24.1.2垂径定理(县优质课课件)

问题：赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？将手中的圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴。C如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意一点。过点A作AB⊥CD,交⊙O于点B,垂足为E,连接OA,OB.·OABDE·OABCDE条件CD为直径CD⊥AB垂径定理的几何语言叙述:AE=BE，AC=BC，⌒⌒AD=BD．⌒⌒∴AE=BEAC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒∵垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．CD⊥AB引申定理 定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式： 一条直线具有：平分弦经过圆心垂直于弦平分弦所对的劣（优）弧·ABCDE·ＯＯABDC条件CD为直径AC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒CD⊥ABAE=BE平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（不是直径）垂径定理的推论:CD⊥AB吗？(E)合作探究“知二推三”(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(2）(3)时,应对另一条弦增加”不是直径”的限制.判断下列图形，能否使用垂径定理？判断：()(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.()(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.()(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.√www.czsx.com.cn*例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．应用新知识解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中在⊙O中解：如图，设半径为R，在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得解得R≈27.3（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.D例2：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）AB=37,CD=7.23R18.5R-7.23OABC图中两圆为同心圆2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．证明：∴四边形ADOE为矩形，又　∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.小结1.圆的轴对称性2.垂径定理及其推论3.对称美、和谐美贯穿始终4.数学来源于生活又服务于生活选择：如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD（2）AB平分CD（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为（）A、3B、2C、1D、0A常用辅助线:垂直于弦的直径⌒在直径是20cm的⊙O中，AB的度数是60˙，那么弦AB的弦心距是_____弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为　　　　　　.已知P为⊙O内一点,且OP=2cm,如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于_______某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？（2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦AB有可能被直径CD平分？ 你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!垂径定理的推论 如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,垂径定理及推论垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. 条件 结论 命题 ①② ③④⑤ ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③www.czsx.com.cn*