【专题4】第一讲　等差数列与等比数列

第一讲　等差数列与等比数列1．an与Sn的关系：Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝Error!2．等差数列和等比数列等差数列等比数列an定义－＝常数≥＝常数(n≥2)anan－1(n2)an－1n－1通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1q(q≠0)(1)定义法(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋(1)定义法n＋212(n≥1)⇔{an}为等差数列(2)中项公式法：a＝an·an＋2(n≥1)(3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为(an≠0)⇔{an}为等比数列n判定方法常数)⇔{an}为等差数列(3)通项公式法：an＝c·q(c、q均是不为2*(4)前n项和公式法：Sn＝An＋0的常数，n∈N)⇔{an}为等比数列Bn(A、B为常数)⇔{an}为等差数列(4){an}为等差数列⇔{aan}为等比数列(5){an}为等比数列，an>0⇔{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋p＋q，则am＋an＝ap＋aqq，则am·an＝ap·aqn－m性质(2)an＝am＋(n－m)d(2)an＝amq(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成(3)等比数列依次每n项和(Sn≠0)仍成等等差数列比数列a11－qna1－anqna1＋annn－1(1)q≠1，Sn＝＝1－q1－q前项和Sn＝＝na1＋dn22(2)q＝1，Sn＝na11．(2013·江西)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)A．－24B．0C．12D．24　A解析　由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)．解得x1＝－3或x2＝－1(不合意，舍去)．故数列的第四项为－24.2．(2012·福建)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　)A．1B．2C．3D．4答案　B解析　方法一　设等差数列{an}的公差为d，由题意得Error!　解得Error!∴d＝2.方法二　∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5.又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2.3．(2013·辽宁)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；anp：数列是递增数列；p：数列{a＋3nd}是递增数列．3{n}4n其中的真命题为(　　)A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4答案　D解析　an＝a1＋(n－1)d，d＞0，∴an－an－1＝d＞0，命题p1正确．nan＝na1＋n(n－1)d，∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小和a1的取值情况有关．故数列{nan}不一定递增，命题p2不正确．ana1n－1anan－1－a1＋d对于p3：＝＋d，∴－＝，nnnnn－1nn－1an当d－a＞0，即d＞a时，数列{}递增，11n但d＞a1不一定成立，则p3不正确．对于p4：设bn＝an＋3nd，则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.∴数列{an＋3nd}是递增数列，p4正确．综上，正确的命题为p1，p4.4．(2013·重庆)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.答案　6422解析　因为a1，a2，a5成等比数列，则a＝a1·a5，即(1＋d)＝1×(1＋4d)，d＝2.所以a1＋a8×8a＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S＝＝4×(1＋15)＝64.n8215．(2013·江苏)在正项等比数列{a}中，a＝，a＋a＝3.则满足a＋a＋…＋a>aa…an526712n12n的最大正整数n的值为________．答案　121解析　由已知条件a＝，a＋a＝3，526711即q＋q2＝3，整理得q2＋q－6＝0，22解得q＝2，或q＝－3(舍去)．1a＝aqn－5＝×2n－5＝2n－6，n521na1＋a2＋…＋an＝(2－1)，32n2－11n－5－4－3n－62a1a2…an＝222…2＝2，n2－11n＋10n由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an可知2>22＋1，n≤12.题型一　等差(比)数列的基本运算例1　(2012·山东)已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{an}的通项公式；*2m(2)对任意m∈N，将数列{an}中不大于7的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.审题破题　(1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a1和d，从而求出an.(2)求出bm，再根据其特征选用求和方法．解　(1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn，由T5＝105，a10＝2a5，得Error!解得a1＝7，d＝7.*因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N)．*2m2m－1(2)对m∈N，若an＝7n≤7，则n≤7.2m－1因此bm＝7.所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，b11－qm7×1－49m7×72m－1故S＝＝＝m1－q1－494872m＋1－7＝.48反思归纳　关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于a1和d(或q)的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识．变式训练1　(2013·浙江)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.2解　(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.**所以an＝－n＋11，n∈N或an＝4n＋6，n∈N.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|121＝S＝－n2＋n.n22当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|121＝－S＋2S＝n2－n＋110.n1122综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Error!题型二　等差(比)数列性质的应用例2　(1)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是(　　)A．25B．50C．100D．不存在S12S10(2)在等差数列{a}中，a＝－2013，其前n项和为S，若－＝2，则S的值为n1n12102013(　　)A．－2011B．－2012C．－2010D．－201320a1＋a20审题破题　(1)根据等差数列的性质，a＋a＝a＋a，S＝可求出a＋7141202027Sna，然后利用基本不等式；(2)等差数列{a}中，S是其前n项和，则也成等差数14nnn列．{}答案　(1)A　(2)Da1＋a20解析　(1)∵S＝×20＝100，∴a＋a＝10.202120∵a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝10.a7＋a14∵a>0，∴a·a≤2＝25.n714(2)当且仅当a7＝a14时取等号．SnS1(2)根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项＝n1S20{13}a＝－2013，公差d＝1，故＝－2013＋(2013－1)×1＝－1，所以S＝－2120132013013.反思归纳　等差数列和等比数列的项，前n项和都有一些类似的性质，充分利用性质可简化解题过程．a11变式训练2　(1)数列{a}是等差数列，若<－1，且它的前n项和S有最大值，那么当Sna10nn取得最小正值时，n等于(　　)A．11B．17C．19D．21答案　C解析　∵{an}的前n项和Sn有最大值，a11∴数列为递减数列．又<－1，a10∴a10>0，a11<0，得a10＋a11<0.19a1＋a19而S＝＝19·a>0，1921020a1＋a20S＝＝10(a＋a)<0.2021011故当n＝19时，Sn取得最小正值．(2)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10等于(　　)A．4B．5C．6D．7答案　B27解析　∵a3·a11＝16，∴a＝16.又∵等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4.335又∵a10＝a7q＝4×2＝2，∴log2a10＝5.题型三　等差数列、等比数列的综合应用*例3　已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn＝3(an－1)，其中n∈N.(1)证明：数列{an}为等比数列；(2)设数列{bn}满足bn＝log3an，若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和．审题破题　(1)利用an＝Sn－Sn－1求出an与an－1之间的关系，进而用定义证明数列{an}为等比数列．(2)由(1)的结论得出数列{bn}的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和．3(1)证明　由题意得a＝S－S＝(a－a)(n≥2)，nnn－12nn－1an∴a＝3a，∴＝3(n≥2)，nn－1an－13又S＝(a－1)＝a，解得a＝3，12111∴数列{an}为首项为3，公比为3的等比数列．nn(2)解　由(1)得an＝3，则bn＝log3an＝log33＝n，n∴cn＝anbn＝n·3，123n－1n设Tn＝1·3＋2·3＋3·3＋…＋(n－1)·3＋n·3，234nn＋13Tn＝1·3＋2·3＋3·3＋…＋(n－1)·3＋n·3.123nn＋1∴－2Tn＝3＋3＋3＋…＋3－n·331－3n＝－n·3n＋1，1－32n－13n＋1＋3∴T＝.n4反思归纳　等差、等比数列的判断与证明方法是由已知条件求出an或得到an＋1与anan＋1的递推关系，再确认a－a＝d(n∈N*，d为常数)或＝q(n∈N*，q为非零常数)n＋1nan是否对一切正整数均成立．变式训练3　已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；c1c2cn*(2)设数列{c}对n∈N，均有＋＋…＋＝a＋成立，求c＋c＋…＋c.nb1b2bnn1122013解　(1)∵a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，d>0，∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2.则an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.又∵b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，b39∴等比数列{b}的公比q＝＝＝3.nb23n－2n－2n－1∴bn＝b2q＝3×3＝3.c1c2cn(2)由＋＋…＋＝a，得b1b2bnn＋1c1c2cn－1当n≥2时，＋＋…＋＝a，b1b2bn－1ncn两式相减，得＝a－a＝2，bnn＋1nn－1∴cn＝2bn＝2×3(n≥2)c1而当n＝1时，＝a，∴c＝3.b121∴cn＝Error!122012∴c1＋c2＋…＋c2013＝3＋2×3＋2×3＋…＋2×36－6×32012＝3＋＝3－3＋32013＝32013.1－3典例　(12分)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的2等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d的等差数列(d≠0)．(1)若a20＝40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；3(3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？规范解答解　(1)由题意可得a10＝10，a20＝10＋10d＝40，∴d＝3.[3分]22(2)a30＝a20＋10d＝10(1＋d＋d)13＝10d＋2＋(d≠0)．[5分][(2)4]当d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈[7.5，＋∞)．[7分](3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，n当n≥1时，数列a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差为d的等差数列．[8分]研究的问题可以是：试写出a10(n＋1)关于d的关系式，并求出a10(n＋1)的取值范围．323研究的结论可以是：由a40＝a30＋10d＝10(1＋d＋d＋d)，[9分]n依次类推可得a10(n＋1)＝10(1＋d＋…＋d)＝Error![11分]当d>0时，a10(n＋1)的取值范围为(10，＋∞)．[12分]评分细则　(1)列出关于d的方程给1分；(2)求a30的范围时没有注明d≠0扣1分．阅卷老师提醒　本题从具体数列入手，先确定d，然后利用函数思想求a30的范围，最后通过观察寻求一般规律，将结论进行推广，要求熟练掌握数列的基本知识，灵活运用数列性质．241．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a7＝4a，a2＝2，则a1等于(　　)2A．1B.2C．2D.2答案　A2525解析　设数列{an}的公比为q(q>0)，由a2>0，知a4>0，a5>0，由于a3·a7＝a，所以aa22＝4a24，从而a＝2a，q＝2，故a＝＝＝1.541q22．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示数列{an}的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是(　　)A．21B．20C．19D．18答案　B解析　设数列{an}的公差是d，则a2＋a4＋a6－(a1＋a3＋a5)＝3d＝99－105＝－6，即d＝－2.又3a3＝105，所以a3＝35.所以an＝a3＋(n－3)d＝41－2n.令an>0得n<20.5，即数列{an}的前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此使得Sn达到最大值的n为20.3．首项为－24的等差数列{an}从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是(　　)88A.≤d<3B.0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.3答案　2解析　方法一　S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，2将a3＝a2q，a4＝a2q代入得，2223a2＋2＋a2q＋a2q＝3a2q＋2，化简得2q－q－3＝0，3解得q＝(q＝－1不合题意，舍去)．2方法二　设等比数列{an}的首项为a1，由S2＝3a2＋2，得a1(1＋q)＝3a1q＋2.①23由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q)＝3a1q＋2.②22由②－①得a1q(1＋q)＝3a1q(q－1)．3∵q>0，∴q＝.26．(2013·安徽)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．答案　an＝3n－2解析　由已知S梯形AnBnBn＋1An＋1＝S梯形An＋1Bn＋1Bn＋2An＋2，S△OBn＋1An＋1－S△OBnAn＝S△OBn＋2An＋2－S△OBn＋1An＋1，即S△OBnAn＋S△OBn＋2An＋2＝2S△OBn＋1An＋1由相似三角形面积比是相似比的平方知OA2n＋OAn＋22＝2OAn＋21，即a2n＋an＋22＝2an＋21，因此{a2n}为等差数列且a2n＝a21＋3(n－1)＝3n－2，故an＝3n－2.专题限时规范训练一、选择题1．(2013·课标全国Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于(　　)1111A.B．－C.D．－3399答案　C解析　设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝19a，q2＝9，又a＝aq4＝9，所以a＝.151192．等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为(　　)A．－2或1B．－1或2C．－2D．1答案　C解析　方法一　若q＝1，则S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1，显然不满足2S4＝S5＋S6，故A、D错．若q＝－1，则S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，不满足条件，故B错，因此选C.方法二　经检验q＝1不适合，则由2S4＝S5＋S6，得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得q2＋q－2＝0，∴q＝1(舍去)，q＝－2.43．已知{a}为等差数列，a＋a＝，则S等于(　　)n2839A．4B．5C．6D．7答案　C4解析　∵{a}为等差数列，∴a＋a＝a＋a＝，n2819349×9a1＋a93∴S＝＝＝6.9224．一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为(　　)11A．2B．3C.D.23答案　A解析　等比数列中，S6＝9S3，∴S6－S3＝8S3，S6－S3∴＝q3＝8，∴q＝2.S3An7n＋45an5．已知两个等差数列{a}和{b}的前n项和分别为A和B，且＝，则使得为nnnnBnn＋3bn整数的正整数n的个数是(　　)A．2B．3C．4D．5答案　D解析　由等差数列的前n项和及等差中项，1a1＋a2n－1an2可得＝bn1b1＋b2n－1212n－1a1＋a2n－12A2n－1＝＝1B2n－12n－1b1＋b2n－1272n－1＋4514n＋38＝＝2n－1＋32n＋27n＋1912＝＝7＋(n∈N*)，n＋1n＋1an故n＝1,2,3,5,11时，为整数．bn6．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项*和，n∈N，则S10的值为(　　)A．－110B．－90C．90D．110答案　D解析　∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a32与a9的等比中项，∴(a1－12)＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.1∴S＝10×20＋×10×9×(－2)＝110.10217．已知数列{a}满足1＋loga＝loga＋(n∈N＋)，且a＋a＋a＝9，则log(a＋a＋a)n3n3n12463579的值是(　　)11A.B．－C．5D．－555答案　Dan＋1解析　由1＋loga＝loga得＝3，{a}为等比数列，公比为3.3n3n＋1ann5∴a5＋a7＋a9＝27(a2＋a4＋a6)＝27×9＝3，11∴log(a＋a＋a)＝log35＝－5.35793S1S2S158．设等差数列{a}的前n项和为S，且满足S>0，S<0，则，，…，中最大的项nn1516a1a2a15为(　　)S6S7S9S8A.B.C.D.a6a7a9a8答案　D15a1＋a1516a1＋a1616a9＋a8解析　由S＝＝15a>0，得a>0.由S＝＝<0，得a1528816229＋a8<0，所以a9<0，且d<0.所以数列{an}为递减数列．所以a1，…，a8为正，S9S10S8a，…，a为负，且S，S，…，S>0，S，S，…，S<0，则<0，<0，…，9n12151617na9a10a8S8S7S6S8>0.又S>S>S>0，a>a>a>0.∴>>，故最大．876678a8a7a6a8二、填空题219．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{a}的前n项和S＝a＋，则{a}的通项公式是a＝nn3n3nn_______.答案　(－2)n－1解析　当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，22a＝S－S＝a－a，nnn－13n3n－1an故＝－2，故a＝(－2)n－1.an－1n10．(2013·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．答案　－4910解析　由题意知a＋a＝0，a＋a＝.110115310两式相减得a－a＝＝5d，151032∴d＝，a＝－3.31nn－1n3－10n2∴nS＝n·na1＋d＝＝f(n)，n231()f′(n)＝n(3n－20)．320令f′(n)＝0得n＝0(舍)或n＝.320当n>时，f(n)是单调递增的；320当0a1a9，求a1的取值范围．解　(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，21所以a＝1×(a1＋2)，21即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，21所以5a1＋10>a＋8a1，21即a＋3a1－10<0，解得－5