医用高数课后习题答案

医用高等习题解答（第1,2,3,6章）-PAGE42-第一章函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1.正确。设h(x)=f(x)+f(x),则h(x)=f(x)+f(x)=h(x)。故为偶函数。2.错。y=2lnx的定义域(0,+),y=lnx2的定义域(,0)∪(0,+)。定义域不同。3.错。。故无界。4.错。在x0点极限存在不一定连续。5.错。逐渐增大。6.正确。设，当x无限趋向于x0,并在x0的邻域内，有。7.正确。反证法：设F(x)=f(x)+g(x)在x0处连续，则g(x)=F(x)f(x)，在x0处F(x)，f(x)均连续，从而g(x)在x=x0处也连续，与已知条件矛盾。8.正确。是复合函数的连续性定理。二、选择题题解1.2.y=x(C)3.(A)4.(B)5.(B)6.(D)7.画出图形后知：最大值是3，最小值是10。(A)8.设,则，连续，由介质定理可知。(D)三、填空题题解1.2.是奇函数，关于原点对称。3.,。4.,可以写成。5.设，，6.有界，，故极限为0。7.8.,而，得c=6,从而b=6,a=7。9.10.11.设u=ex1，12.由处连续定义，，得：a=1。四、解答题题解1.求定义域(1),定义域为和x=0(2)定义域为(3)设圆柱底半径为r，高为h，则v=r2h,，则罐头筒的全面积，其定义域为(0,+)。(4)经过一天细菌数为，经过两天细菌数为,故经过x天的细菌数为，其定义域为[0,+)。2.，，。3.,。4.证明：。5.令x+1=t,则x=t1。，所以：。6.求函数的极限(1)原式=。(2)原式==。(3)原式==。(4)原式=。(5)原式==。（P289常见三角公式提示）(6)原式=，令，则，令，则，，原式=。(7)原式===e3。(8)原式===e2。(9)原式==。(10)令，则，原式=(填空题11)。7.，，，，,=8.指出下列各题的无穷大量和无穷小量(1)，为无穷小量。(2)，为无穷小量。(3)，为无穷小量。(4)，为无穷大量。9.比较下列无穷小量的阶，，当x1时，1x与1x3是同阶无穷小。1x与是等阶无穷小。10.当x0时，x2是无穷小量，当x时，x2是无穷大量；当x±1时，是无穷小量，当x0时，是无穷大量；当x+时，ex是无穷小量，当x时，ex是无穷大量。11.。12.，，b=1，=1，a=113.，14.设，，，由介质定理推论知：在(0,2)上至少存在一点x0使得，即。15.设，它在[0,a+b]上连续，且，，若，则a+b就是方程的根。若，由介质定理推论知：至少存在一点(0,a+b),使得,即是的根。综上所述，方程至少且个正根，并且它不超过a+b。16.(1)(g)；(2)(g)；(3)(周)。17.设，则F(x)在[a,b]上连续，，，由介质定理推论知：至少存在一点(a,b),使得。即。所以与在(a,b)内至少有一个交点。第二章一元函数微分学习题题解(P66)一、判断题题解1.正确。设y=f(x),则。2.正确。反证法。假设在x0点可导，则在x0点也可导，与题设矛盾。故命题成立。3.错。极值点也可能发生一阶导数不存在的点上。4.错。如图。5.错。拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。6.错。不满足拉格朗日中值的结论。7.错。设,，则：，显然在点的导数为1，在点的导数不存在，而在点的导数为0。是可导的。8.错。设和，显然它们在(,+)上是单调增函数，但在点的导数为0，的导数不存在。二、选择题题解1.设切点坐标为，则切线的斜率，切线方程为：过得，又有，解方程组得：，，切线方程为：。(A)2.可导一定连续。(C)3.连续但不可导。(C)4.因为。(B)5.，在x=0处导数不存在，但y1在x=0处切线不存在，y2在x=0处切线存在。(D)。6.可导。(C)7.，。(B)8.。(B)三、填空题题解1.,。2.3.,。4.。5.，当时，，单调调减小。6.。7.，，当时，由减变增，取得极小值。8.，。四、解答题题解1.2.(1)不存在，在不可导。(2)，在可导，且。3.不可导。4.过与两点的割线斜率为，抛物线过x点的切线斜率为，故，得，即为所求点。5.过点作抛物线的切线，设切点为，应满足方程，若方程有两个不等的实根x，则说明过点可作抛物线的两条切线。整理方程得：，当时，方程有两个不等的实根。也就是要满足即可。6.求下列函数的导数。(1)(2)(3)(4)(5)(6)7.求下列函数的导数。(1)(2)(3)(4)(5)(6)8.，。9.求下列函数的导数。(1)，，(2)，，(3),，，，,(4)，,10.求下列函数的n阶导数。(1)，，，…，(2)，，，，…，(3)，，，，…，11.求下列隐函数的导数。(1)，，(2)同填空题3。,。(3)(4)12.求下列函数的微分。(1)(2)(3)(4)13.求、近似值。(1)设，则，取，，则，，故(2)设，则，取，，则，，故14.证明下列不等式。(1)设，则，在上单调递减。当时，，即，当时，，即，当时，，即，综上所述，当时，。(2)设,当时,,有,即；设,当时,,有,即；综上所述，当时，有。(3)设，则，当时,，有，即；当时,，有，即；综上所述。15.求下列函数的极限。(1)===(2)===…==0(分子和分母分别求n阶导数，使n>q)(3)====(4)==(5)========(6)=16.证明下列不等式。(1)令,因为f¢(x)=cosx-1<0(x<0),所以当x<0时f(x)↘,f(x)>f(0)=0Þsinx>x；令g(x)=,则：g¢(x)=，g¢¢(x)=-sinx+x,g¢¢¢(x)=-cosx+1>0(x<0),有g¢¢(x)↗Þg¢¢(x)g¢(0)=0Þg(x)↗Þg(x)0,有极小值，17.确定下列函数的单调区间。(1)，定义域(,+)，，令，解得，增减性如下表：x(,)(,)(,+)y¢+00+y↗↘↗(2)，定义域(,+)，，令，解得，均是孤立驻点，故在(,+)单调递增。x(,1)1(1,2)2(2,+)y¢+00+y↗↘↗(3)，定义域(,+)，=，令，解得，增减性如右表：x(1,0)0(0,+)y¢0+y↘极小值为0↗18.求下列函数的极值。(1)，定义域(1,+)，=，令，解得，极值见右表：x(0,)(,+)y¢0+y↘极小值为↗(2)，定义域(0,+)，=，令，解得，极值见如右表：(3)，定义域(,0)∪(0,+)，，，令，解得，有极大值，有极小值。19.求下列函数在所给区间内的最大值和最小值。(1)是[1,1]上的连续函数，减函数且无驻点，但有一个不可导点，它不在[1,1]上，故，。(2)是[10,10]上的连续函数，此函数可用分段函数表示，，令，得：，，，，，比较得：，。(3)是[5,5]上的连续函数，此函数可用分段函数表示，分段点为，，，无驻点。，，比较得：，。20.，，，因为(1,3)为曲线的拐点，所以有，解之得：，。21.，，，令，解得，，，，可验证是曲线的三个拐点。下面论证此三点在一条直线上。只要证明过任意两点的直线的斜率相同即可。，，得证。22.，两端对t求导数：23．设，，。24.(1)求出现浓度最大值的时刻：,,令，解得唯一驻点。，===有极大值。也为最大值。(2)求出现浓度变化率最小值的时刻：令，解得唯一驻点。,===有极小值。也为最小值。25.求何时达最大值。…①，…②，，令，得：。由，而w=341.5，由①得无解。由，得：是唯一驻点。，当时，，，，有极大值。也为最大值。26.讨论下列函数的凹凸性和拐点x+00+y凹拐点3/4凸拐点3/4凹(1)，定义域(,+)，，，令，得，，列表讨论。(2),定义域(,+),,,令,得,,当时,,曲线是凹的。当时,,曲线是凸的。拐点为：。27.讨论下列函数的单调性、极值、凹凸性、拐点和渐进线，并画出它们的大致图形。(1)，定义域(,+)，是偶函数，，有水平渐进线，，x0+++0+000+y拐点极大拐点(2)，定义域(1,1)，是奇函数，，有垂直渐进线，无驻点，但当时导数不存在。，令，得。x1(1,0)0(0,1)1无++无无0+无y拐点0(3)，定义域(,+)，是奇函数，无渐进线。，，令，得驻点，令，得，列表讨论。,,x0+00+0+++y极大拐点极小(4)，定义域(,+)，是偶函数，无渐进线。，，令，得驻点，而，列表讨论。x00++++y极小1(5)，定义域(,+)，是奇函数，，=，有两条渐进线：。无驻点，，令，得x0+0+++y拐点0(6)，定义域(,+)，是偶函数，，有一条水平渐进线y=,=，=，，。x0无+无y极小028.已知不在同一直线上的三点、和；试用表示ABC的面积。解：由P55例42知：直线到的距离为：。那么，直线AB的方程为：，AB两点间的距离为：，ABC的面积=====29.椭圆的切线与x轴y轴分别交于A、B两点，(1)求AB之间的最小距离；(2)求三角形OAB的最小面积。解：椭圆方程：…①如图。设切点坐标为，则…②，此点切线斜率为：，切线方程为：。令，，坐标。令，，坐标。(1)。可设，令，将②代入得：，代入①得驻点：，。===有极小值。，故AB之间的最小距离是。可设面积，=，令，得：，代入①得驻点：，(三角形边长取值应大于零)。=====有极小值。，故三角形的最小面积为ab。第三章一元函数积分学习题题解(P108)一、判断题题解1.错。是原函数的全体，记作。2.错。的任意两个原函数之差为常数。3.错。是。4.正确。5.错。被积函数在x=0处无界。6.正确。，7.正确。被积函数是奇函数，积分区间对称。8.正确。二、选择题题解1.被积函数是奇函数，积分区间对称，定积分为零。或===。(A)2.=+=+=。(A)3.正确的是C。4.=。(D)5.令，，==。(B)6.令，则，===。(D)7.=，=。(D)或==8.==，，==。(B)三、填空题题解1.====。2.===。3.==。4.===0。5.===。6.==。7.=。8.这是积分上限函数，由定理3知：，。四、解答题题解1.分别对三个函数求导数，结果皆为，所以它们是同一函数的原函数。2.(1)错。是不定积分。(2)错。是所有原函数。(3)正确。设是的一个原函数，则。(4)正确。因为积分变量不同，造成被积函数不同。(5)正确。因为时，。3.求下列不定积分(1)=(2)=(3)===(4)==(5)===(6)===(7)==(8)==(9)===(10)==(11)==(12)==(13)==(14)==(15)=4.求下列不定积分(1)==(2)==(3)==(4)===(5)==(6)==(7)=(8)=(9)==(10)==(11)==(12)==(13)==(14)===(15)==(16)==(17)===(填空题5)(18)==(19)===(20)==(21)===(22)===(23)===(24)===(25)==(26)==(27)==(28)===(29)==(30)==(31)===(32)=====5.求下列不定积分(1)===(2)====(3)===(4)===(5)===(6)===(7)===(8)=====(9)====(10)====(11)=====(12)==(13)===(14)===6.求下列不定积分(1)==(2)====(3)======(4)====(5)===(6)===(7)======(8)====，=(9)===(10)===(11)=====(12)====(13)====(14)====7.求下列不定积分(1)====(2)===(3)======(4)===(5)===(6)====8.求下列不定积分(1)===(2)==(3)=====(4)==(5)===(6)==9.将区间细分为n个小区间，在每个小区间上任取一点,，由于小区间的长度很小，可以近似地认为放射性物质在内是以速度均匀分解。(1)分解质量的近似值为：(2)分解质量的精确值为：，10.用定义计算。y=x2在[0,1]上连续，\定积分存在。故可将[0,1]区间n等份：0=x00,y>0)。题解1.画出积分区域，计算下列二重积分：2.交换积分次序积分域由两部分组成：视为Y–型区域,则3.用二重积分求面积(1)y=x,y=5x,x=1；(2)y2=x,y2=4x,x=4；(3)xy=4,xy=8,y=x,y=2x(x>0,y>0)第五章多元函数积分学习题题解(P162)一、判断题题解1.正确2.错。缺r3.4.正确5.如图所示,在D内有0£x+y£1Þ(x+y)2³(x+y)3。错6.错。应为rdrdq二、选择题题解1.函数相同且关于,x,y轴对称，而D1是对称区域,D2是其中四分之一，故I1=4I2。(C)2.因为|x|£1,|y|£1所以x+1³0。(D)3.如图交换积分次序(D)。4.积分区域如图，将之化为极坐标：5.积分区域的面积为1，如图，选择(A)。6.积分区域为矩形。三、填空题题解四、解答题题解1.证明：因为(1,0)在圆周(x-2)2+(y-1)2=2上,圆周上的导数为：2(x-2)+2(y-1)y=0,，故圆周上(1,0)处的切线方程为：x+y=1。而切线上方有：x+y>1，那么在区域D内也有：x+y³1。\(x+y)2£(x+y)32.列出两个变量先后次序不同积分(1)区域D如图：(2)区域D如图：(3)区域D如图：(4)区域D如图：3.改变积分次序4.计算二重积分5.用极坐标计算二重积分所围成的区域6.求平面薄板的质量。7.求椭圆抛物面z=1-4x2-y2与xoy平面所围成的体积。8.求球面x2+y2+z2=a2与柱面x2+y2=ax所围成的体积。图中篮色为所求区域D9.求转动惯量。图中D为所求区域,第七章概率论基础习题题解(P226)一、判断题题解1.错。互不相容为：AB=，而互逆事件为：AB=，A+B=。2.错。当n无限增大时，W(A)P(A)在P(A)值上下摆动，不是无限地接近P(A)。3.正确。由,,。4.正确。由A，B相互独立，可以推出，，相互独立。5.错。泊松定理：在一定条件下，二项分布的极限分布恰为泊松分布。并不是说所有离散型随机变量。6.正确。如连续型随机变量在某一点的概率为0，但并非不可能事件。7.错。是间断的单调增加函数。8.错。X、Y二随机变量不一定相互独立。二、选择题题解1.，，(C)。2.，即A不发生或B不发生(B)。3.，a=1(D)。4.,,(D)。5.(A)。6.,(A)。三、填空题题解1.=0.6+0.80.60.8=0.922.3.，=====0==1+4=54.====四、解答题题解1.(1)(2)A+B+C或(3)(4)2.设收缩压用变量X表示，则A={X16}，B={16X20}，C={X20}。(1)A、B、C互不相容。(2)。(3)AC=不可能事件。3.(1)ABC。(2)AB+C。(3)AB=。(4)，即：A+B=。4.互不相容事件，不一定是对立事件。对立事件一定是互不相容事件。5.20格中有3格无菌丛，6格有1菌丛，…，因而格中菌落数为：0,1,2,3,4,5,6,7的概率为：。6.(1)设A是恰有2个确诊患肝癌事件，则：。(2)设B为4个全部正常事件，则：。7.设A={正品}，，。(1)。(2)。8.(1)在20名学生中任意指定3名抽1号签，其余17名学生在剩余的9X考签中任意抽取。(2)在前14名学生中任意指定2人抽到1号，余下12位在剩下的9X中随意抽取，第15位抽到1号，最后5位在10X中任意抽取。9.设A为结核事件，B为沙眼事件，A与B相互独立。(1)(2)或10.因ABAA+B，又因P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)P(A)+P(B)。故P(AB)P(A)P(A+B)P(A)+P(B)。11.设A、B为分别从甲、乙批种子中随机抽取一粒发芽事件。(1)P(AB)=P(A)·P(B)=0.80.7=0.56(2)P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.8+0.70.56=0.94(3)=0.20.7+0.80.3=0.3812.设A1={第一次患该病心肌受损害}，A2={第二次患该病心肌受损害}，,,,。两次患该病心肌未受损害的概率为：13.设A={第一次致盲}，B={第二次致盲}，由题意,,且在第一次致盲的条件下第二次患眼病一定致盲，即。14.设Bi={第一次取3个有i个新的}，i=0,1,2,3。A={第二次取3个都是新的}。故，，，=0.14578515.由全概率公式：==。16.，=。17.P(A)=0.8,P(B)=0.9,A+B={目标被击中}，P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.8+0.90.80.9=0.9818.设A={甲病}，B={乙病}，C={丙病}，，，，19.只有A和O型血能为A型病人输血，A和O型互不相容，所以P(A+O)=P(A)+P(O)=0.145+0.5=0.64520.Ai={用第i种方法治疗},i=1,2,3,4,B={治疗有效}。(1)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.10.97+0.20.95+0.250.94+0.450.9=0.097+0.19+0.235+0.405=0.927(2)由贝叶斯公式：,由上式知=最大。因此最可能接受的是第Ⅳ种治疗

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。21.=22.设Z={发现的细菌个数}，而p=P{在100cm2上有细菌}=，ZB(1000,0.001),k=0,1,2,…,1000。np10000.001=1,,。23.设A={诊断有溃疡}，B={真正有溃疡}，由题意可知：P(A|B)=0.82,,P(B)=0.03，某人经钡餐透视诊断溃疡而实际上真正有溃疡的概率为：=24.设A={给蛙注射一定剂量的洋地黄死亡}，P(A)=0.4，X为死亡只数。P{X3}===0.0060466+0.0403107+0.1209323+0.2149908=0.382280425.设随机变量是出现的次品数。X=0,1,2,3,4。X01234P0.65610.29160.04860.00360.0001分布函数：26.设X为患病人数,X~B(5000,0.001),又因为n很大，P很小所以用泊松分布近似代替，np50000.001=5，所求概率==10.616=0.38427.设乘客在车站等候时间为X，X在(0,5)上取值是等可能的，可知密度函数,乘客在车站等候时间X若落在(0,3)内，就相当于等候时间小于3分钟，所以。28.(1)因，故，即：=1(2)(3)因，当x<1时，=0；当1x<1时，=；当x>1时，。29.(1)因为F(x)是连续函数，所以：，即，故C=1。(2)(3)30.设Z~N(0,22)，则误差没超过2的概率p=P{|Z|2}==2(1)1=20.84131=0.6826。设Y测量3次出现的次数，P{Y=k}=；P{Y1}=1P{Y<1}==1(10.6826)3=0.968。31.由于X~N(7300,7002)。(1)P{5000=5，所以比平均值高出个标准差。(2)设Z~N(110,52)，Y~N(90,52)。P{Z135}=1P{Z<135}=1=1(5)，P{Y120}=1P{Y<120}=1=1(6)。母亲成绩更好一些。xk101/212pk1/31/61/61/121/434.(1)E(X)=Y211/201P1/31/61/61/121/4=(2)令Y=X+1则Y的分布列：E(Y)=E(X+1)==(3)与(2)同理，E(X2)==35.E(X)==D(X)====36.,E(X)=，D(X)===。37.p~N(0.3,0.0242)。(1)P{p>0.34}=1P{p0.34}=1(1.6666)=0.04846。(2)0.35374131(人)。预期有131人术后活到5年以上。38.(1)X~B(5,0.2)，。(2)E(X)=np=50.2=1，D(X)=npq=50.20.8=0.8。(3)==0.894(4)CV(X)==0.89439.E(Xk)=0，D(Xk)=2，k=1,2,…,nE(X)===D(X)===40.(1)===2A=1，(2)P{0