an?1?an?1?bn?1Ri?R1i?2,?n100?0a1b10?0a20b2?0???an?100?a1?b1a1?a1（3）?a2?b2?a2??bn?1上三角形b1b2?b。n?1??,if?Cn?2,?,C2?C1）=。。。=???,if??,if??,ifn?2n?2n?2n?2（4）原式（先依次Cn?Cn?1,Cn?1。（5）原式（先依次Rn?Rn?1,Rn?1?Rn?2,?,R2?R1）=。。。=?。4．解：设展开后的正项个数为x。则由行列式的定义有D?x?(n!?x)?2x?n!。又因为02?2???00?2D?（利用Ri?R1,i?2,3,?,n）?（下三角行列式）?2n?1。所以有2n?1?2x?n!,x?2n?1?n!2。5．证明：（1）左端C1?C2?C3提取公因子a1?b1?c12a2?b2?c2a3?b3?c3C1?C2?C3c1?a1c2?a2c3?a3a1?b1a2?b2a3?b3C2?C1C3?C1a1?b1?c12a2?b2?c2a3?b3?c3?b1?b2?b3?c1?c2?c3a12a2a3b1b2b3c1c2=右端。c3(-1)C2;(?1)C3（2）利用性质5展开。6．解：（3）与上面3（3）类似可得。7．解：利用行列式的初等变换及性质5。?a10a1?a2?010?a2?0200?03??0a2?01????00??an?1n?1??00??an?1100?0n下三角形00?an?11Ci?1?Cii?1,2,?,n?18．解：?01?a10?01(?1)na1a2?an?1。n9．证明：设原行列式=D。则对5D进行依次如下变换后10?C1,10?C2,100C3,10C4,C1?43?Ci?2i所得的行列式D′第一列由题设中所给的5个数字构成。从而由行列式的定义可知D′可被23整除。又由行列式的性质知D′?1010D。因为23是素数，且1010不可能被23整除，所以D可以被23整除。习题1.4x0ayeh0b0zk0xuv000u0yecdflv0z按第5行展开xv00gayehb0zk0按第4列展开0uxvu0ayeb0z1．解：(1)0g0按第1列展开=xyzuv；篇三：线性代数经管类吴赣昌_第四版__课后习题答案线性代数(吴赣昌主编)(中国人民大学出版社)第一章习题1-11.（1）（2）（3）（4）（5）2.（1）（2）（3）（4）（5）（6）3习题1-21234．（1）（2）（3）习题1-31．（2）（3）（4）（5）2.（1）（2）3.（1）（2）