2020年湖南省长沙市雨花区雅礼中学自主招生数学模拟试卷

2020年湖南省长沙市雨花区雅礼中学自主招生数学模拟试卷一、选择（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　）A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S12．（3分）如图，示阴影区域的不等式组为（　　）A． B． C． D．3．（3分）正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1，设p，则（　　）A．p＞5 B．p＝5 C．p＜5 D．p与5的大小关系不确定4．（3分）函数y＝ax2+bx+c图象的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，（a+c）2﹣b2，（a+b）2﹣c2，b2﹣a2等代数式的值中，正数有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（3分）如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示．图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则有（　　）A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2 C．x2＞x3＞x1 D．x3＞x2＞x1二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）6．（3分）已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是　　．7．（3分）在一个3×3的方格表中填有1～9这9个数字，现将每行中数字最大的那个格子涂红色，数字最小的那个格子涂绿色．设M为三个红色方格中数字最小的那个数，m是三个绿色方格中数字最大的那个数，则M﹣m可以有　　个不同的值．8．（3分）如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A、B、C、D着色，要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色．满足恰好A涂蓝色的概率为　　．9．（3分）方程2x2﹣xy﹣3x+3y+2006＝0的正整数解（x，y）为　　．10．（3分）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4），B（﹣2，0），C（2，﹣3），D（2，0）、设P是x轴上的点，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标：　　．11．（3分）以[x]表示不超过x的最大整数（例如：[π]＝3，[]＝﹣4），记A＝[x]+[2x]+[3x]+[4x]．在所有的正整数中，有些数是A取不到的，把所有A取不到的正整数从小到大排起来，第30个数是　　．12．（3分）现有长144cm的铁丝，要截成n小段（n＞2），每段的长度为不小于1cm的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为　　．13．（3分）已知方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0（其中a为非负整数）至少有一个整数根．那么a＝　　．14．（3分）用标有1克，2克，6克，26克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）有　　种．15．（3分）如图，AB，CD是圆O的直径，且AB⊥CD，P为CD延长线上一点，PE切圆O于E，BE交CD于F，AB＝6cm，PE＝4cm，则EF的长为　　cm．三、解答题（共1小题，满分0分）16．k、a、b为正整数，k被a2、b2整除所得的商分别为m，m+116．（1）若a，b互质，证明a2﹣b2与a2、b2都互质；（2）当a，b互质时，求k的值．（3）若a，b的最大公约数为5，求k的值．2020年湖南省长沙市雨花区雅礼中学自主招生数学模拟试卷参考与解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　）A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1【分析】设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．【解答】解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA＝60°，∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．∴S扇形AOC；S扇形BOC．在三角形OCD中，∠OCD＝30°，∴OD，CD，BCR，∴S△OBC，S弓形，，∴S2＜S1＜S3．故选：B．【点评】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形﹣三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系．2．（3分）如图，表示阴影区域的不等式组为（　　）A． B． C． D．【分析】根据图形即可判断阴影部分是由x＝0，y＝﹣2x+5，yx三条直线围起来的区域，再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可得出答案．【解答】解：∵x≥0表示直线x＝0右侧的部分，2x+y≤5表示直线y＝﹣2x+5左下方的部分，3x+4y≥9表示直线yx右上方的部分，故根据图形可知：满足阴影部分的不等式组为：．故选：D．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是根据图形利用一次函数与一元一次不等式的关系正确解答．3．（3分）正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1，设p，则（　　）A．p＞5 B．p＝5 C．p＜5 D．p与5的大小关系不确定【分析】首先由a，b，c，d均为正数，且a+b+c+d＝1，可得：0＜a，b，c，d＜1；再分析与x+1的大小关系即可得到：x+1，则问题得解．【解答】解：方法1：∵a，b，c，d均为正数，且a+b+c+d＝1，∴必有0＜a，b，c，d＜1∵p，事实上我们在xOy坐标系中作出函数f（x）的图象，显然可以发现其图象一定在点（0，1）和（1，2）这两点连线的上方，而这两点连线的方程为y＝x+1，∴可以发现在（0，1）上恒有x+1，当然这样只是画图所得，未必准确，∴还要严格证明，证之如下：上式两边平方得：3x+1＞x2+2x+1，∴x2﹣x≤x（x﹣1）＜0，而此时x∈（0，1），可见上式显然成立．所以我们有：a+1，b+1，c+1，d+1，以上四式相加得pa+b+c+d+4＝5，即有P＞5．方法2：0＜a＜1，a（1﹣a）＞0，a2﹣a＜0，a2+2a+1＜3a+1，a+1，同理b+1，c+1，d+1，四式相加得p5．故选：A．【点评】此题考查了函数的最值问题，还考查了学生的分析能力．解题的关键是掌握函数f（x）的性质．4．（3分）函数y＝ax2+bx+c图象的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，（a+c）2﹣b2，（a+b）2﹣c2，b2﹣a2等代数式的值中，正数有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】图象开口向下a＜0，c＜0，对称轴x0，当x＝1时，y＞0，当x＝﹣1时，y＜0，由以上信息即可解答此题．【解答】解：观察图形，显然，a＜0，c＜0，b＞0，∴ab＜0，bc＜0，由，得b＜﹣2a，所以2a+b＜0；由a﹣b+c＜0得（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＜0；由a+b+c＞0得a+b＞﹣c＞0，因此（a+b）2﹣c2＞0，|b|＞|a|，b2﹣a2＞0．综上所述，仅有（a+b）2﹣c2，b2﹣a2为正数．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数关系，难度不大，关键认真观察图形题图结合正确地分析出a，b，c的正负．5．（3分）如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示．图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则有（　　）A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2 C．x2＞x3＞x1 D．x3＞x2＞x1【分析】给出一个交通环岛，通过图形给出一些数据，其实问题就是加减法，但要抓住主线，即车辆的来源．据此列方程比较其大小一眼可见．【解答】解：依题意，有x1＝50+x3﹣55＝x3﹣5，推出x1＜x3，同理，x2＝30+x1﹣20＝x1+10，推出x1＜x2，同理，x3＝30+x2﹣35＝x2﹣5，推出x3＜x2．故选：C．【点评】段上的车辆数x1有两部分组成，一是从A口进来的50辆，二是从段上分流过来的x3﹣55，于是有x1＝50+x3﹣55＝x3﹣5，所以x1＜x3，同理得x3＜x2，答案为C．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）6．（3分）已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是　﹣1≤a　．【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．注意当x的系数含有字母时要分情况讨论．【解答】解：不等式ax+3≥0的解集为：（1）a＞0时，x，正整数解一定有无数个．故不满足条件．（2）a＝0时，无论x取何值，不等式恒成立；（3）当a＜0时，x，则34，解得﹣1≤a．故a的取值范围是﹣1≤a．【点评】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．当x的系数含有字母时要分情况讨论．7．（3分）在一个3×3的方格表中填有1～9这9个数字，现将每行中数字最大的那个格子涂红色，数字最小的那个格子涂绿色．设M为三个红色方格中数字最小的那个数，m是三个绿色方格中数字最大的那个数，则M﹣m可以有　8　个不同的值．【分析】三个红色方格中所填的数都是它们所在行中最大的数．因此它们不可能是1与2．又∵M是三个红色方格中最小的数．所以，它不可能为8与9．即M不可能为1，2，8，9．同理，m也不可能为1，2，8，9．这样M与m都介于3与7之间．因此M﹣m介于3﹣7＝﹣4与7﹣3＝4之间（包括﹣4与4）．【解答】解：∵因为M与m分别是红色方格与绿色方格中的数，故M﹣m≠0．∴M﹣m可能有8个不同的值：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4．故M﹣m可以有8个不同的值．故答案为：8．【点评】本题通过3×3的方格表考查了规律型：数字的变化，解题的关键是先得出M与m可能的取值，再依此算出M﹣m可能的取值．8．（3分）如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A、B、C、D着色，要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色．满足恰好A涂蓝色的概率为　　．【分析】首先分析出所有满足条件的涂法，然后找出恰好A涂蓝色的涂法，它们的比值即为所求的概率．【解答】解：要使有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色，则当A涂红时，可有A红、B蓝、C黄、D红；A红、B蓝、C黄、D蓝；A红、B黄、C蓝、D红；A红、B黄、C蓝、D黄共4种情况，；当A涂蓝时，同理也有4种情况；当A涂黄时也有4种情况．∴恰好A涂蓝色的概率为．故答案为．【点评】本题考查的是几何概率，关键是不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．9．（3分）方程2x2﹣xy﹣3x+3y+2006＝0的正整数解（x，y）为　（4，2026）；（8，442）；（16，19）；（34，136）；（68，170）；（158，332）；（406，820）；（2018，4040）　．【分析】先将原方程化成（x﹣3）（y﹣3﹣2x）＝5×13×31，再分八种情况进行讨论计算即可得出结论．【解答】解：∵2x2﹣xy﹣3x+3y+2006＝0，∴（2x2﹣6x）﹣（xy﹣3y）+（3x+9）＝﹣2015，∴（x﹣3）（2x﹣y+3）＝﹣2015，∴（x﹣3）（y﹣3﹣2x）＝5×13×31，∴①，解得，即：（x，y）＝（4，2026）；②，解得，即：（x，y）＝（8，442）；③，解得，即：（x，y）＝（16，19）；④，解得，即：（x，y）＝（34，136）；⑤，解得，即：（x，y）＝（68，170）；⑥，解得，即：（x，y）＝（158，332）；⑦，解得，即：（x，y）＝（406，820）；⑧，解得，即：（x，y）＝（2018，4040）；故答案为：（4，2026）；（8，442）；（16，19）；（34，136）；（68，170）；（158，332）；（406，820）；（2018，4040）．【点评】此题是非一次不定方程（组），主要考查了一元二次方程的整数根与有理数根，以及不等式的化简，因式分解，分解质因数解本题的关键是把原方程化成（x﹣3）（y﹣3﹣2x）＝2015．10．（3分）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4），B（﹣2，0），C（2，﹣3），D（2，0）、设P是x轴上的点，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标：　（，0），（14，0），（4，0），（﹣4，0）　．【分析】此题需要分情况分析，当点P在AB左边，在AB与CD之间，在CD的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得．【解答】解：设OP＝x（x＞0），分三种情况：一、若点P在AB的左边，有两种可能：①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD，则（x﹣2）：3＝4：（x+2）解得x＝4，∴点P的坐标为（﹣4，0）；②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD，则（﹣x﹣2）：（2﹣x）＝4：3解得：x＝14，与假设在B点左边矛盾，舍去．二、若点P在AB与CD之间，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（x+2）：（2﹣x）解得：x，∴点P的坐标为（，0）；②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3，方程无解；三、若点P在CD的右边，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（2+x）：（x﹣2），∴x＝14，∴点P的坐标为（14，0），②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3，∴x＝4，∴点P的坐标为（4，0）；∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．【点评】此题考查相似三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用．注意分类讨论，小心别漏解．11．（3分）以[x]表示不超过x的最大整数（例如：[π]＝3，[]＝﹣4），记A＝[x]+[2x]+[3x]+[4x]．在所有的正整数中，有些数是A取不到的，把所有A取不到的正整数从小到大排起来，第30个数是　77　．【分析】首先考虑的是为什么数字会取不到．因为随着x增大，[x]，[2x]，[3x]，[4x]中有时候只有一个数会增加1，有时几个数同时增加1，使得中间数有跳过．在10之内分析可得：中间跳过3，7，8，9；得到规律：每隔10会有一个循环，即可求得第30个数是为77．【解答】解：∵随着x增大，[x]，[2x]，[3x]，[4x]中有时候只有一个数会增加1，如x＝0.25时，在x＜0.25时，[x]，[2x]，[3x]都是0，[4x]是1，A＝0+0+0+1＝1；当4x＝1时，有时几个数同时增加1，使得中间数有跳过．如当0.25＜x＜0.5，A＝0+0+1+1＝2，当x＝0.5时，A＝0+1+1+2，中间就跳过了3．如当0.5＜x＜1，A＝0+1+2+3，当x＝1，A＝1+2+3+4，中间跳过3，7，8，9．再增加也是这个规律，每隔10会有一个循环．∴从小到大排列，第30个数应该是，30除以4等于7余2，∴第30个数是为77．故答案为：77．【点评】此题考查了取整函数的知识．解此题的关键是找到每隔10会有一个循环，中间跳过了末尾为3，7，8，9的数字的规律．12．（3分）现有长144cm的铁丝，要截成n小段（n＞2），每段的长度为不小于1cm的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为　10　．【分析】因n段之和为定值144cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列．【解答】解：∵每段的长为不小于1（cm）的整数，∴最小的边最小是1，∵三条线段不能构成三角形，则第二段是1，第三段是2，第四段与第二、第三段不能构成三角形，则第四边最小是3，第五边是5，依次是8，13，21，34，55，再大时，各个小段的和大于150cm，不满足条件．上述这些数之和为143，与144相差1，故可取1，1，2，3，5，8，13，21，34，56，这时n的值最大，n＝10．故答案为：10【点评】本题考查了三角形三边关系，难度较大，解答本题的关键是保证前两项最短的情况下，使第三项等于前两项之和，这样便不能构成三角形．13．（3分）已知方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0（其中a为非负整数）至少有一个整数根．那么a＝　1，3或5　．【分析】利用根的判别式得出关于a的式子，然后求出两根，利用倍数与约数求出a的值．【解答】解：显然a≠0．故原方程为关于x的二次方程．△＝[﹣（3a2﹣8a）]2﹣4a2（2a2﹣13a+15），＝[a（a+2）]2是完全平方式．故x即x12，x21．当2是整数时，a＝1，3；当1是整数时，a＝1，5．综上所述，a＝1，3或5．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及方程根的求法和数据的倍数与约数．14．（3分）用标有1克，2克，6克，26克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）有　28　种．【分析】本题就是考查了1、2、6、26所有组合的和差（除去负数外）共有多少种情况，有多少不同的结果就有多少种称重克数．【解答】解：（1）当一端放砝码，另一端不放砝码时：①当天平一端只放一个砝码时，可称量重物的克数有：1克，2克，6克，26克4种；②当天平的一端只放两个砝码时，可称量重物的克数有：1+2＝3克，1+6＝7克，1+26＝27克，2+6＝8克，2+26＝28克，6+26＝32克6种；③当天平一端只放三个砝码时，可称量重物的克数有：1+2+6＝9克，1+2+26＝29克，1+6+26＝33课，2+6+26＝34克共4种；④当天平一端放四个砝码时，可称量重物的克数有1+2+6+26＝35克共1种（2）当两端都放砝码时：①当两端都有一个砝码时，可称量的重物的克数有：2﹣1＝1克，6﹣1＝5克，6﹣2＝4克，26﹣1＝25克，26﹣1＝24克，26﹣6＝20克除去和上面重复的外，共5种；②当两端共有三个砝码时，可称量的重物的克数有：6+1﹣2＝5克，6+2﹣1＝7克，1+26﹣2＝25克，2+26﹣1＝27克，26+1﹣6＝22克，6+26﹣2＝30克，26+1﹣6＝21克，26+6﹣1＝31克，26﹣1﹣2＝23克，26﹣1﹣6＝19克，26﹣2﹣6＝18克除去重复的外，共有7种③当天平两端放四个砝码时，可称量重物的克数有：26+1+2﹣6＝23克，26+2+6﹣1＝33克，26+1+6﹣2＝31克，26+1﹣2﹣6＝19克，26+2﹣1﹣6＝21克，26+6﹣1﹣2＝29克，26﹣1﹣2﹣6＝17克除重复的外共1种．所以共有4+6+4+1+5+7+1＝28（种）故答案为：28．【点评】此题主要考查了分类讨论的思想．解题过程中注意不重不漏．15．（3分）如图，AB，CD是圆O的直径，且AB⊥CD，P为CD延长线上一点，PE切圆O于E，BE交CD于F，AB＝6cm，PE＝4cm，则EF的长为　　cm．【分析】连接OE，可求得∠PEF＝∠PFE，可求得PF，在Rt△OBF中由勾股定理可求得BF，再利用相交弦定理可求得EF的长．【解答】解：如图，连接OE，∵∠PEF＝90°﹣∠OEB＝90°﹣∠OBE＝∠OFB＝∠EFP，∴PF＝PE＝4，在Rt△OPE中，由勾股定理可得OP2＝PE2+OE2，∴OP2＝32+42＝25，解得OP＝5cm，∴OF＝OP﹣PF＝5﹣4＝1（cm），DF＝OD﹣OF＝2cm，CF＝OF+OC＝4cm，在Rt△OBF中，由勾定理可得BF2＝OB2+OF2，即BF2＝32+12＝10，∴FBcm，又由相交弦定理可知BF•EF＝CF•DF，∴EFcm，故答案为：．【点评】本题主要考查切线的性质及垂径定理，证得PE＝PF是解题的关键．三、解答题（共1小题，满分0分）16．k、a、b为正整数，k被a2、b2整除所得的商分别为m，m+116．（1）若a，b互质，证明a2﹣b2与a2、b2都互质；（2）当a，b互质时，求k的值．（3）若a，b的最大公约数为5，求k的值．【分析】（1）假设出s是a2﹣b2与a2的最大公约数，得出a，b的关系为互质，得出s＝1；证出a2﹣b2与a2、b2都互质；（2）由k被a2、b2整除所得的商分别为m，m+116，得出ma2＝（m+116）b2得出（a2﹣b2）|116b2，得出a2﹣b2是116的约数，116＝2×2×29，进而得出k的值；（3）假设a＝5x，b＝5y，得出x，y的最大公约数为1，得出m（x2﹣y2）＝116（y）2进而得出k的值．【解答】解：（1）设s为a2﹣b2与a2的最大公约数，则a2﹣b2＝su，a2＝sv，u，v是正整数，∴a2﹣（a2﹣b2）＝b2＝s（v﹣u），可见s是b2的约数，∵a，b互质，∴a2，b2互质，可见s＝1．即a2﹣b2与a2互质，同理可证a2﹣b2与b2互质；（2）由题知：ma2＝（m+116）b2，m（a2﹣b2）＝116b2，∴（a2﹣b2）|116b2，∵（a2﹣b2，b2）＝（a2，b2）＝1，∴（a2﹣b2）|116，所以a2﹣b2是116的约数，116＝2×2×29，a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），而a﹣b和a+b同奇偶性，且a，b互质，∴a2﹣b2要么是4的倍数，要么是一个大于3的奇数，∴（a﹣b）（a+b）＝29或（a﹣b）（a+b）＝116，∴a﹣b＝1，a+b＝29或a﹣b＝1，a+b＝116或a﹣b＝2，a+b＝58或a﹣b＝4，a+b＝29，解得只有一组解符合条件，a＝15，b＝14，∴m（152﹣142）＝116×142，∴m＝4×142＝784，∴k＝784×152＝176400；（3）设a＝5x，b＝5y，即x，y的最大公约数为1，则m（a2﹣b2）＝116b2，∴即m（25x2﹣25y2）＝116（5y）2，∴m（x2﹣y2）＝116（y）2，∵x，y互质，则有：m＝24×72，∴x＝15，y＝14，a＝75，b＝70，m＝784，k＝784×752＝4410000．【点评】此题主要考查了数的互质性以及数的整除性，应用最大公约数与互质性解决问题学要正确把握．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经面同意，不得复制发布日期：2020/5/318:15:15；用户：一脸坏笑；邮箱：9827982@xyh.com；学号：24607895第1页（共1页）