2021届内蒙古赤峰市高三模拟考试数学（理）试卷及答案

绝密★启用前2021届内蒙古赤峰市高三模拟考试数学（理）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将正确填写在答题卡上一、单选题1．若复数满足，是虚数单位，则（）A．B．C．D．答案：B由除法法则求出，再由乘法法则计算．解：由题意，所以．故选：B．2．已知集合，，则（）A．B．C．D．答案：C解不等式确定集合，由交集定义求解．解：由题意，∴．故选：C．3．设等差数列的前项和为，则“，”是“的最大值为”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：B利用等差数列的性质化简，得出，从而判断出何时取最值.解：若“，”，则故为递减数列，故的最大值为.若“的最大值为”，比如，故，，均为的最大值，但是故则“，”是“的最大值为”的充分不必要条件.故选：B点评：利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”.4．已知，且，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．答案：D根据不等式的性质，正弦函数、指数函数、对数函数的性质判断各选项．解：时，，即，A错；时，，B错；，是增函数，∴，C错；，则，∴，D正确．故选：D．点评：本题考查判断命题的真假．解题关键是掌握不等式的性质，正弦函数、指数函数、对数函数的性质，利用这些性质可判断证明．实际上对于这些错误的不等式还可以通过反例判断它是错误的．5．下图是某统计部门网站发布的《某市2020年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第个月与去年第个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）2020年居民消费价格月度涨跌幅度下列说法错误的是（）①年月CPI环比下降，同比上涨②年月CPI环比上升，同比无变化③年月CPI环比下降，同比上涨④年月CPI环比下降，同比上涨A．①③B．①④C．②④D．②③答案：D根据拆线图中数据判断．解：观看拆线图，年月CPI环比下降，同比上涨，①正确，②错误，年月CPI环比下降，同比上涨，④正确，③错误，故选：D．6．设双曲线的右焦点为，离心率为，若经过和两点的直线垂直于双曲线的一条渐近线，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．答案：A根据斜率公式求出直线的斜率为，再根据两直线垂直斜率之积为，可得，然后结合，即可解出，从而得到双曲线的方程．解：因为，所以，即，又，，解得，所以该双曲线的方程为．故选：A．点评：本题主要考查双曲线的简单几何性质的应用，以及斜率存在的两条直线垂直等价条件的应用，属于基础题．7．一只昆虫在边长为的等边三角形区域内随机爬行，则其到三角形任意一个顶点的距离不小于的概率为（）A．B．C．D．答案：D利用几何概型的概率公式可求昆虫到三角形任意一个顶点的距离不小于的概率，从而可得正确的选项．解：如图，昆虫在边长为的等边三角形区域内随机爬行，其到三角形任意一个顶点的距离不小于对应的点的集合为阴影部分对应的区域，其面积为，故所求的概率为，故选：D．8．已知数列的前项和为，且满足，，则（）A．B．C．D．答案：B由可知，数列隔项成等比数列，从而得到结果.解：由可知：当n≥2时，，两式作商可得：∴奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，∴故选B点评：本题考查数列的递推关系，考查隔项成等比，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.9．已知函数，具有以下性质：（1）对任意的，都有，且的最小值为；（2）为奇函数；（3）任取，当时，都有．同时满足上述性质的一个函数可以是（）A．B．C．D．答案：B根据题设的条件可得正弦型函数的周期、对称中心以及函数在上的单调性，再逐项检验各选项中的函数是否满足即可得到正确的选项．解：因为对任意的，都有，且的最小值为，故的半周期为即周期为，此时ABCD各选项中的函数均满足．因为为奇函数，故图象的对称中心为，对于D中的函数，因为，故不是图象的对称中心，故排除D．因为等价于，故在上为增函数，当时，，而在为减函数，故在为减函数，不合题意，舍；当时，，而在为增函数，故在为增函数，符合；当时，，而在为减函数，故在为减函数，不合题意，舍；故选：B．点评：方法点睛：已知检验给定的点是否正弦型函数的对称中心，可以用代入检验法，而单调性的研究则需结合“同增异减”的原则来判断．10．设函数满足对，都有，且在上单调递增，，，则函数的大致图象是（）A．B．C．D．答案：A先根据题设可得的图象和性质，再结合的性质可得的图象性质，从而可得正确的选项.解：令，，因为，故的图象关于直线对称，故的图象关于轴对称，即，故，故为偶函数，其图象关于轴对称，故排除BD.因为在上单调递增，故在为增函数，因为，故，故时，，故，故排除C，故选：A．点评：方法点睛：函数图象的识别问题，注意根据已有函数的性质去探寻目标函数的性质，从而从函数的奇偶性、单调性、特殊点处的函数值的符号去研究．11．（chuhong），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶”，如图为一“刍甍”的五面体，其中为矩形，和都是等腰三角形，，，若，且，则异面直线与所成角的大小为（）A．B．C．D．答案：C作平行四边形，得到，异面直线与所成角为，求出的边长求角即可.解：设，在上取点满足，故且，故四边形是平行四边形，故异面直线与所成角为，，故为等边三角形故故选：C点评：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．12．已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．答案：A有两解变形为有两解，设，利用导数确定函数的单调性、极值，结合的大致图象可得结论．解：由得，设，则，易知当时，，递增，当时，，递减，，，，如图是的大致图象，由有两解得，所以．故选：A．点评：关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化．函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变形为，问题转化为的图象与直线有两个交点，利用导数研究函数的单调性、极值后可得．二、填空题13．边长为的等边中，为边上的中线，为的中点，则__________．答案：选当作基底，示出，利用数量积的运算律计算即可.解：由已知易得故答案为：14．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，则的面积为__________．答案：由椭圆定义得，由余弦定理得，结合可得的值，从而得答案.解：由已知得，所以，由椭圆定义得，由余弦定理得，即，，则的面积为.故答案为：.点评：本题考查了椭圆的简单的性质，关键点是利用余弦定理和三角形的面积公式解题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.15．如图是为了提高小朋友智力的游戏画板，现提供种不同的颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域不同色，则使、区域同色的涂法有__________种．答案：选1种颜色涂区，然后在剩下的4种中选3种（三区不同色）或选2种（同色）涂色即得．解：涂色后，按同色和不同色分类计算．所以总方法为．故答案为：180．16．在如图棱长为的正方体中，点、在棱、上，且，在棱上，为过、、三点的平面，则下列说法正确的是__________．①存在无数个点，使面与正方体的截面为五边形；②当时，面与正方体的截面面积为；③只有一个点，使面与正方体的截面为四边形；④当面交棱于点，则、、三条直线交于一点．答案：①②④让从开始逐渐向运动变化，观察所得的截面，从而可得正确的选项．解：由题设可得为所在棱的中点.当时，如图（1），直线分别交与，连接并延长于，连接交于，则与正方体的截面为五边形，故①正确.当，如图（2），此时与正方体的截面为正六边形，其边长为，其面积为，故B正确.当重合或重合时，如图（3），与正方体的截面均为四边形，故③错误.如图（4），在平面内，设，则，而平面，故平面，同理平面，故平面平面即、、三条直线交于一点.故答案为：①②④.点评：思路点睛：平面的性质有3个公理及其推理，注意各个公理的作用，其中公理2可用来证明三点共线或三线共点，公理3及其推理可用来证明点共面或线共面，作截面图时用利用公理2来处理.三、解答题17．锐角的内角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求角；（2）求的取值范围．答案：（1）；（2）.（1）利用正弦定理边角互化为，再利用余弦定理求角；（2）利用（1）的结果，转化，再利用三角恒等变形，原式转化为，再根据的范围求值域.解：（1）由题设及正弦定理得由余弦定理得，，（2）为锐角三角形，，，，，的取值范围为.点评：方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．18．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，面面，且，点在棱上．（1）证明：当时，直线平面；（2）当平面时，求二面角的余弦值．答案：（1）证明见解析；（2）.（1）连结与交于点，连结，证明后可得线面平行；（2）取的中点为，以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值．解：（1）证明：连结与交于点，连结，，，，，又面，面，平面．（2）解：平面，，是的中点，取的中点为，平面以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，则令，则，，设平面的法向量为，则令，则，，二面角的余弦值为．点评：方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．19．疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了名学生的成绩，并计算得知这个学生的平均成绩为，其中个低分成绩分别是、、、、；而产生的个高分成绩分别是、、、、、、、、、．（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布（和分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．（参考数据：）规定：若，，则称变量“近似满足正态分布的概率分布”．（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于分的同学只有一次抽奖机会，不低于分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得元奖金的概率是，获得元的概率是．现在从这个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为，求的分布列和数学期望．答案：（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5.（1）计算出和，结合已知条件判断可得出结论；（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得随机变量的数学期望值.解：（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：，，，，，得分小于分的学生有个，得分大于分的有个，，学生的得分都在间，．学生得分近似满足正态分布的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；（2）设这名同学获得的奖金为，则的可能值为、、、，，，，，故的分布列为：．点评：思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.20．已知函数．（1）求的单调区间；（2）设，在（1）的条件下，求证：．答案：（1）单调递增区间为，无递减区；（2）证明见解析.（1）求导数，由确定增区间，由得减区间；（2）由（1）得时，，即，令，代入后得个不等式，相加后可得证明题设结论．解：（1）解：函数的定义域为由，得令即在上单调递减，在上单调递增，故，于是单调递增区间为，无递减区（2）证明：由（1）可知在上单调递增函数，又，当时，，于是得证．点评：关键点点睛：本题考查用导数求单调区间，用导数证明数列不等式．这类问题的解决，通常后一小题需要用到前一小题（或前面所有）的结论，通过变形，赋值等手段进行证明求解．如本题第（1）小题函数单调性得出不等式，只要在此不等式中对赋值，个不等式相加即可．21．已知点是圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上．（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，延长交直线于点，延长交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点，求证：．答案：（1）；（2）证明见解析.（1）设，利用在圆上及弦的中点在轴上可得点的轨迹方程，也可以利用垂径定理得到点的轨迹方程，注意范围．（2）设，，直线的方程为，点的处的切线方程为，联立切线方程和抛物线方程，利用判别式为可求切线方程，从而得到的坐标，求出直线的方程后可得的坐标，再联立直线的方程与抛物线的方程，利用韦达定理化简可得，从而得到要求证的垂直关系．我们也可以设，利用导数和韦达定理可求的坐标，同样可得．解：（1）解法一：由题意知，，设是上的任意点，弦的中点恰好落在轴上，，，，整理得，，，点的轨迹方程为．解法二：设，弦的中点为，，　因为在轴的负半轴上，故．，由垂径定理得，故．（2）证法一：设直线的方程为，则由，消去，整理得，．设，，则，，，直线的方程为，令，则，．设点的处的切线方程为，与相切，由，消去，整理得，，，，直线，令，则，，，，．证法二：设，则直线的方程为，，设直线的方程为，则由，消去，整理得，，设，则，由抛物线的对称性，不妨设在轴下方，则由曲线，得，切线的斜率为，切线方程为，则，．点评：思路点睛：（1）求动点的轨迹方程，几何法、动点转移法、参数法等．（2）直线与抛物线的位置关系中的定值问题，一般联立直线方程和抛物线的方程，利用韦达定理化简目标代数式，涉及到切线范围，可借助导数来求切线的斜率．22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立坐标系，曲线极坐标方程为，且曲线与直线有且只有一个交点．（1）求；（2）过点且倾斜角为的直线交直线于点，交曲线异于原点的一点，，求的取值范围．答案：（1）；（2）.（1）求出直线的普通方程和圆的直角坐标方程，利用相切可求的值.（2）求出直线的极坐标方程，设点的极坐标为，点的极坐标为，利用三角变换可得，从而可求其取值范围.解：解：（1）消去参数可得直线的普通方程为，由可得，故，故曲线的普通方程为.因为曲线与直线有且只有一个交点，所以直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离为到直线，所以，解得或（舍去）.（2）直线的极坐标方程为，曲线极坐标方程为，则设点的极坐标为，点的极坐标为，，，，，，，，，.点评：方法点睛：极坐标方程与直角坐标方程的互化，关键是．参数方程化为直角方法，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等．23．设函数．（1）求的最小值；（2）在（1）的件下，证明．答案：（1）；（2）证明见解析.（1）先求出函数的解析式，再根据函数的单调性即可求出最小值；（2）因为，根据定义去绝对值或者使用绝对值三角不等式即可证出．解：(1)在递减，在递增，当时，的最小值为(2)证明：当时，原式当时，原式，或用如下方法：．试卷第2页，总3页